小学奥数——乘法原理与加法原理
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乘法原理与加法原理
在日常生活中常常会遇到这样一些问题,就是在做一
件事时,要分几步才能完成,而在完成每一
步时,又有几种不同的方法,要知道完成这件事一共有多少种
方法,就用我们将讨论的乘法原理来解
决.
例如某人要从北京到大连拿一份资料,之后再到天
津开会.其中,他从北京到大连可以乘长途汽
车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船.那么,他
从北京经大连到天津共有多少种不同的走
法?
分析这个问题发现,某人从北京到天津要分两步
走.第一步是从北京到大连,可以有三种走法,
即:
第二步是从大连到天津,只选择乘船这一种走法,所以他从北京到天津共有下面的三种走法:
3×1=3.
如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津,那么他从北京到天津则有以下的走法:
共有六种走法,注意到3×2=6.
在上面讨论问题的过程中,我们把所有可能的办
法一一列举出来.这种方法叫穷举法.穷举法对
于讨论方法数不太多的问题是很有效的.
在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤.由穷举法得到的结论看到,用第一步所有的可能方
法数乘以
第二步所有的可能方法数,就是完成这件事所有的方法数.
一般地,如果完成一件事需要个步骤,其中,做第一步有
精选
种不同的方法,做第二步有种
.
不同的方法,…,做第
种不同的方法.
这就是乘法原理.
例1.
步有种不同的方法,那么,完成这件事一共有
某人到食堂去买饭,主食有三种,副食有五种,他主食和
副食各买一种,共有多少种不同的
买法?
补充说明:由例题可以看
出,乘法原理运用的范围是:①这件事要分几个彼此互不影响的独立步
骤来完成;②每个步骤各有若干种
不同的方法来完成.这样的问题就可以使用乘法原理解决问题.
例2. 右图中有7个点和十条线段,
一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求
任何线段和点不得重复经过.问:这只甲虫最多有几种不同的
走法?
例3.
书架上有6本不同的外语书,4本不同的语文书,从中任取外语、语文书各一本,有多少种
不同的取法?
例4. 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、2
00米跑四项
中的一项比赛,问:报名的结果会出现多少种不同的情形?
例5. 由数字0、1、2、3组成三位数,问:
①可组成多少个不相等的三位数?
②可组成多少个没有重复数字的三位数?
分析 在确定由0、1、2、3组成的三位数的
过程中,应该一位一位地去确定.所以,每个问题都可以
看成是分三个步骤来完成.
①要
求组成不相等的三位数.所以,数字可以重复使用,百位上,不能取0,故有3种不同的取
法;十位上,
可以在四个数字中任取一个,有4种不同的取法;个位上,也有4种不同的取法.
精选
.
②要求组成的三位数中没有重复数字,百位上,不能取0,有3种不同
的取法;十位上,由于百
位已在1、2、3中取走一个,故只剩下0和其余两个数字,故有3种取法;个
位上,由于百位和十位
已各取走一个数字,故只能在剩下的两个数字中取,有2种取法.
例6. 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数?
分析 要组成四位数,需一位一位地确定各个数位上的数字,即分四步完成,由于要求组成的数是奇数,故个位上只有能取1、3、5中的一个,有3种不同的取法;十位上,可以从余下的五个数字中取
一个,有5种取法;百位上有4种取法;千位上有3种取法,故可由乘法原理解决.
例7. 右图中共有16个方格,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里,并使
每行每
列只能出现一个棋子.问:共有多少种不同的放法?
分析 由于四个棋子要一个一个地放入方格内.故
可看成是分四步完成这件事.第一步
放棋子A,A可以放在16个方格中的任意一个中,故有16种不同
的放法;第二步放棋子B,由于A
已放定,那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B,故还剩
下9个方格可以放B,B有9
种放法;第三步放C,再去掉B所在的行和列的方格,还剩下四个方格可以
放C,C有4种放法;最
后一步放D,再去掉C所在的行和列的方格,只剩下一个方格可以放D,D有1
种放法,本题要由
乘法原理解决.
例8. 现有一角的人民币4张,贰
角的人民币2张,壹元的人民币3张,如果从中至少取一张,至
多取9张,那么,共可以配成多少种不同
的钱数?
分析 要从三种面值的人民币中任取几张,构成一个钱数,需一步一步地来做.如先取一角的
,再取
贰角的,最后取壹元的.但注意到,取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币,得到的钱数是相
同
的.这就会产生重复,如何解决这一问题呢?我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一<
br>精选
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起来考虑.即从中取出几张组成一种面值,看共可以组成多少
种.分析知,共可以组成从壹角到捌角
间的任何一种面值,共8种情况.(即取两张壹角的人民币与取一
张贰角的人民币是一种情况;取4
张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况.)这样一来,可以
把它们看成是8张壹角的人民
币.整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱
.这样,第一步,从8张
壹角的人民币中取;第二步,从3张壹元的人民币中取共4种取法,即0、1、
2、3.但要注意,要求
“至少取一张”.
生活中常有这样的情况,就
是在做一件事时,有几类不同的方法,而每一类方法中,又有几种可
能的做法.那么,考虑完成这件事所
有可能的做法,就要用我们将讨论的加法原理来解决.
例如 某人从北京到天津,他可以乘火车也
可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到
天津,有4趟长途汽车从北京到天津.那么他在一天
中去天津能有多少种不同的走法?
分析这个问题发现,此人去天津要么乘火车,要么乘长途汽车,
有这两大类走法,如果乘火车,
有5种走法,如果乘长途汽车,有4种走法.上面的每一种走法都可以从
北京到天津,故共有5+4=9
种不同的走法.
在上面的问题中,完成一件事有两大类不
同的方法.在具体做的时候,只要采用一类中的一种方
法就可以完成.并且两大类方法是互无影响的,那
么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数
加上第二类的方法数.
一般地,如果完成一件事有
不同做法,…,第
同的方法.
这就是加法原理.
例1. 学校组织读书活动,要求每个同学读一本书.小明到图书馆借书时,图书馆有不同的外语书类方法中有
类方法,第一类方法中有种不同做法,第二类方法中有种
种不种不同的做法,则
完成这件事共有
150本,不同的科技书200本,不同的小说100本.那么,小明借一本书可以有多
少种不同的选
精选
.
法?
例2.
一个口袋内装有3个小球,另一个口袋内装有8个小球,所有这些小球颜色各不相同.问:
①从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?
②从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?
补充说明:由本题应注意加
法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同,乘法原理中,做完一件
事要分成若干个步骤,一步接一步地
去做才能完成这件事;加法原理中,做完一件事可以有几类方法,
每一类方法中的一种做法都可以完成这
件事.
事实上,往往有许多事情是有几大类方法来做的,而每一类方法又要由几步来完成,这就要熟悉
加法原理和乘法原理的内容,综合使用这两个原理.
例3. 如右图,从甲地到乙地有4条路
可走,从乙地到丙地有2条路可走,从甲
地到丙地有3条路可走.那么,从甲地到丙地共有多少种走法?
分析 从甲地到丙地共有两大类不同的走法.
第一类,由甲地途经乙地到丙地.
第二类,由甲地直接到丙地.
例4. 如下页图,一只小甲虫要从A点出发沿着线
段爬到B点,要求任何点和线
段不可重复经过.问:这只甲虫有多少种不同的走法?
分析
从A点 到B点有两类走法,一类是从A点先经过C点到B点,一类是从A
点先经过D点到B点.两类
中的每一种具体走法都要分两步完成,所以每一类中,都要用乘法原理,
而最后计算从A到B的全部走法
时,只要用加法原理求和即可.
例5. 有两个相同的正方体,每个正方体的六
个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.将两个正方
体放到桌面上,向上的一面数字之和为偶数的
有多少种情形?
精选
.
分析 要使两个数字之和为偶数,只要这
两个数字的奇偶性相同,即这两个数字要么同为奇数,要么
同为偶数,所以,要分两大类来考虑.
例6. 从1到500的所有自然数中,不含有数字4的自然数有多少个?
分析 从1到500的所有自然数可分为三大类,即一位数,两位数,三位数.
一位数中,不含4的有8个,它们是1、2、3、5、6、7、8、9;
要确定一个两位数,可以先取十位数,再取个位数,应用乘法原理.
要确定一个三位数,可以先取百位数,再取十位数,最后取个位数,应用乘法原理.
补
充说明:这道题也可以这样想:把一位数看成是前面有两个0的三位数,如:把1看成是001.把
两位
数看成是前面有一个0的三位数.如:把11看成011.那么所有的从1到500的自然数都可以看
成
是“三位数”,除去500外,考虑不含有4的这样的“三位数”.百位上,有0、1、2、3这四种选
法;十位上,有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法;个位上,也有九种选法.所以,除500外,
有4×9×9=324个不含4的“三位数”.注意到,这里面有一个数是000,应该去掉.而500
还没有算
进去,应该加进去.所以,从1到500中,不含4的自然数仍有324个.
这
是一种特殊的思考问题的方法,注意到当我们对“三位数”重新给予规定之
后,问题很简捷地得到解决.
例7.
如图,要从A点沿线段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方.问
有多少种不同的走法?
分析 观察下页左图,注意到,从A到B要一直向右、向上,那么,经过下页右图中C、D、E、F四<
br>点中的某一点的路线一定不再经过其他的点.也就是说从A到B点的路线共分为四类,它们是分别
经过C、D、E、F的路线.
精选
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自我检测
1. 某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地,现在知道从甲地到乙地
有3条路可以走,从乙地到丙地有2条路可
以走,从丙地到丁地有4条路可以走.问,罪犯共有多少种逃
走的方法?
2. 如右图,在三条平行线上分别有一个点,四个点,三个点(且不在同一条
直线上的三个点不
共线).在每条直线上各取一个点,可以画出一个三角形.问:一共可以画出多少个这
样的三
角形?
3.
在自然数中,用两位数做被减数,用一位数做减数.共可以组成多少个不同的减法算式?
4. 一个篮球队,五名队员A、B、C、D、E,由于某种原因,C不能做中锋,而其余四人可以分配
到五个位置的任
何一个上.问:共有多少种不同的站位方法?
5. 由数字1、2
、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数?②三位偶数?③没有重复数字的三位偶数?④百位为
8的没有重复数字的三位数?⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数?
6. 某市的电话号
码是六位数的,首位不能是0,其余各位数上可以是0~9中的任何一个,并且不同位上的数字可
以重复
.那么,这个城市最多可容纳多少部电话机?
1. 如右图,从甲地到乙地有三条路,从乙
地到丙地有三条路,从甲地到丁地有两条路,从丁
地到丙地有四条路,问:从甲地到丙地共有多少种走法
?
2.
书架上有6本不同的画报和7本不同的书,从中最多拿两本(不能不拿),有多少种不同的
拿法?
3. 如下图中,沿线段从点A走最短的路
线到B,各有多少种走法?
4. 在1~1000的自然数中,一共有多少个数字0?
5.
在1~500的自然数中,不含数字0和1的数有多少个?
6.
十把钥匙开十把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,问:最多试开多少次,就能把锁和钥匙配起来?
精选