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通分

根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来相等但分母相同的分
数，叫做通分
方法是：先求出两个分数分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质把两个分数
分别化成以这个最小公 倍数为分母的分数即可
例如：如：把34和56通分：先求出4和6的最小公倍数12，再把34和56化成912和1012就行了。

107

求：=
119
35

=
56
72

=

133
乘法分配律



乘法分配律

两个数相加(或相减)再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘,
再把两个积 相加（相减）,得数不变。
用字母表示：
（a+b）x c=axc+bxc
还有一种表示法：
a(b+c)=ab+ac
例如：
25×404
=25×(400＋4)
=25×400＋25×4

=10000＋100=10100
乘法分配律的逆运用
25×37+25×3
=25×(37+3)
=25×40
=1000
乘法分配律还可以用在小数、分数的计算上。
例题:
25×404=25×(400＋4)＝25×400＋25×4＝10000＋100=10100
乘法分配律的反用：
35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700
乘法分配律的反用：
35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700
合并同类项
合并同类项就是逆用乘法分配律。
把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相
同，那么就称这两个单项式为同类项 。如2ab与－3ab，
m
2
n
与n
m
2
都是同< br>类项。特别地，所有的常数项也都是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类 项的合并（或合并同类项）。
同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，
字母和字母的指数不变。
为什么合并同类项时，要把各项的系数相加而字母和字母的指数都不
改变，这有什么理论依据吗？
其实，合并同类项法则是有其理论依据的。它所依据的就是大家早已
熟知了的乘法分配律， a(b＋c)=ab＋ac。合并同类项实际上就是乘法分配
律的逆向运用。即将同类项中的每一项都看 成两个因数的积，由于各项中

都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同，故同类项中 的每项都含有
相同的因数。合并时将分配律逆向运用，用相同的那个因数去乘以各项中
另一个因 数的代数和。
多项式
若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加 上
它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最
高次数，就是这个多 项式的次数。
因式分解：把多项式写成几个整式相乘的积的形式。
化简多项式
1.-5k(2x-3y)
2.-a(2a+3b-5)
3.4x(3
x
2
-8x+6)
4. 3ab(a-4b)-a(2
b
2
-3b)
5.(3w-k)(2x+5y)
6.(3a-b)(x+2y)
7.


a2b

2
2


2
8.

ab

9.

ab


22
a-b
10.
11.

x
2
2x


4x


22
2yy3y

1


12.

13.

a
a+1

a3
a1< br>

a3
a
2
1

a

a5

3a

14
.




a53a210a11


2

2

a




a 4


15
.


a2a2

4a

a

16.


5a2 5a
2

5a



22a56

4

3




7a15

17.



a6a3

5
a3

2



18.



a3a67a3

解方程
含有未知数的等式叫方程。
求方程的解的过程叫解方程。
求出方程中的所有未知数的值，用未知数的值代入方程时，方程式等
号左右的计算值将相等。
解方程就是求出方程中所有未知数的值。
方程中包含等式，方程一定是等式，等式不一定是方程。(例如：3=3)
过程




























解方程的步骤
（1）有括号就先去掉
（2）移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到另右边
（3）合并同类项：使方程变形为单项式
（4）方程两边同时除以未知数的系数得未知数的值
例如：
3+x=18
解: x =18-3
x =15
∴x=15是方程的解
——————————
4x+2（79-x）=192
解：4x+158-2x=192
4x-2x+158=192

2x+158=192
2x=192-158
2x=34
x=17
∴x=17是方程的解
分式方程
分母中含有未知数的（有理）方程
分式方程概念
分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程
（fractional equation）。例如100x=95x+0.35
补充：该部分知识属于初等数学知识，一般在初二的时候学习。
分式方程的解法
①去分母
方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最 高
次幂③出现的因式取最高次幂）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要
忘了 改变符号。
②按解整式方程的步骤
移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;
③验根
求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未
知数的取 值范围,可能产生增根(增根（extraneous root ），在方程变形时，有时可能
产生不 适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为０或是转化后的整式方程的根
恰好是原方程未知数的允许 值之外的值的根，叫做原方程的增根。) (在分式方程化为
整式方程的过程中，若整式方程的根使最简 公分母为0，根使整式方程成立，而在分
式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根)
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增
根。否则这 个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要带进去检验。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符
合题意。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，

因此要 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
归纳
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方
程两边同乘最简公分母 ，这也是解分式方程的一般思路和做法。
例题：
（1）
x2x
1

x13x3
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
-2x=3
x=3-2
分式方程要检验
经检验，x=-23是方程的解
（2）
24

2

x1x1
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要检验
把x=1带入原方程，使分母为0，是增根。
所以原方程2x-1=4x^2-1
无解

一定要检验！！
检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x= a使最简公分母为0,则a是原方程的
增根.若x=a使最简公分母不为零,则a是原方程的根.
注意：可凭经验判断是否有解。若有解，带入所有分母计算：若无解，带入无解
分母即可
解以下分式方程
21

1.
x3x1
2..．
x1
1
2

x2x4

3x
1
=
x1
x
2
1
m1x
0
，有增根，则
m
的值是（ ） 4. 若关于
x
的方程
x1x1
A.3 B.2 C.1 D.-1
3.
5.若方程
AB2x1
,
那么A、B的值为（ ）
x3x4(x3)(x4)
A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1
aab

（ ） 6.如果
x1,b0,
那么
bab
1x111
A.1- B. C.
x
D.
x

xx1xx1
432

2
7.使分式
2
与
2
的值相等的
x
等于（ ）
x4xx6x5x6
A.-4 B.-3 C.1 D.10
14x
2
8.
x33x
4x3x1

9.
2

x 4
x2x2
x4
x
2
y
2
10. 已知
,
则
2

.
2
y5
xy
11. 满足方程：
12

x1x 2
的
x
的值是________.
1
1x
的值等于.
2
5x
12. 当
x
=________时，分式
x2
2x
0
的增根是 . 13.分式方程
x2
x12a3

的解为零.
x2a5
m21

15. 当
m
时，关于
x
的方程
2
有增根.
x9
x3x3
23
16.方程

的解为（ ）
xx1
A.
x2
B.
x1
C.
x2
D.
x1

14.

a
时，关于
x
的方程
17.已知
A.-
y
2xy2

，则的值为（ ）
x
xy3
44
B. C.1 D.5
55

18. 满足方程：
12

x1x2
的
x
的值是________.
x
2
2x
0
的增根是 19. 分式方程
x2
20. 如果关于
x
的方程
a12x
1 
有增根，则
a
的值为________.
x44x
三角函数
锐角三角函数
在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C 为直角。
则定义以下运算方式：
sin ∠A=∠A的对边长斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=ac
cos∠ A=∠A的邻边长斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=bc
tan∠ A=∠A的对边长∠A的邻边长， tanA=sinAcosA=a b tan A记为∠A的正
切；
当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。
sinA=cosB sinB=cosA

方差
方差是实际值与平均值之差平方的平均值，而标准差是方差平方根。
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
例如：求样本数据3，4,6,8,9,的方差。
解：先求这些数的平均数：（3+4+6+8+9）5=6.
再求各个数与平均数的差的 平方

36

9
，

46

4
，

66

0
，
222
86

2
4
，

96

9< br>.
2

将这些数相加再取平均 （9+4+0+4+9）5=5.2.
求下列几个样本数据的方差.

1. 2,3，4,7,9,11
2. 1.5.9.14.15.17
3. 3,5,5，6,8,9
一次函数

一次函数的实例
一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直
线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个
变量的值。
【解释】函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x
每一个确定的值，在y中 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函
数，也可以说x是自变量，y是因变量。表示为y ＝kx＋b（k≠0，k、b均为常
数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中 的特殊情况。
可表示为y=kx。 现在是初二教学本里最难的一章（当然有一些人例外），应
用最广泛，知识最丰富的数学课题。
基本定义

变量：变化的量（可取不同值）
常量：不变的量（固定不变）
自变量k和x的一次函数y有如下关系：
1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意常数）
当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x
对应时，就不是一次函数。
x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但K≠0）
正比例函数图像经过原点。
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符
合。
相关性质
函数性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.
即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k、b为常数），
∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,kmm=k。
2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。
3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊

的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；
当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；
当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上
的同一点（0，b）。
图像性质
1．作法与图形：通过如下３个步骤：
（1）列表.
（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两
点法”。
一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-bk，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）
和（1，k）两点。
（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的
图象只需知道２ 点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分
别是-k分之b与0，0与b）.
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-bk，0）正
比例函数 的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：
当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；
当b＞0时，直线必通过第一、二象限；
当b＜0时，直线必通过第三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0 时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当
k＜0时，直线只通过第二、四象限，不会通 过第一、三象限。
4、特殊位置关系：
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）
相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两
个K值的乘积为-1）

综合测试
一、 选择题：

1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A.k≠0 B.k＜0 C.k＞0 D.k为任意值
2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度y（cm）
与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ）
3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ）
二、 填空题：
1. 若一 次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的
解析式为________ _____.
2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2 ），则
此函数的解析式为_____________.
三、
一次函数的 图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面
积为6，求这个一次函数的解析式.