四年级下奥数第九讲加法原理(教师用)
开国大典教学设计-颤动的拼音
四年级下奥数第九讲加
法原理(教师用)
-k Information Technology Company.2020YEAR
第九讲: 加法原理(一)
日期: 5.4
知识要点
加法原理的定义
一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方
法中有
m
1
种不同做法,第二类方法中有
m
2
种不同做法,
…,第k
类方法中有
m
k
种不同做法,则完成这件事共有
N
m
1
m
2
……m
k
种不同方法,这就是加法原理.
加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题
可以使
用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.
分类时,首先要根据问
题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其
次,分类时要注意满足两条基本
原则:
① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;
②
分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.
只有满足这两条基本原则,才可以保证分类计数原理计算正确.
运用加法原理解题时,关键是
确定分类的标准,然后再针对各类逐一计数.通俗地说,就是“整体
等于局部之和”.
加法原理解题三部曲
1、完成一件事分N类;
2、每类找种数(每类的一种情况必须是能完成该件事);
3、类类相加
枚举法:枚举法又叫穷举法,就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数.
分类讨论的
时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来,这时的方法就是枚举法.枚举的时候要
注意顺序,这样才
能做到不重不漏.
例题精讲
1、分类讨论中加法原理的应用
【例 1】
(难度等级 ※)小宝去给小贝买生日
礼物,商店里卖的东西中,有不同的玩具8种,不同的
课外书20本,不同的纪念品10种,那么,小宝
买一种礼物可以有多少种不同的选法?
【例 2】
【解析】
小宝买一
种礼物有三类方法:第一类,买玩具,有8种方法;第二类,买课外书,有20种方
法;第三种,买纪念
品,有10种方法.根据加法原理,小宝买一种礼物有8+20+10=38种方
法.
【巩固】 (难度等级
※)有不同的语文书6本,数学书4本,英语书3本,科学书2本,从中任
取一本,共有多少种取法?
【巩固】
【解析】
根据加法原理,共有6+4+3+2=15种取法.
【巩固】 (难度等级 ※)阳光小学四年级有3个班,各班分别有男生18人、20人、1
6人.从中
任意选一人当升旗手,有多少种选法?
【巩固】
2
【解析】
解决这个问题有3类办法:从一班、二班、三班男生中任选1人,从
一班18名男生中任选1人
有18种选法:同理,从二班20名男生中任选1人有20种选法;从三班1
6名男生中任意选1
人有16种选法;根据加法原理,从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有
:
18201654
种.
【例 3】
(难度等级※※)从1~10中每次取两个不同的数相加,和大于10的共有多少种取法?
【例 4】
【解析】
根据第一个数的大小,将和大于10的取法分为9类:
第1
类
第2
类
第3
类
第4
类
第5
类
第6
类
第7
类
第8
类
第9
类
第一个
数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
第二个数
10
10、9
10、9、8
10、9、8、7
10、9、8、
7、6
10、9、8、7
10、9、8
10、9
10
有几
种
1
2
3
4
5
4
3
2
1
因此,根据加法原理,共有:
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10.
选择合适的分类方式是
运用加法原理的关
【巩固】 (难度等级※※)从1
~8中每次
键.好的分类方式往往
取两个不同的数相加,和大于10的共
达到事半功倍
的效果.
有多少种取法?
注意:本题中“
78
”
【巩固】
与“
87
”只能算一种
【解析】
两个数和为11的一共有3种取法;两
取法.
个数和为12的一共有2种取法;
两个数和为13的一共有2种取法;两
个数和为14的一共有1种取法;
两个数和为15的一共有1种取法;
一共有3+2+2+1+1=9种取法.
【例 5】
(难度等级 ※※
)甲、乙、丙三个工
厂共订300份报纸,每个工厂至少订
了99份,至多101份,问:一共
有多
少种不同的订法?
【例 6】
【解析】
甲厂可以订99、100、101份报纸三种
方法.
如果甲厂订99份,乙厂有订100份和101份两种方法,丙厂随之而定.
如果甲厂订100份,乙厂有订99份、100份和101份三种方法,丙厂随之而定.
如果甲厂订101份,乙厂有订99份和100份两种方法,丙厂随之而定.
根据加法原理,一共有
2327
种订报方法.
【巩固】
(难度等级 ※※)大林和小林共有小人书不超过9本,他们各自有小人书的数目有多少
种可能的情况?
【巩固】
【解析】
大林和小林共有9本的话,有10种可能;共有8本的话,有
9种可能,……,共有0本的话,
有1种可能,所以根据加法原理,一共有10+9+……+3+2+1
=55种可能.
【例 7】
(难度等级 ※※)四个学生每人做了一张贺年片,
放在桌子上,然后每人去拿一张,但不能
拿自己做的一张.问:一共有多少种不同的方法?
【例 8】
【解析】
设四个学生分别是A,B,C,D,他们做的贺年片分别是a,b,c,d.
先考虑A拿B做的贺年片b的情况(如下表),一共有3种方法.
3
同样,A拿C或D做的贺年片也有3种方法.
一共有3+3+3=9(种)不同的方法.
【例 9】
(第六届走美试
题)一次,齐王与大将田忌赛马.每人有四匹马,分为四等.田忌知道齐王这次
比赛马的出场顺序依次为
一等,二等,三等,四等,而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的
一等马,接着依次为自己的一等,齐
王的二等,自己的二等,齐王的三等,自己的三等,齐王
的四等,自己的四等.田忌有________
种方法安排自己的马的出场顺序,保证自己至少能赢两
场比赛.
【解析】
第一场不管怎么样田忌都必输,田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛,
若三场全胜,则只有一种出场方法;
若胜两场,则又分为三种情况:
二,三两场胜
,此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马,田忌的二等马赢齐王的三等马,
只有这一种情况;
二,四两场胜,此时有三种情况;
三,四两场胜,此时有七种情况;
所以一共有
113712
种方法.
【例
10】
(难度等级
※※)把一元钱换成角币,有多少种换法?人民币角币的面值有五角、二角、一
角三种.
【例
11】
【解析】
把一元钱换成角币,有三类分法:①第一类:有五角币2张,只有1种换法:
②第二类:有五
角币1张,则此时二角币可以有0,1,2张,相应的,一角币有5,3,1张,
有3种换法;
③第三类:有五角币0张,则此时二角币可以有0,1,2,3,4,5张,相应的,一角币有
10,
8,6,4,2,0张,有6种换法.
所以,根据加法原理,总共的换法有
13610
种.
【巩固】 (难度等级
※※)一把硬币全是2分和5分的,这把硬币一共有1元,问这里可能有多
少种不同的情况?
【巩固】
【解析】
按5分硬币的个数对硬币情况进行分类:
如果5分
硬币有奇数个,那么无论2分硬币有多少个都不能凑成100分.如表当5分硬币的个
数为0~20的偶
数时,都有对应个数的2分硬币.所以一共有11种不同的情况.
类1 2 3 4 5 6 7 8
9 11
别 0 1
5分 0 2 4 6 8 111112
0 2 4 6 8
0
2分 5443322115 0
0 5 0 5 0 5 0 5 0
【例 12】
(难度等级
※※※)用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张,没有剩钱,共有多少不
同的买法?
4
【例 13】
【解析】
如果买0张8元饭
票,还剩100元,可以购买4元饭票的张数为0~25张,其余的钱全部购买
2元饭票,共有26种买
法;
如果买l张8元饭票,还剩92元,可购4元饭票0~23张,其余的钱全部购买2元饭票,共<
br>有24种不同方法;
如果买2张8元饭票,还剩84元,可购4元饭票0~21张,其余的钱全
部购买2元饭票,共
有22种不同方法;
……
如果买12张8元饭票,还剩4元饭
票,可购4元饭票0~1张,其余的钱全部购买2元饭票,
共有2种方法.
总结规律,发现各
类情况的方法数组成了一个公差为2,项数是13的等差数列.利用分类计
数原理及等差数列求和公式求
出所有方法:
26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(种).
共有182种不同的买法.
【巩固】 (难度等级 ※※)一个文具店橡皮每块5角、圆珠
笔每支1元、钢笔每支2元5角.小
明要在该店花5元5角购买两种文具,他有多少种不同的选择.
【解析】
一共三种文具,要买两种文具.那么就可以分三类了.
第一类:橡皮和圆珠笔 5元5角=55角=11块橡皮(要买两种,所以这个不考虑)
=9块橡皮+1只圆珠笔
=7块橡皮
+2只圆珠笔
=5块橡皮
+3只圆珠笔
=3块橡皮
+4只圆珠笔
=1块橡皮+5
只圆珠笔 第一类共5种
第二类:橡皮和钢笔
55角=11块橡皮(不做考虑)
=6块橡皮+1只钢笔
=1块橡皮+2只钢
笔 第二类共2种
第三类:圆珠笔和钢笔
55角=11块橡皮(不做考虑)
=1只钢笔+3只圆珠笔 第三类共1种
【例 14】
(难度等级 ※※※)
袋中有3个红球,4个黄球和5个白球,小明从中任意拿出6个球,他
拿出球的情况共有_______
_种可能.(2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动)
【解析】
按最少的红球
来分类:3红时,黄
白
3,黄可取0,1,2,3共4种.
2红时,黄
白
4,黄可取0,1,2,3,4共5种.
1红时, 黄
白
5,黄可取0,1,2,3,4共5种.
0红时, 黄
白
6,黄可取0,1,2,3共4种.
共有:4+5+5+4=18(种).
【例 15】
(难度等级 ※※
)1、2、3、4四个数字,从小到大排成一行,在这四个数中间,任意插入乘
号(最少插一个乘号),
可以得到多少个不同的乘积?
【例 16】
【解析】
按插入乘号的个数进行分类:
⑴若插入一个乘号,4个数字之间有3个空当,选3个空当中的任一空当放乘号,所以有3种
5
不同的插法,可以得到3个不同的乘积,枚举如下:
12 3
4
,
1 23 4
,
1 2 34
.
⑵若插入两个乘号,由于必有一个空当不放乘号,所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3
种不同的插
法,可以得到3个不同的乘积,枚举如下:
123 4
,
12
34
,
1 234
.
⑶若插入三个乘号,则只有1个插法,可以得到l个不同的乘积,枚举如下:
1234
.
所以,根据加法原理共有
3317
种不同的乘积.
【例 17】
(难度等级 ※※※)1995的数字和是1+9+9+5=24,问:小于2000的四位数中数字和
等于
26的数共有多少个
【例 18】
【例 19】
【解析】
小于2000的四位数千位数字是1,要它数字和为26,只需其余三位数字和是2
5.因为十位、
个位数字和最多为9+9=18,因此,百位数字至少是7.于是
百位为7时,只有1799,一个;
百位为8时,只有1889,1898,二个;
百位为9时,只有1979,1997,1988,三个;
总计共1+2+3=6个.
【巩固】 (难度等级 ※※※)1995的数字和是1+9+9+5=24,问:小于20
00的四位数中数字和
等于24的数共有多少个?
【巩固】
【解析】
小于2000的四位数千位数字是1,要它数字和为24,只需其余三位数字和是23.因为十位、
个位
数字和最多为
9918
,因此,百位数字至少是5.于是
百位为5时,只有1599一个;
百位为6时,只有1689,1698两个;
百位为7时,只有1779,1788,1797三个;
百位为8时,只有1869,1878,1887,1896四个;
百位为9时,只有1959,1968,1977,1986,1995五个;
根据加法原理,总计共
1234515
个.
【巩固】
(难度等级 ※※※)2007的数字和是2+0+0+7=9,问:大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?
【巩固】
【解析】
大于2000小于30
00的四位数千位数字是2,要它数字和为9,只需其余三位数字和是7.因
此,百位数字至多是7.于
是根据百位数进行分类:
第一类,百位为7时,只有2700一个;
第二类,百位为6时,只有2610,2601两个;
第三类,百位为5时,只有2520,2511,2502三个;
第四类,百位为4时,只有2430,2421,2412,2403四个;
第五类,百位为3时,只有2340,2331,2322,2313,2304五个;
第六类,百位为2时,只有2250,2241,2232,2223,2214、2205六个; <
br>第七类,百位为1时,只有2160,2151,2142,2133,2124、2115、2106七
个;
第八类,百位为0时,只有2070,2061,2052,2043,2034、2025、2
016、2007八个;
根据加法原理,总计共
1234567836
个.
6
【巩固】 (难度等级 ※※※※)在四位数中,各位数字之和是4的四位数有多少?
【巩固】
【解析】
以个位数的值为分类标准,可以分成以下几类情况来考虑:
第1类——个位数字是0,满足条件的数共有10个.其中:
⑴十位数字为0,有4000、3100、2200、1300,共4个;
⑵十位数字为1,有3010、2110、1210,共3个;
⑶十位数字为2,有2020、1120,共2个;
⑷十位数字为3,有1030,共1个.
第2类——个位数字是1,满足条件的数共有6个.其中:
⑴十位数字为0,有3001、2101、1201,共3个;
⑵十位数字为1,有2011、1111,共2个;
⑶十位数字为2,有1021,满足条件的数共有1个.
第3类——个位数字是2,满足条件的数共有3个.其中:
⑴十位数字为0,有2002、1102,共2个;
⑵十位数字为1,有1012,共1个.
第4类——个位数字是3,满足条件的数共有1个.其中:十位数字是0,有l003,共1个.
根据上面分析,由加法原理可求出满足条件的数共有
1063120
个.
【例 20】
有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数
字之和,直至不能再写为
止,如
257
,
1459
等等,这类数共有
个.
【解析】
按自然数的最高位数分类:
【解析】
⑴
最高位为
1
的有
【解析】
10112358
,
1123
58
,
12358
,
1347
,
1459
,
156
,
167
,
178
,
189
共
9
个
⑵最高位为
2
的有
202246
,
2134
7
,
2246
,
2358
,
246
,
25
7
,
268
,
279
共
8
个
⑶最高位为
3
的有
303369
,
31459
,
3257
,
3369
,
347
,358,
369<
br>共
7
个
⑼最高位为
9
的有
9099
共
1
个
所以这类数共有
98762145
个
【例
21】
如果一个大于9的整数,其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小,那么我们称它为迎<
br>春数.那么,小于2008的迎春数一共有多少个?
【例 22】
【解析】
(法1)两位数中迎春数的个数.
⑴十位数字为1的:12,13,……,19.8个
⑵十位数字为2的:23,24,……29.7个
⑶十位数字为3的:34,35,……39.6个
⑷十位数字为4的:45,46,……49.5个
⑸十位数字为5的:56,57,……59.4个
⑹十位数字为6的:67,68,69.3个
⑺十位数字为7的:78,79.2个
⑻十位数字为8的:89.1个
两位数共
87136
个
三位数中迎春数的个数
⑴百位数字是1的:123~129,134~139……189.共28个.
⑵百位数字是2的:234~239,……289.共21个.
⑶百位数字是3的:345~349,……389.共15个.
7
⑷百位数字是4的:456~458,……489.共10个.
⑸百位数字是5的:567~569,……589.共6个.
⑹百位数字是6的:678,679,689.共3个.
⑺百位数字是7的:789.1个
1000~1999中迎春数的个数
⑴前两位是12的:1234~1239,……,1289.共21个.
⑵前两位是13的:1345~1349,……,1389.共15个.
⑶前两位是14的:1456~1459,……,1489.共10个.
⑷前两位是15的:1567~1569,……,1589.共6个.
⑸前两位是16的:1678,1679,1689.3个.
⑹前两位是17的:1789.1个
共56个.
所以小于2008的迎春数共
368456176
个.
(法2)小于
2008的迎春数只可能是两位数,三位数和1000多的数.两位数的取法有
98236
个.三位
数的取法有
987
321
84
个.1000多的迎春数的取法有
876
321
56
个.
所以共
368456176
个.
【例 23】
有些五位数的各位数字均取自1,2,3,4,5,并且任意相邻两位数字(大
减小)的差都是
1.问这样的五位数共有多少个?
【例 24】
【解析】
⑴首位取1时,千位只能是2,百位可以是1和3.
百位是1,十位只能是2,个位可以是1和3.2种.
百位是3,十位可以是2和4;十位
是2,个位可以是1和3,十位是4,个位可以是3和5.4
种.
所以,首位取1时,共有
246
种.
⑵首位取2时,千位可以是1和3.
千位是1,百位只能是2,十位可以是1和3.有3种.
千位是3,百位可以是2和4.百
位是2,十位可是是1和3,有3种.百位是4,十位可以是
3和5,有3种.千位是3时有
3
36
种.
所以首位取2时,共有
369
种.
⑶首位取3时,千位可以取2和4.
千位是2,百位可以取1和3.百位是1,十位只能是
2,个位可以是1和3;2种.百位是3
时,十位可以是2和4.十位是2个位可以是1和3;十位是4
,个位可以是3和5;4种.
千位是4,百位可以取3和5.
百位是5,十位只能是4
,个位可以是3和5;2种.百位是3,十位可能是2和4.十位是2
个位可以是1和3;十位是4个位
可以是3和5;4种.
所以,首位取3时,共有
242412
种.
⑷首位取4时,千位可以取3和5.
千位是5,百位只能是4,十位可以是3和5.十位是
3个位可以是2和4;十位是5个位只能
是4.有3种.
千位是3,百位可以是2和4.百
位是2,十位可以是1和3.十位是1个位只能是2;十位是
3个位可以是2和4.有3种.百位是4,
十位可以是3和5.十位是5个位只能是4;十位是
3,个位可以是2和4.有3种.千位是3共有336
种.
所以,首位取4时,共有
369
种.
⑸首位取5时,千位只能是4,百位可以是3和5.百位是5,十位只能是4,有2种;百位是
3,十
位可以是2和4,有4种.所以,首位取5时共有
246
种.
总共有:
69129642
个
也可以根据首位数字分别是1、
2、3、4、5,画5个树状图,然后相加总共有:
69129642
个
8
2、树形图法、标数法及简单的递推
一、树形图法
“树形图法”实际上是枚举的一种,但是它借助于图形,可以使枚举过程不仅形象直观,而且有条理又<
br>不重复遗漏,使人一目了然.
【例 25】
(难度等级 ※※※)A、B
、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这
样经过了5次传球后,球恰巧又回到
A手中,那么不同的传球方式共多少种(
【例 26】
2005年《小数报》数学邀请赛)
【解析】
如图,
A
第一次传给
B
,到第五次传回
A
有5种不同方式.
同理,
A
第一次传给
C
,也有5种不同方式.
所以,根据加法原理,不同的传球方式共有
5510
种.
B
A
AB
A
C
B
C
C
B
B
C
C
A
【巩固】 (难度等级 ※※※)一只青蛙在A,B,C三点之间跳动,若青蛙从A点跳
起,跳4次仍
回到A点,则这只青蛙一共有多少种不同的跳法?
【巩固】
【解析】
6种,如图,第1步跳到
B
,4步回到
A
有3种
方法;同样第1步到
C
的也有3种方法.根据加
法原理,共有
336种方法.
B
A
AB
C
C
B
A
A
A
【例 27】
(难度等级 ※※※)甲、乙二人打乒乓球,谁先连胜两
局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁
先胜三局谁赢,打到决出输赢为止.问:一共有多少种可能的情况?
【例 28】
【解析】
如下图,我们先考虑甲胜第一局的情况:
图中打√的为胜者,一共有7种可能的情况.同理,乙胜第一局也有
7种可能的情况.一共有
7+7=14(种)可能的情况.
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勤学苦练
1、阳光小学四年级有3个班,各
班分别有男生18人、20人、16人.从中任意选一人当升旗手,有多
少种选法?(2级)
2、从2~9中每次取两个不同的数相加,和大于10的共有多少种取法(
4级)
3、大林和小林共有小人书不超过10本,他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况?(4级)
4、从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘
轮船。一天中火车有4班,汽车有3班,轮
船有2班。问:一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有
多少种不同走法?
5、一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、
钢笔每支2元5角.小明要在该店花5元购买两种文
具,他有多少种不同的选择.(6级)
6、2007的数字和是2+0+0+7=9,问:大于2000小于3000的四位数中数字和等于9
的数共有多少个(
6级)
7、袋中有3个红球,4个黄球
和5个白球,小明从中任意拿出5个球,他拿出球的情况共有________
种可能
8、用100元钱购买4元、5元或8元饭票若干张,没有剩钱,共有多少不同的买法?(6级)
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9、一只青蛙在
A,B,C,D四点之间跳动,若青蛙从A点跳起,跳4次仍回到A点,则这只青蛙一共有
多少种不同的
跳法?(6级)
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