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时空分数阶导数算子
BORIS BAEUMER
MARK M. MEERSCHAERT
JEFF MORTENSEN
摘要
不规则扩散的演化 方程在空间和时间中使用分数阶导数。在时空间的
变量的连接产生了新型的分数阶导数算子。本文讨论一 些算子的数学
基础。
简介
在经典扩散中，微粒以通常的钟型的模式传播，其宽度与 时间的平方
根相关。当生长率或粒子分布的形状经典模型预测不同时发生异常扩
散。异常扩散在 可以许多物理现象中观察到，并激励新的数学模型和
物理模型的发展[5，6，7，13，16，20] 。一些最成功的模型采用分
数阶导数[21，27]，其实就是异常扩散中常见整数情况的衍生物。建< br>立异常扩散的物理模型一种方法是源于全体粒子在随机过程中的极
限分布。连续时间下的随机漫步 [22，29] 一直是最有用的[18，20，
30]，其中每个随机粒子跳跃后会有随机的等待时间 。非常大的颗粒
的跳跃与空间分数阶导数[14]有关，而很长的等待时间会产生时间的
分数阶 导数[18，26]。同样的模型方程也被应用到混沌动力学[31]和
经济学28]。
在连续时间的随机漫步中，颗粒跳跃的大小可以取决于在跳跃之间
的等待时间。对于这些模型，颗粒的极 限分布受控于涉及时空分数阶

导数算子的分数阶微分方程[3,19]。本文建立了这些 算子的数学基础。
尤其是，它们被证明是某些连续卷积半群的生成元，并且它们的域表
现为一个 合适的函数空间，其中的乘法的运算在傅立叶拉普拉斯空间
的产物。普通空时算子的一般形式被给出。在 这方面的发展中所使用
的技术手段是算子半群[1，11，23]，和算子稳定的概率分布的理论[12 ，
15]。
分数阶导数和异常扩散
让
C(c,t)
表示粒子在位 置x处和时间t时的相对浓度。经典扩散方程
1
2

x
C
可 以使用傅立叶变换
c(k,t)

e
ikx
C(x,t)dx求解，这把扩散方
2
1
程转化为一个常微分方程的
dcdt(ik)< br>2
c
。初始条件
c(k,0)1
相当于
2

t
C
C(x,0)

(x)
，所以所有的颗粒都从
x 0,t0
开始。其解
1
c(k,t)exp(k
2
t)反转得到均值为0标准差为
t
的概率密度。使用中
2
心极限定理，也就得 到粒子随机漫步的极限密度在跳跃代表0和方差
之一时会跳跃。如果颗粒跳跃的概率分布有随指数


(0

2)
定期对
变更的尾部（粗略地讲，这意 味着该跳跃的距离大于r的概率下降到
r


），则方差无定义，所以经典的 中心极限定理不适用。一个推广的
中心极限定理[8，9，15]表明随机漫步收敛到一个稳定的Lev y运动其

概率密度
C(x,t)
经过傅里叶变换
c(x,t)e xp(kt)
，显然是
1

kc
，
c(k,0)1< br>解。反转表明粒子浓度解决了分数阶偏微分
2
1
方程

tC

x
C
其中对称分数微分算子


x< br>对应
2
dcdt
傅立叶空间 以
k
为符号乘法。这是一 般的二阶导数算子的分数幂。
非对称粒子跳跃形成一个更一般形式的以
p(ik)

q(ik)

为符号的分



数阶导数算 子
p

x
q
x
[7,4]，当
p1q
为跳跃幅度趋向于无穷的正
跳跃的渐近分数。对于对称向量转移的一个类似的讨论我们可以对< br>2
k

t
C

x
C
使用以< br>
为符号的拉普拉斯算子，可在
R
d
中见到更普遍
的形式[1 4，16]。这些拟微分算子也是某些连续卷积半群的生成元
[2,11]。
如果粒子跳跃间 的等待时间以指数0<β<1定期复合，则随机漫步粒
子的跳跃（称为连续时间随机漫步）收敛到一个服 从于逆β-稳定从
属的Levy运动[17，18]。假定等待时间和随后的粒子跳跃是独立的，
其从属是独立的Levy过程，并控制方程成为

t

C
< br>x
CC(x,0)t


(1

)
， 它是由Zaslavsky[31]作为一种哈密顿混
乱模型首次提出的。非对称跳跃，或矢量转移，其 改变空间导数方式
如前[2]。重尾粒子跳跃产生空间的分数阶导数，重尾等候时间产生时
间的 分数阶导数。
当等待时间和粒子跳跃依赖随机变量，控制方程的另一种形式便出现
了。该极限 过程是仍然一个从属于平稳的从属的Levy运动，但现在
这两个过程相互依赖。时空向量组成的等待时 间和跳转必须使用算子
稳定极限理论来处理，因为每个坐标不同的尾部行为[3]。这导致了控
制方程采用一种新的耦合时空分数阶导数。假设等待时间
J
满足
P(Jt)t

并且对称粒子的跳跃幅度
Y
在等待时间
Jt
时是 均值为
0
方差为
2t
的正常分布。那么，控制方程


(
t

2
(1

)
采用了 时空分数阶导数与傅立叶拉
x
)C(x,t)C(x,0)t
普拉斯符号
( sk
2
)

。本文的目的是探讨这些算子的性质，以建立分

析这些方程的数学基础。让这个问题有趣的是，由于空间和时间有密
不可分的关系，不能用通常 的方式，即泛函空间中的常微分方程来看
待这些发展方程。
时空分数阶导数
设¡

d
[0,)
，并假设
v(dx,dt)
是一个 概率分布，并在
　

傅立叶变
换拉普拉斯变换为
v(k,s)< br>^
R
d
R


n
ixkst
。 令
vvv
eev(dt,dx)

表示
v
对自身n
n
次的卷积。如果对于每个
n1,2,3,...
存在概率分布
v
n
且满足
v
n
v
我们
就说
v
是 无穷可分的。其Levy表示（例如，见引理[3]的2.1 ）说明
v
d
是无穷可分 的当且仅当对于一些独特连续函数

:　
^

?
我们可
以得到
v(k,s)exp(

(k,x))
。例如：

(0,0)0,(

)0
。且有
1
(3.1)


(k,s)ikabs
2< br>kAk

d
　


ixk
(
{(0,0)}
ikx
st
ee1

)(

,dx)dt
2
1x
d
对于一些特殊的定点
(a,b)　d
　

，一些
dd
的非负定矩阵
A
，和

{(0,0)}
上的正测度

，

在远离原点的 有界域上有界并满足
(3.2)


0xt1
2
(xt)

(dx,dt)

2
该测度

称 为
v
的Levy测度，并且
[(a,b),A,

]
被称为
v
的levy表示。
在这种情况下，我们定义（可能是小数）卷积幂
v
n
在 Levy表示为三< br>元组
[ua,uA,u

]
下的无穷可分律，因此对于任意
u 0
，
v
n
具有特征函数
exp(u

(k,s) )
。且对任意
u,v0
有
v
u
*v
v
v
uv
。

d
无穷可分分布可以用来定义半群卷积。令
L
1

(　)
表示可测函数集，
其积分和范数
f

:

e


t
f(t,x)dxdt存在。我们称此范数为
L
1


范数，
0
R< br>d


d
且
L
1

(　
)
是巴拿赫空间。除非明确说明，

将被看作是一个正实
< br>d
)L
1

(　

d
数。显然，
L
1
(　)
是真包含，除非

0
时，两个函

d
数空间是相同的。此外，若
fL
1
(　)
，则有< br>f

f
1
。
在巴拿赫空间
X
上的一族有界线性算子
{T(t):t0}
如果有
T(0)
是单
位算子且对所有
u,v0
有
T(uv) T(u)T(v)
，则被称为
X
的有界线性算
子半群。如果
T(u) fMf
对所有的
fX,u0
成立，则称半群是一
致有界的;如果在这种 情况下，
M1
我们就称之为收缩半群。如果当
u
n
u
时 ，
T(u
n
)ff
在
X
上对于所有
fX
成立，这个半群就是强连
续的。我们可以轻易检验如果当
u0
时，
T(u)ff
对所有
fX
成
立那么
{T(u) :u0}
是强连续的。如果
f0
可以推出对所有
u0
有T(u)f0
，则称这个半群在巴拿赫格是正的。一个强连续的收缩正半
d
群被 称作
Feller
半群。下面的结果说明在
　
d
定义了一个
L
1
(　


上的任一无穷可分律

)
上的
Feller
半群。

d
命题3.1 令
v
是
　
上一个无穷可分律并定义
f(x
u
y,t
(3.3)

T(u)f(x, t)

d
对所有的
fL
1
(　

t< br>0
R
d
1d
都成立。那么对于所有的
),u0fL(　



)sv(

d,y)ds
)
，
这族线性算子
{T(u)}
u0
有如下性质。
（a）
T(uv)fT(u)T(v)f
,
u,v0

（b）
T(0)ff

（c）
f0
可推出对所有
u0
有
T(u)f0

（d）
T(u)f

f

，
u0
< /p>

T(u)ff
（e）
lim
u0

0< br>
证明。性质（a）（b）（c）可由
v
无穷可分的定义直接得到。性质（d）
可由费比尼定理得到：
t


t
T(u)f



e
0
R
d
0
¡


f(xy,ts)v
u
(dy,ds)dxdt

d



e


t
0
R
d
s

¡

f(xy,ts)v
u
(dy,ds)

d

f


性质（e）相较来说会更巧妙一些。我们首先证明（e）在矩形中建 立
了一个指示函数。;即，令
f(x,t)I
Q
(x,t)I((x,t )Q)
，矩形为
d
Q{(x,t)　


:a0
tb
0
,a
i
x
i
b
i< br>,i1,...,d}
。那么就有
t
(3.4)


d
0
　
T(u)f(x,t)dx

d
< br>t
0
d

0
?
(fx,
u
y t)
d
s(v,

d)ydsdxdt




0
¡
d
(y,s)Q

dxd tv
u
(dy,ds)



0id

(ba)
，
u0

i i
由于
v
是无穷可分的，当
u0
时我们有
v
u< br>v
0
(例，见[15]的推论
d
3.1.4），这意味着
v
u
(B)v(B)
使得所有波尔子集
B　

有< br>v
0
(B)0
。由于
v
0
点质量为零，这种情况 发生当且仅当
(0,0)B
。那
d
么对于所有的
(x,t)　 

，
x
i
a
i
,b
i
，< br>i1,...,d
且
ta
0
,b
0
，我们得到
u0
u0
limT(u)f(x,t)limv((x,t)Q)v((x, t)Q)f(x,t)


u0
因此，通过控制收敛原理，

T(u)f(x,t)f(x,t)dxdt

v
QQ
Q
u
((x,t)Q)v
0
((x,t)Q)dxdt0

因此，

T(u)f(x)dxdt

f(x,t)dxdt 
0id

(b
i
a
i
)
，由（3 .4）式，可得


(x,t)Q
T(u)f(x,t)f(x ,t)dxdt

(x,t)Q

T(u)f(x,t)dxdt0< br>，由此可知，

T(u)f(x,t)f(x,t)dxdt0
于是对于 这样的
f
n
用
L
1
范数取代了
L
1

范数

d
（e）成立。又因为对任意指示函数
fL
1
(　)
都有
f

f
1
，这
便轻易得到 了当任意
f

j1

i
I
Q
在
L
1

范数下（e）成立。
j
d
现在对于任意
fL
1

(　

d
显然
hL
1(　)
建立
h(x,t)e


t
f(x,t)。


)
并且因此我们可以对积分

h(x,t)d xdt
进行黎曼近似得到
g
n



j
I
Q

且
g
n
h
1
n
1。然后令
g
n
(x,t)e

t
g
n
(x,t)
，它可以得到

fg
n
j

h g
n

1
n
1
。利用三角不等式，得到

T(u)g
n
g
n


g
n
f

T(u)ff

T(u)fT(u)g
n< br>

应用命题的性质（d）
T(u)fT(u)g
n

fg
n

n
1

n
1


因此得到
(3.5)

T(u)ff


n
1
T(u)g
n
 g
n


imTu(g
n
)g
n
建立 性质（e）唯一决定于证明
(3.6)

l
u0

，
0
n
。
如果我们取
0
，就有所有的

范数在不等式
(3.5)
和(3.6)
中与
L
1
范数

相等且
g
n
时指示函数。

现在令

0
，在这种情况下
g
n
是一个
L
1
函数而且由于我们刚刚证实
了性质（e）对 于
L
1
函数是成立的，于是
(3.6)
式成立因此我们证实了
对于
L

1
函数性质（e）也成立。
对于任一强连续半群
{T(u):u0}
在巴拿赫空间
X
上我们定义生成元
(3.7)

Lflim
T(u)ff
inX
< br>u0

u
意味着在巴拿赫空间范数下
u
1
(T( u)ff)Lf0
。线性算子的域
D(L)
是所有满足
(3.7)中限制的
fX
。而且
D(L)
在
X
中是稠密的，并< br>且
L
是闭的，这就说明如果
f
n
f
并在
X
上有
Lf
n
g
，则

（例见[23] I. 2.5）。在下面的定理中，我们把如方程（3.3）
fD(L),Lfg
d
所定 义的半群的算子特征化。对于任何
gL

1

　

，其傅立叶拉
普拉斯变换
g(k,s):
均有定义。 < br>^
d
　

st
d
eeg(x,t)dtdx
对于所有的以及
s

k¡


ikx
d< br>定理3.2. 假设
T
按照情况3.1.中方程（3.3）定义并且令
XL< br>1

(　

)
。
设
L
是强连续半 群的生成元。那么对所有的
fD(L)
都有
Lf(k,s)

( k,s)f(k,s)
，其中

(k,s)
由（3.1）式给出并且
D(L){fX:

(k,s)f(k,s)h(k,s)hX}

^^
^^
进一步，如果

表示
L
1

( 　
d

和一阶时间弱导也在
L
1

(　
d

(3.8)



)
的子集，且它的一二阶空间 弱导数
)
上，那么

D(L)
且对任意
f
< br>有
式
f1f(x,t)y

(x,t)Af(x,t) (H(ts)f(xy,ts)f(x,t))
2

t2
d< br>1y
RR{(0,0)}

Lf(x,t)af(x,t)b< br>H(t)
是
Heaviside
阶梯函数。
d
证明。 如果
fD(L)L
1

(　
^

)
，那 么存在其傅里叶拉普拉斯变换
f(k,s)
。由于卷积的傅里叶拉普拉斯变换是一个乘积
T(u)f(k,s)exp(u

(k,s))f(k,s)
。那么由于对任意
f,gX
都有
^^
fg

^^
d
其本 性上确界由
(k,s)L
1
fg

，
(　


再由（3.7）
)
决定，
得到
^
expu< br>
(k(s,))1
,s)l

imf(k

,s)
(3.9)

Lf(k
u0
u
^
k(s ,
对所有
)fk(s,
f
)
D(L)
^
成立。
反之，取
fX
满足对一些
hX
有

(k,s) f(k,s)h(k,s)
。那么对所有
^^


0
都有
g:

fhX
。此外，它是半群理论的基本事实（参见，例如[23] 定理I.5.2），该预解算子
(

IL)
1
对于所有

0
都是有界线性
算子，并且把
X
映到
D(L)
。设
q(

IL)
1
g
。则有
qLqg
及

q(k,s)

(k,s)q( k,s)g(k,s)
。因此有
g(k,s)

f(k,s)

(k,s)f(k,s)
^
q(k,s)f(k,s)

< br>

(k,s)



(k,s)
^
^^^
^^^
因此
qf
，
fD(L)
。
最 终，我们得到了算子
L
在方程（3.8）中的形式。令
f

f


i1
d
f
x
i



d
i,j1

2
f
x
i
x
j


f
t


我们假设t0
时
f
定义为0并抑制(3.8)式中的
Heaviside
函数
H
。首先
假定
f
对
x
存在二阶偏导对
t
存在一阶偏导。使用泰勒级数对
x
展开，
f(xy,t)f(x,t )yf(x,t)y

(1r)M
xry
ydr
，其 中
M
x
是
f
在
(x,t)
的
0
1
Hessian
矩阵，容易得到存在常数
C
使得


t
e

f(xy,t)f(x,t)
yf(x,t)
1 y
2
dxdtCf
y
2
2

1y

同样的，对
t
使用泰勒级数展开，存在常数
D
使得


t

ef(x,ts)f(x,t)dxdtDf
s
< br>
1s
使用费比尼定理——按惯例通过加减
f(xy,t)
从而利 用先前的估计
——我们得到
(3.10)



t

e(

f(xy,ts)f(x,t)
yf(x,t)1y
2

(dy,ds))dxdt

dxdt)

(dy,ds)


(

e


t
f(xy,ts)f(x,t)
yf(x,t)
1y
2

f

(C


(dy,ds)D


(d y,ds))

2
1s
1y

Kf


其中
K
为（3.2）的常数。因此对所有满足连 续条件的
f
（3.8）式可
以很好地被定义。
由于
(ik
j
)f(k,s)
是
f(x,t)x
j
的傅里叶拉普拉斯变换 ，
sf(k,s)
是
f(x,t)t
的傅里叶拉普拉斯变换而且
f(xy,ts)
的傅里叶拉普拉斯
^
^
y
2
s
变换为
exp(iky)exp(st)f(k,s)
，由此推出（3.8）式右边的傅 里叶拉普
拉斯变换为

(k,s)f(k,s)
。
接下来我们证明

D(L)
.首先如果有
L
1
f(x,t):a f(x,t)b
f1
(x,t)Af(x,t)

t2
^
^
就能得到
L
1
f

Bf


其中
B为与
f
无关的常数。进一步，如果
L
2
f(x,t):

d
　
(f(xy,ts)f(x,t)
{(0,0)}yf(x,t)
1y
2
)

(dy,ds)
< br>d
则
LL
1
L
2
并且对
f

C

(　

)
有
Kf


(3.11)

Lf

 L
1
f

L
2
f

Bf
< br>
)
使得在范数


d
如果
f

，就有数列
{f
n
}

C

(　
n1



下

1
f
n
f
并且在
L
1

范数有同样结论。不等式（3.11）说明
{ Lf
n
}
n1
在
L

范
d
数下 收敛到
gL
1

(　

)
。由于
L< br>是闭的，于是有
fD(L),Lfg
。
注3.3. 另一个影响
T(u)
成为强连续半群的因素是
f
u
(x,t)T(u)p(x,t)< br>解
决抽象柯西问题

(3.12)

d
f< br>u
Lf
u
;f
0
p
其中
pD(L)< br>。
du
u
更进一步，积分方程
T(u)pL

0
T(v)pdvp
对所有
pX
（例子见[23]
定理
1 .2.4.
）。这个发展方程小心去解，因为现在对
u0

f
u
(x,t)
同时是
空间和时间函数。
注3.4.尽管 从定理3.2的一些结论可以从强连续半群的一般理论[1，
11，23]中得到,我们还没有看到有任 何结果能说明时间是空间的一部
d
分变量。另一个难点就是，注3.3.中的函数
f< br>u
对任意的
u0
在
　

上没有紧支持。此外，注 意到如果
p(x,t)
是
x
对
t
的概率密度，那么不
论是
p(x,t)
还是
f
u
(x,t)
在
(x, t)
上都没有收敛的傅里叶积分。
时空耦合扩散方程
在本节中，我们结合[3]中 的随机过程极限理论应用第3部分的结果来
研究耦合连续时间随机行漫步

CTRW< br>
。在
CTRW
模型中，每个随机等
待时间
J
i0
都会伴随一个随机粒子的跳跃
Y
i
¡
d
。我们假 设时空矢量

J
i
,Y
i

是独立的，
i 1,2,3,...
。但是我们允许
J
i
和
Y
i
之间存在依赖。如
果
J
i
有限，[8]中的一个更新定理表明这些伴随时间< br>t
的跳跃数量是渐
近恒定的，从而说明这个极限过程和非随机等待时间的简单随机漫步< br>是一样的。另一方面，若对一些
0

1
有
P(Jt) t


，则在温和条
件下随机漫步的时空矢量收敛到
d1
维Levy运动算子
{(D(u),A(u))}
u0
，
其中
D( u)
是从属于

稳定的拉普拉斯变换
e
us
。在注3.3 .中的函数
f
u
(x,t)
是这个极限过程的概率密度时，
L
是相关
Feller
半群的生成元。

由于
D(u)
可以 计算跳跃次数，其逆过程
E
t
inf{u0:D(u)t}
表明跳跃< br>的次数，并且
CTRW
极限
{A(E
t
)}
t0< br>代表耦合异常扩散模型的极限随机

过程。在[3]的计算表明这一过程的概率密度 是
)

(4.1)

h(x,t

0

1
t

1
u
f(x,t

)du
并且其傅里叶拉普拉斯变换是
)

(4.2)

h(x,t
^
^


1u

(k,s )
0
se
s

1

du

( k,s)
^
由于
f
u
(k,s)exp(u

( k,s))
。所以

(k,s)h(k,s)s

1
， 其中

(k,s)
是生成
元
L
的傅里叶拉普拉斯标志。现在 假设在时间
t0
的颗粒位置是随机
变量
X
0
在
C

的概率密度
P(x)
。在
CTRW
模型里，在时间
t0
的随机颗
粒位置是
Z
t
X
0
A(E< br>t
)
，假设
X
0
是独立的，则
Z
t
的概率密度为
C(x,t)

h(xy,t)P(y)dy

则有
C(k,s)h(k,s)p(k)
，其中
p(k)

e< br>ikx
P(x)dx
是傅里叶变换。现在就
有

(k,s )C(k,s)

(k,s)h(k,s)p(k)s

1
p (k)

t


d
式子右边可以转化为
P(x)< br>，并且是
L
1

(　
(1

)

^^
^^
)
的元素。由于
C(x,t)
满足定理3.2 .的条件所以
C
在域
L
中且可以转化为上面的方程
从而给出结论C(x,t)
是时空耦合方程
t


P(x)

(4.3)

LC(x,t)
(1

)
的特殊的傅里叶拉普拉斯变换解。
注4.1.（4.3）中使用拉普拉斯傅里叶标志

(k,s)
的伪微分算子
L
可以
通过（3.1）的levy表示及[3]中定理2.2来计算，可以明确lev y测度

(dx,dt)
的形式。[3]中有一些具体的例子。在非耦合情况下的对称 梯


度跳跃，其标志

(k,s)s

 k
与非耦合算子

t



x
相关并且 由此（4.3）
变弱为
Zaslavsky
的分数运动方程[31]。如果
Y
均值为0方差为
2t
那么当
Yt
就有

(k,s )(sk
2
)

并且（4.3）式就变为
t



(4.4)

(
t< br>)h(x,t)P(x)
(1

)
2

x
2

重尾对称跳跃就导致了在
¡
1
中
L
(

t


x
)

与在
¡d
中
L(
t


x
)
的
相似形式。
结论
当粒子跳跃之间的等待时间影响跳跃大小的确定时，时空耦合分数阶扩散方程对在物理建立异常扩散模型是很有用的。时空耦合分数阶导
数可以被定义为确定的卷积半群 的生成元。最近在[10,28]中的经济学
研究对各种各样的经济学工具的收益使用了耦合
C TRW
模型。由
[24,25]所得到的经验证据表明交易之间的等待时间影响价格变动的确定。由此，基于时空分数阶导数的时空耦合分数阶扩散方程，在这
方面的领域内可能会有所应用。
参考书目（省略）

个人感想
翻译论文这件事对我来说本是罕见，但在这门 课上却是连着经历
了两次。怎么说呢，翻译的过程基本都不会一帆风顺，但也算不上困
难重重。 其实相比上次的小组翻译这次的各人翻译相对来说能更顺利
一些，毕竟一个人的译文比多人合作出来的东 西看起来通顺了不少。
再者，对于译者来说，从始而终的过程也比从中间某一段莫名其妙的
开始 翻译要简单不少。
那么本次我所翻译的论文是针对时空分数阶倒数算子的。它主要
应用于时空 异常扩散。看到扩散一词大多都会想到物理或者化学中的
粒子扩散。然而它并非我们平常所见的那种扩散 过程，由扩散中心向
周围慢慢的运动开去，而是或静止或突变，仿佛一个情绪极其不稳定
的孩子 。而该论文的作者将这种模型的应用方向基本定在了经济学的
方面，将这种静止和突变的过程类比为交易 间隔的时间以及价格的变
动，这无疑是非常贴切的。当然本文的重点是在与这种模型的数学基
础 ，而非在现实生活上的应用，读来多多少少是有些枯燥。论文的主
题部分分为三个部分：分数阶导数和异 常扩散，时空分数阶导数，以
及时空耦合方程。当然第一部分其实是相当于一个引子，通过介绍控
制方程的演化，告诉我们不能用一般的方式来研究演化方程，从而引
出下面要讨论的时空分数阶导数。 下一部分则主要为我们介绍了一些
重要的定理和性质。最后则通过以上的讨论得到了
CTRW< br>模型的一些
具体情况。
文章思路清晰，条理分明。对我们自己以后的论文形式有一定的

启发。也有助与我们形成这种从现实起源到理论再到应用的思考问题
的思路。但 是作为基础知识欠缺，知识结构不完整的处在学习状态中
的我来说，文章所述的问题只能大体理解，然而 其中具体讨论的细节
却基本是一头雾水，不知所闻。可见在学习的道路上我还有很长很长
的路要 走。
总而言之，以上就是鄙人的一些浅见。说出来与大家分享，望有
识者不要见笑。