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数学奖章上的数学故事——国际数学四大奖项

菲尔兹奖

菲尔兹（John Charles Fields,1863-1932 年）
菲尔兹奖由加拿大数学家约翰• 查尔斯• 菲尔兹（John Charles Fields,1863-1932
年）建议设立。菲尔兹早年游学美国、欧洲，与诸多大数学家共事 。其后返回加拿大致
力于提升数学的地位。如在他努力下，1924 年世界数学家大会在加举行。他自上个世
纪20 年代末开始筹备该奖，并遗嘱捐赠$$47,000给奖项基金。菲奖在1936 年首颁；
后从1950 年起每隔4 年颁发一次，奖励40 岁以下数学成就杰出者，且旨在鼓励获奖
者进一步的研究。获奖者一般为2 至4 人。该奖有“数学界 中诺贝尔奖”之称，其实它
早期并无今日如此声誉，这很大程度上源于历届获奖者给它带来的荣耀。
菲尔兹奖包括一面金质奖章和一笔不算多的奖金（目前为15,000 加元）。奖章正
面有古希腊数学家阿基米德的头像（Archimedes, 前287- 前212 年）和希腊文
“ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ”，意为“阿基米德的（头像）”；头像周边刻拉丁文“TRAN SIRE SUUM
PECTUS MUNDOQUE POTIRI”，此来源于一世纪罗马诗人马 尼利乌斯（Manilius）的
著作《天文学》，意为“超越他的心灵，掌握世界”。此外奖章设计者 （Robert Tait McKenzie）
名字之缩写RTM 及设计年份MCNXXXIII（即1933 年，第二个M 字母以N 代）也
刻在奖章上。获奖者的名字则会被刻于奖章边轮。
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菲奖章背面刻有意为“聚全球数学家，为杰出著作而颁”的拉丁文“CONGREGATI
EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB A INSIGNIA TRIBUER E”。文字和树枝的背景为
球体嵌进圆柱体（“圆柱容球”）的示意图，这象征着阿基米德的得意之作《 论球与圆柱》
中最著名的一个结果：球与其外切柱体的面积（体积）之比为2 : 3。阿基米德对此如 此
骄傲，以致他希望人们在他的墓碑上刻下球与圆柱体的关系图。确实，阿基米德计算各
种面积 所用的“穷竭法”可以被视作后世微积分学所用“无穷小分析”的起源。

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球与其外切柱体的面积（体积）之比为2 : 3 ：若设球半径为r，则球面积为4

r
2
，
3
体积

r
；而 其外切柱体面积为
6

r
2
，体积为
2

r
3
.
4
3
类似于阿基米德的“穷竭法”和圆柱容球的比例2 : 3，我国三国时代魏国数学家刘徽
也应用类似的极限思想求出了圆面积、一些锥体（如阳马与鳖臑）的体 积。而且他还在
评注我国算术名著《九章算术》时正确地猜测了球体积与其外切牟合方盖体积之比等于< br>圆与其外接正方形的面积之比（即π :4）。这里所谓的“牟合方盖”是一个立方体从纵横
两个 方向做内切圆柱的共同部分，因其外型酷似上下相对（牟合）的方伞（盖）。中国
家庭日常生活中常用的 食物罩就类似牟合方盖的一半。

原来在《九章算术》的“少广”章中记有“开立圆术”，认 为直径为D的球体积公式为
V
9
3
D

16
如果将π 取值为3，则该公式相当于认为球体积与其外切圆柱体积之比为3:4。刘徽指
出这是错误的，但他自己没能求出牟合方盖的体积从而得出正确的球体积计算公式，
而是将这个 问题留给了后人，“以俟能言者”。

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半球体积与圆柱体去掉锥体剩余部分体积相同（横截面（图中蓝色部分）面积相同）
刘徽去世之后200 余年，南北朝时期的祖冲之、祖暅父子共同提出了祖暅原理：
所有等高处 横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等（“缘幂势既同，则积不
容异”）。该原理在西方常被 称为卡瓦列里原理，因由意大利几何学家卡瓦列里
（Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598 年-1647 年）重新发现。这可以看作是微积
分学发展历程中自 阿基米德的穷竭法之后的一大进步。祖氏父子正是利用此原理算出牟
合方盖的体积从而得出球体体积。

刘徽提出的球体体积与牟合方盖的体积之比则是祖暅原理的直接推论：因为我们可
将 球体当作由横截的圆累积而成；若将这些横截圆改为外接该圆的正方形，则所得立体
即是牟合方盖。我们 这里仅简单介绍如何用祖暅原理来理解阿基米德提出的比例。
在底面半径和高均为r 的圆柱体中倒立一个以圆柱体上表面为底，下底面圆心为顶
点的圆锥。易由勾股定理得知半径为r 的半球“赤道”上方y处横截面（半径为 √（r2—y2）
的圆）的面积为π(r2 － y2) ；而等高处圆柱体的横截面的面积（恒为πr2）去掉锥体
的横截面积（πy2）为π(r2－ y2) 。由祖暅原理，半球体积等于圆柱体中除去圆锥体所
剩部分之体积。我们知道内嵌圆锥体体积是柱体体积 的三分之一，因此半球体积是三分
之二倍此圆柱体体积。



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奈望林纳奖
奈望林纳奖由国际数学联盟于1981 年设立，奖励 在信息科学的数学方面有突出贡
献的年轻数学家。它类似于菲尔兹奖，得奖者必须在获奖那一年不大于4 0 岁。该奖包
括一枚奖章和部分奖金，每四年在国际数学家大会颁发，且获奖者的名字也会被刻在奖< br>章边轮。奈望林纳奖于1982 年首颁，有“计算机科学中诺贝尔奖”之称。奈望林纳奖是
以纪念在1980 年去世的芬兰最著名的数学家之一罗尔夫• 奈望林纳（Rolf Herman
Nevanlinna, 1895-1980 年）。奈望林纳在函数论方面贡献卓著，且在20 世纪50 年
代开启了芬兰的计算机项目。

1982 年，国际数学联盟接受赫尔辛基大学对该奖的资助。奖章正面为奈望林纳的
头像以及文字“ROLF NEVANLINNA PRIZE”（“奈望林纳奖”）以及很小的字符“RH 83”
（示意此奖章由设计者 Raimo Heino 于1983 年首次铸造），反面的两个图案 都和赫
尔辛基大学有关。奈望林纳是赫尔辛基大学的教授，并曾任校长。右下角是赫尔辛基大
学 的校徽，环绕校徽有赫尔辛基大学的名字“UNIVERSITAS HELSINGIENSIS”。左上角是文字“Helsinki”的编码，这和该奖的表彰内容相得益彰。例如，2010 年获得奈望林
纳奖的Daniel Spielman 的一个主要贡献即是关于编码理论的。


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高斯奖
高斯奖由德国数学家联合会和国际数学联盟共同设立，以纪念“数学王子”高斯（Carl
Friedrich Gauss, 1777-1855），主要用于奖励在数学之外的应用领域，如 经济、技术
乃至日常生活中有深刻影响的数学家。
高斯奖设立于2002 年，并于2006 年在马德里召开的第25 届国际数学家大会上
首次颁发。高斯奖包含一笔奖金和一枚奖章；奖金目前为 一万欧元，资金来源于1998 年
在柏林召开的ICM 的结余。高斯奖章正反图案均以数学中的基本 元素点、线、曲线来
构图。正面勾勒出高斯的头像，并刻文“For Applications of Mathematics”（“为应用数学”）；
反面为一曲线、一点和一方框组成的图以表示高斯的伟 大成就之一：以最小二乘法来确
定行星的轨迹。这是应用数学的典范。

1801 年元旦，意大利天文学家皮亚齐（Giuseppe Piazzi）发现了后来被命名为谷
神星的小行星。皮亚齐跟踪观测了40 天后由于谷神星运行至太 阳背后而丢失。科学家
们开始了利用皮亚齐的观测数据来预测谷神星出现位置的竞赛。时年只有24 岁的高斯
运用早在1794 年就创立的最小二乘法理论，准确地预测了谷神星的轨迹。同年底，天
文学家Zack 在很接近高斯预测的位置上重新发现了谷神星。
获得首届高斯奖的日本著名数学家伊藤清（Kiyoshi Itō, 1915-2008）的工作即 是高
斯奖表彰对象的范例。伊藤清揭示了随机王国的牛顿定律，开创了“随机分析”学。获得
1 997 年的诺贝尔经济学奖的美国经济学家Robert Merton 和Myron Scholes 提出进
行期权定价的Black- Scholes 模型即基于伊藤清的工作。虽然早在1900 年，法国数
学家Bachelier 就已经在他的博士论文中应用布朗运动来研究金融问题了，但伊藤 清还
是对他自己所研究的纯粹概率理论能在金融数学里有着深刻的应用感到吃惊.
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陈省身奖
陈省身奖是首个以华人名字命名的国际数学大奖，它由陈 省身基金和国际数学联盟
共同设立，以纪念我们都很熟悉的数学家陈省身（Shiing-Shen Chern, 1911-2004），
奖励给那些在数学领域有杰出终身成就的个人。陈省身奖于2010 年在印度海德拉巴市
（Hyderabad）举行的第26 届国际数学家大会上首颁。
陈奖含一笔奖金和一枚奖章。奖金为50 万美元，一半奖励给数学家本人，另一半
奖金由获奖 人捐助给一些支持数学的研究、教育和其它活动的社会机构，以推动数学的
发展。
陈奖也获得哈里斯• 西蒙斯基金的支持。西蒙斯（James Harris Simons，1938 年
出生）算是陈省身先生的学生，也是他数学上的“六个朋友”（参《陈省身 传》）之一，
他们曾合作得到几何理论对理论物理学具有重要意义的Chern-Simons 理论。西蒙斯在
1970 年代放弃数学去经商，现为著名的投资家。他还大力支持科学事业，特别是数学
事业。
陈省身奖章正面为时年73 岁的陈省身头像，左为陈先生的中文签名，右为英文签
名，右边签 名下方刻“1911-2004”，表明他的出生和去世年份。奖章反面为陈省身1944
年证明的广义高斯- 博内定理（又名陈- 高斯- 博内定理）

这个公式的最简 单情形就已经足够有趣：曲面上测地三角形的总曲率（高斯曲率的
曲面积分）等于它的三角之和与π 的 差。因此正曲率曲面（如球面）上的三角形三角
之和大于π，而负曲率曲面（如双曲几何曲面）上的三角 形三角之和小于π。零曲率曲
面（欧几里得平面）上，三角之和正好为π。
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