兰亭集序原文及翻译-文竹叶子发黄

时滞格点系统的全局紧吸引集概述
分数阶微分方程是指含有分数阶导数的微分方程，在物理、生物等领域有非常广泛的应
用, 本 文通过假设非线性项在某种程度上是序列弱连续的，证明了在Banach空间中抽
象分数阶微分方程有 关解的存在性的一些一般性结论。之后我们考虑一个具有分数阶物
质导数的时滞格点系统，通过研究其在 给定的条件下解的存在性及吸收集估计和尾部估
计，从而首次给出了该系统在解不唯一的情况下全局紧吸 引集的存在性。

关键词: 格点系统，延迟微分方程，分数阶物质导数，全局紧吸引子

分数阶导数有很多种定义，包括Riemann- Liouville定义，Caputo定义和
Grunwald-Letaikov 定义，不同定义 下的分数阶导数方程的性质不同，但是相对
于整数阶导数方程都有更大的优势。分数阶导数的微分方程相 对于整数阶能更好
的拟合实验数据，能更好地描述实验现象。在医学图像处理，天气和气候的研究
以及地震奇异性分析上有重要作用。本文研究Caputo意义下分数阶导数微分方
程解的性质。
分数阶导数早在1695年就被提出，是整数阶微积分的推广但一直没有被工
程人员重视，早 期的分数阶导数的研究还主要集中于数学理论领域。直到人们发
现了分形几何可以与分数阶导数建立联系 ，分数阶导数才越发被重视。因为整数
阶导数虽然理解容易，应用简单，很多实际问题都能用整数阶导数 方程解决，但
在实际应用中会遇到很多困难，尤其是在对实际工程中的所采集的数据进行拟合
时 误差较大，对于复杂系统的描述效果不佳，不能从本质上反应系统的特点，同
时由于所描述系统的复杂性 ，对参数的敏感性较大，此时整数阶导数的微分方程
就不能很好地适应参数的变化，就必须改变模型结构 而建立新的模型。所以学术
界急需可依据基本的原理对这些系统进行建模描述其过程的数学工具，来弥补 传
统的整数阶导数的不足。而分数阶微积分方程非常适合刻画具有记忆或遗传性质
的复杂系统， 其对复杂系统的描建模的时候就更加简单，使用到的参数的物理意
义就更加明确，成为复杂力学与物理过 程数学建模的重要工具之一。
现如今，人们已经意识到反常扩散在自然界大量存在。有一个描 述反常扩散
的基本框架是伴随幂律的等待时间的概率密度函数（PDF）或幂律跳跃长度 PDF
的连续时间随机路径（CTRWs）。在CTRW 的基础上，关于时间或空间的普朗克
方程可以描绘反常扩散的粒子系统的PDF 的时间演化。反常扩散的轨迹是怎样
的呢？为了解答这个问题，Carmi，Turgeman 和Barkai 导出了相应的具有分数
阶物质导数的迁移方程[6]。这只是一个例子，实际上，分数 阶物质导数也出现
在用来描述Levy 过程的PDF 的时间演化的迁移方程[18,25]。由于较 大的应用
价值，具有分数阶物质导数的微分方程已经吸引了很多人关注，具体例子见
[6,7, 10,14,18,25,26]。分数阶物质积分定义为[10,14]：
I

s
f(x)

1


(x

)
1
(x

)ef(

)d

,
0

(

)

并且和[24]中类似，Caputo 分数阶物质导数定义为：

f(x)I

[D
m
f(x )],

m


D
sss

可以是常 数或者与
x
无关的函数，
m
是大于

的最小整数，并且 < br>m






D
s

m

x

(D

)
m
( D

)(D

)(D

)

格点微 分方程被广泛应用于离散空间结构的情形。有些系统例如细胞神经网
络应用图像，模式识别，大脑科学和 有髓鞘的轴突膜中脉冲的传播(见例子
[11,12,13,20,20])。另外，将一个抛物型微分 方程进行空间离散化之后也可以
得到格点系统。最近有很多关于时滞微分方程全局紧吸引子存在性的研究
[2,5,23,28,29,30]。
1

由于物理原因，非速溶传播现象，控制问题，特殊生物性动机例如物种进化，
等等，使得包含某 种延迟，记忆或者迟钝的项的动力系统在应用数学中占有一席
之地。具有延迟的格点系统全局紧吸引子存 在性研究可见[11,12,13,20,20]。通
过用巴拿赫不动点定理，[2,5,23,28, 29,30]得到了一些关于分数阶导数微分方
程解的存在性的结果。[4,5,27,28]得到了一 些关于分数阶的微分和积分方程的
吸引性和全局渐近稳定性的结果。借鉴上面工作的经验，本文也做了相 关工作主
要目的是分析以下的具有分数阶物质导数格点方程的解的存在性和全局吸引子。
< br>
u(t)(u


D
sii1
2u
i
u
i1
)

u
i
f
i
(u
i
(t

(t)))0,t0,0

1

(1.0.1)


u
i
(s)

i
(s),s[h,0],iZ,

其中，

R
。上面方程是由以下方程离散化得到的：



2
u

D
s
u(t)
2


uf(u(t

(t)))0,t0,0

 1,xR,


x

u(s)

(s), s[h,0].


是Caputo 分数阶物质导数且 这里
D
s



,

0,h0,u(u
i
)
iZ
l
2

t
Z表示整数集合，并且对于连续函 数（Y是某个空间），u
t
表示解的分割，也就
是说，C([−h, 0]，Y) 中的元素定义成u
t
(s)=u(t+s),s∈[−h,0]。
在本文中 ，假设非线性项在某种程度上是序列弱连续的，证明关于Banach
空间具有延迟的分数阶方程解的存 在性的一些一般的结论（见第二部分）。这个
结果拓展了[3]中Banach 空间具有经典导数的时 滞微分方程的相关结果。之后
我们在第三部分分析在没有解的唯一性的前提下系统(1.0.1)渐近行 为。因此，
为了得到全局紧吸引子，主要困难就是分数阶积分导致的非局部性质。同时借鉴
了文 献[4,5,27]中的关于多值系统的吸引子理论。

Mandelbort 在1983 年提出，在很多学术领域存在大量的分数维，之后分数
阶导数是最近几年研究的热点问题，它在很多领域 都具有很大的应用价值。一般
的控制系统都具有各种延时，反馈数据有延时，信号传输过程中要经历延时 ，只
有具有时滞的方程才能描绘各种具有延时现象的系统的本质。所以分数阶导数日
益成为数学 研究的重点，一直有人发表各种关于分数阶导数的研究的论文并引起
了较大的反响。
本文研 究的是具有分数阶导数的格点系统解的性质，最后得到紧吸引子的
存在性。应该说对实际应用有一定的参 考价值。本文先得到一种一般的分数阶导
数的方程的解的存在性的定理，之后得到了一些推论。这一部分 我们遇到了很多
困难，尤其是在用欧拉方法时得到解函数列后，传统方法不能得到一致有界，后
来经过很长时间的考虑改用皮卡迭代法得到一列解函数，用数学归纳法得到了一
致有界性。然后提出一种 具有分数阶导数的具有时滞项的格点系统的方程，研究
出其解的存在性之后，我们就研究该系统解的渐近 性，先后得到解的吸收集估计
D
s

2

和球外估计。在得到解的吸收集估计时，我们先将解的范数放大，最后利用 推广
的Gronwall不等式，得到解的吸收集的估计，结论是当时间趋于正无穷，系统
的解 会进入一个与初值无关的集合内。在进行尾部（球外）估计时，本文通过构
造辅助函数证明了当系统的分 量的角标值的于某个整数时，当时间充分大时，球
外部分可以充分小。最后证明解的全局吸引子的存在性 。
为了得到这个结果，我们分为了三步。第一步是先给出一个特殊的函数列，
再证明是列紧的 ，用到了上面的尾部估计，再证明函数列是等度连续的，最后就
证明函数列相对紧。这一步实际上就是给 出了一个找局部吸引子的方法，第二步
就用反证法证明了这些函数列的所有极限函数构成的集合是一个是 非空紧集合
且吸引着所有的轨线。第三步就是得到全局吸引子的存在性。将第二步得到的吸
引子 并起来取其闭包，就得到全局吸引子。
和研究整数阶导数方程的方法不同，文章中用到了附加条件。结 果不具有普
遍性，下一步的研究我们可以考虑去掉那个附加条件，用另外的方法证明解的存
在性 。另外，如果想得到本文中所研究的方程的解的唯一性，必须加上利普希茨
条件，而已查得的一篇文献没 有用利普希茨条件即可证得一种整数阶导数的反应
扩散方程解的唯一性。本文下一步可以考虑不用利普希 茨条件来证明具有分数阶
导数的格点系统解的唯一性。比较之前的诸多的在利普希茨条件下得到解的唯一
性的工作，这会有更大的意义。
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