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（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特 别地，当直线与x轴平行
或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率。直线的斜率常




时，
k0； 当

90

时，
k
不存在。


90,180

0,90
k0
当时，； 当
yy
1
k
2
(x
1
x
2
)
x
2
x
1
②过两点的直线的斜率公式：
用k表示。即
ktan

。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率
概念考查
1、已知经过点A（－2 ，0）和点B（1，3a）的直线

1
与经过点P（0，－1）和点Q（a，
－2a）的直线

2
互相垂直，求实数a的值。
2、直线
yaxb
与
ybxa
在同一坐标系下可能的图是（ ）






y y y y
O
A
x
O
B
x
O
C
x
O
D
x
3、直线
yk(x2)3
必过定点，该定点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（2，–3） D．（–2，3）
4、如果直线
axbyc0
（其中
a,b,c均不为0）不通过第一象限，那么
a,b,c
应满足的
关系是（ ）
A．
abc0
B．
ac0
C．
ab0
D．
a,b,c
同号
5、若点A （2，–3），B（–3，–2），直线
l
过点P（1，1），且与线段AB相交，则
l
的斜率
k
的取值范围是（ ）
A．
k




（3）两点间距离公式：设
则
33133
或
k4
B．
k
或
k
C．
4k
D．
k4
44444

A(x
1
,y
1
)，（Bx
2
,y
2
）
是平面直角坐标系中的两个点，

|AB|(x
2
x
1
)
2
(y
2< br>y
1
)
2

（4）点到直线距离公式：一点
P

x
0
,y
0

到直线
1
l:A xByC0
的距离
d
Ax
0
By
0
C
A
2
B
2


概念考查
（1） 求两 平行线
l
1
：3x+4y=10和
l
2
：3x+4y=15 的距离。



（2） 求过点M（-2，1）且与A（-1，2），B（3，0）两点距离相等的直线方程。



（3） 直线
l
经过点P（2，-5），且与点A（3，-2）和点B（- 1,6）的距离之比为1:2，求
直线
l
的方程



（4） 直线
1
过点A（0,1），
2
过点（5,0），如果
方程



（5）已知点P（2，-1）
a、求过P点且与原点距离为2的直线
l
的方程
b、求过P点且与原点距离最大的直线
l
的方程，最大距离是多少




（5）、求关于点对称的对称问题的方法。
（1）求已知点关于点的对称点。（距离相等，三点同线）
（2）求直线关于点的对称直线。（平行，点到线距离相等）
（3）求点关于直线的对称点。（在垂直线上，距离相等）
（4）求直线关于直线的对称直线。（平行：距离相等；相交：过交点，点对称）
概念考查
已知直线
l
：y=3x+3，求：
（1） 点P（4，5）关于
l
的对称点坐标；
ll
l
1

l
2
，且
1
与
2
的距离为5，求
1
、2
的
llll

（2） 直线y=x-2关于
l
的对称直线的方程；



（3） 直线
l
关于点A（3，2）的对称直线的方程。





（6）直线上动点与已知点距离的最大最小值
a. 在直线
l
上 求一点P使
|
PA
|
+
|
PB
|
取得最小 值时，若点A、B位于直线
l
的同侧，则作点A
（或点B）关于
l
的 对称点
A

（或点
B

），连接
A
B
（或
AB

）交
l
于点P，则点P即为所
求 。若点A、B位于直线
l
的异侧，直接连接AB交
l
于P点，则点P即为所求 。可简记“同
侧对称异侧连”。即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧
时，直接连接两点即可。
b. 在直线
l
上求一点P使||PA|-|P B||取得最大值时，方法与a恰好相反，即“异侧对称
同侧连”。
概念考查
（1） 已知两点A（3，-3），B（5,1），直线
l:yx
，在直线
l
上求一点P，使|PA|+|PB|
最小。





（2） 求一点P，使
|
|PA|-|PB|
|
最大

直线的方程经典例题

经典例题透析

类型一：求规定形式的直线方程


1．(1)求经过点A(2，5)，斜率是4直线的点斜式方程；
，在 (2)求倾斜角是








轴上的截距是5；直线的斜截式方程；
(3)求过A(-2，-2)，B(2，2)两点直线的两点式方程；
(4)求过A(-3，0)， B(0，2)两点直线的截距式方程.
思路点拨：
直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，要根据条件写出直线方程.
； 解：(1)由于直线经过点A(2，5)，斜率是4，由直线的点斜式可得
(2)；
；






.
总结升华：
写规定形式的方程，要注意方程的形式.
举一反三：
【变式1】
，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程； (1)写出倾斜角是
(2)求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程；
(3)求过A(1，0)， B(0，-4)两点直线的截距式方程.
【答案】
(1)；
；





.

类型二：直线与坐标轴形成三角形问题


2．过点P(2 ，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最
小值及此时直线的方程.
思路点拨：
因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程 ，且易知k<0，
再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.
解析：
解法一：设直线的方程为:y-1=k(x-2)，
令y=0，得:x=
令x=0，得y=1-2k，
；
∵与x轴、y轴的交点均在正半轴上，
∴
故k<0，

>0且1-2k>0
△AOB的面积

当且仅当-4k=-
S取最小值4，
，即k=-时，
故所求方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.
总结升华：
解法 一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数
结合的思想，体现了解 题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意
斜率不存在的直线不能用点斜式表 示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在
的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距 ，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为
一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

类型三：斜率问题
3．求过点

，且与轴的交点到点的距离为5的直线方程.
思路点拨：
要对直线是否存 在斜率的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直
线方程，然后求解.
解析：
(1)当直线斜率存在时，因为直线与轴相交，所以
已知直线过点，代入点斜式方程，得
，设直线的斜率为，
，
所以直线与轴的交点为
故所求直线方程为；
则有，解得，
(2)当直线斜率不存在时，经过点A且垂直于轴的直线与轴的交点(-4，0)到
的距离也恰好
为5，所以直线也满足条件.
或. 综上所述，所求直线方程为
总结升华：
解答此类问题时，容易忽视直线斜率不存在时的情况，同学们在实际解答时要全面考虑 .
斜率不存在的直线(即垂直于轴的直线)不能用点斜式、斜截式方程求解，点斜式、斜截式
方 程的使用条件是直线斜率必须存在.因此，用点斜式、斜截式方程求解直线方程时要考虑
斜率不存在的情 况，以免丢解.


类型四：截距问题
4．求过点
思路点拨：

且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
要对直线截距的不同情况加以分类解析，结 合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后
求解.直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程，也 可以用由图形性质，得
到k=-1时截距相等，从而选用点斜式. 解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用函

数
解析：
.
(1)当截距不为零时，设所求直线方程为
，
故所求直线方程为
(2)当截 距为0时，直线方程为
综上所述，所求直线方程为
总结升华：
；

或
，将点代入得，解得
.
注意截距与距离的区别，截距可正、可负、可为零 ，不可与距离混为一谈.截距式方程的使
用条件是直线在轴、轴上的截距都存在且不为零，垂直于坐标轴 和过原点的直线不能用
该方程求解，因此用截距式方程要考虑截距为零的情况.解答此类问题时，容易遗 漏所求直
线在在轴、


轴上的截距为0的情况，在实际解答时要全面考虑.

P