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分数阶微积分发展现状及展望

在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础 数学，应用数学，计
算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。这五个方向对数学在当
代的 发展都有不可或缺的作用。从研究内容来讲，方程、算子、群论、
图论、代数、几何等等都是数学领域重 要的研究对象。作为基础数学专
业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历< br>史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的
基本知识。
(一)、发展历史及现状
牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。分数
阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，
是整数阶微积分的推广 。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论
的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模 型最终都可以归结
为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已
有了 比较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经
典整数阶微积分方程对这些系统的描 述将遇到一些问题，如：需要构造非
线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因 材料
或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。基于以上原因，人们迫
切期待着有一种可 用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统
进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记 忆和遗传性质的材料
和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准
确 等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
对大多数研究人员和工程师而言，分 数阶微积分也许还是比较陌生
的，但它实际上早在300多年前就被提出。1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数
f(x)=x， 如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。这是公认的第一
次提及分数阶微分。1832年，刘维 尔（Liouville）成功的应用了自己提出
的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。之后刘维尔 发表的一系列文
章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。1974年，Oldham与
S panier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。
在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研 究主要在数学的纯理论领
域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学
和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机
器人及其他应用领域中的问题 。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内

外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出 来的分数阶微分方程成为很
多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为
迫切。但是目前分数阶微积 分的实际工程应用存在许多障碍，很重要的一
个原因是分数阶微积分的数学基础仍未完善。
目 前就数学领域而言，分数阶微积分存在的主要问题有:多种分数阶
微分算子定义形式，在实际应用中都各 有优势，尚不能做到统一；在理论
研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和 经
典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方
程理论的一个延拓。 对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，
大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用 的求解方法都具有局
限性。在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还 很不成熟，主要表现
为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程
的计算和大空间域的计算等； （2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多
的算法主要集中在有限差分方法与有限单元；（3）未形成 成熟的数值计算
软件，严重滞后于应用的需要。
(二)、对未来发展的看法
鉴于此 目前分数阶微积分发展的现状及主要问题，我认为未来分数阶
微积分的发展要抓住几个关键点：（1）分 数阶微积分还处在探索阶段，其
理论体系还需要进一步扩充和完善。这也是我们方向未来的主要工作。（ 2）
分数阶微积分作为一种新颖的数学工具，在应用来解决物理、力学、生物、
信号处理、材料 等学科问题还任重而道远。未来要着重于理论研究与实际
应用相结合。（3）在数值计算方面应发展新数 值算法，特别是在保证计算
可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的
课题。