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乘法原理与加法原理教案
第十一讲 乘法原理与加法原理
知识提要
理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理： m
1
＋m
2
＋……＋。
乘法原理： m
1
×m
2
×……×。
经典例题
例1 小刚从家到学 校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4
条路可以走（如下图）。小刚从家 到学校一共可以有多少种不同的走法？

A
D

E

B

学校
桥
家

F
C

分析与解：
把从小刚家到学校的路分为两步。
第一步从家到桥，第二步 从桥到学校。这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，
只有两步合在一起，才能完成。
从图中看出从家到学校共有12种不同的走法：

根据此题，得出如下结论：
乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m1
种不同的方法；第二步有
m
2
种不同的方法；……第n步有种不同的方 法；那么要完成任务共有： m
1
×m
2
×……×。



5
6
7 8
例2 有四张数字卡片，

用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？
分析与解：
用卡片组 成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选
取十位上的数字，可以有3 种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以
组成不同的三位数共有：
4×3×2=24（个）


例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？
分 析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取法；十位数字
可以从余下的五个 数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只
有3种取法。由乘法原理，共可 组成：
3×5×4×3＝180（个）没有重复数字的四位奇数。




例4：下图为4×4的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格 中，并使每行
1 25

乘法原理与加法原理教案
每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？

分析与解：四个棋 子要一个一个地放，故可看做分四步完成任务，第一步放棋子A，A
可以放在16个方格中的任意一个中 ，故有16种不同方法；第二步放棋子B，放A棋子的一
行和一列都不能放B，还剩下9个方格可以放B ，所以B有9种方法；第三步放C，再去掉
放B的行和列，还有4个方格可以放C，故C有4种放法；最 后放D，再去掉C所在的行和
列，只剩下一个方格放D了，D只有一种方法，由乘法原理，共有
16×9×4×1＝576（种）不同放法。
在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别，往往是要综合使用的。



例5 从北京到郑州可以坐飞机，乘火车，还可以乘汽车。一天中有飞机2班，火车有3趟，
汽 车有5趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具，共有几种不同的走法？
分析与解：
三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地，那么每类交通工具中有几中不同的方
法。（飞机2班， 火车3趟，汽车5趟）因此，要到达目的地应有2＋3＋5=10不同的方法。

根据此题，得出如下结论：
加法原理 要完成一种任务有几类办法，在第一类办法中有m< br>1
中不同方法；在第二类
办法中有m
2
中不同方法；……在第n类办法 中有中不同方法。在这些不同的方法中，每一
种方法都能独立完成任务，那么完成这一任务共有：
m
1
＋m
2
＋……＋。


例6：如 图：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3
条路可走。那么，从甲 地到丙地共有多少种不同走法？
乙
甲 丙

解：从甲地到丙地共有两类不同走法。
第一类：由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。第一步，从甲地到乙地有4种走法；
2 25

乘法原理与加法原理教案
第二步从乙地到丙地有2种走法。据乘法原理，从甲地经乙地到丙地共有： 4×2＝8
种不同走法。
第二类：从甲地直接到丙地，有3种走法。由加法原理，从甲地到丙地若有
8＋3＝11 种不同的走法。


例7：有两个相同的正方体 ，每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正
方体任意放到桌面上，向上一面的 两个数字之和为偶数的有多少种情形？
解：两个数字之和为偶数，这两个数字的奇偶性必相同，所以分两大类。
第一类：两个数字同 奇，第一个正方体有3种可能，第二个正方体也有3种可能，由乘
法原理，共有3×3＝9种不同的情形 。
第二类：是两个数字同偶。也有9种不同的情况。
据加法原理：两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有：
9＋9＝18
种不同的情况。

基本训练
1.某校六一班有35人，六二班有40人， 六三班有37人。从中选1人去人民大会堂开会，
有多少种选法？




2.某校六一班第一小队有12人，第二小队有11人，第三小队有13人。从每个小队中各 选
1人去人民大会堂开会，有多少种选法？




3. 某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读
完 高中的不同选择方式？













4．如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同一直线上的三个点
3 25

乘法原理与加法原理教案
一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一 个三角形，如三角形，问可以画多少个不同的
三角形？
A B
C D E F
G H M






5. 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个
(1)三位数？



(2)三位偶数？



(3)没有重复数字的三位偶数？



(4)百位有8的没有重复数字的三位数？




(5)百位为8的没有重复数字的三位偶数？







拓展提高
4 25

乘法原理与加法原理教案
1．某个地区的电话号码是八位数，如果首位不是0 ，其余各位上可以是0～9这十个数字中
的任意一个，不同数位上的数字可以重复，那么，这个地区可以 有多少个电话号码？




2．两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少个？




3．某公司买了8辆汽车，这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把每辆汽车 的钥匙挑
出来，最多要试多少次？




奥赛训练
1． 超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8种不同的水果。如
果 妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共有多少种不同的选购方法？




2． 从1～30这三十个自然数中，选出两个数，使它们的和大于30，一共有多少中不同的选
法？





3．自然数1～1000中，“0”这个数字一共出现了多少次？








第十二讲 简单的排列与组合
5 25

乘法原理与加法原理教案
知识提要
1、理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。
加法原理： m
1
＋m
2
＋……＋。
乘法原理： m
1
×m
2
×……×。
排列：
m
p
n
= n（1）（2）…（1）（m≤n）
m
mm
c
组合：
n
=
p
n
÷
pm

2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。
经典例题

5
6
7 8
例1 有四张数字卡片，

用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？
分析与解：
用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选
取十位上的数字 ，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以
组成不同的三位数共有：
4×3×2=24（个）
排列的公式：
m
p
n
= n（1）（2）…（1）（m≤n）
例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数，可以组成多少个？


m
p
n
= n（1）（2）…（1）（m≤n）

4
p
5
=5×(5－1)×(5－2)×(5－4+1)= 5×4×3×2=120


例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用 三种颜色的花各一支扎成一束，可以
扎成多少不同的束？
分析与解：
从n个不同元 素中，任意取出m个元素（m≤n），组成一组，叫做从n个不同元素取m
m
个元素的一个组合 ，所组合的个数，叫做组合数。用符号
n
表示。
m
mm
组合的公式 ：
n
=
p
n
÷
p
m



排列与组合的区别：
排列与元素的顺序有关：
例如从7个人中选出正副组长，两个人有正、副之分。
组合与元素的顺序无关：
例如从7个人中选出两个人去开会，没有正、副之分。
因为所扎成的每一束花，与颜色的排列顺序无关，所以是组合问题。
c
c
3 3
p
5
÷
p
3
=（5×4×3）÷（3×2×1）= 60÷6= 10
答：一共可以扎成10种不同的花束。

例3 从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站，那么，火车票应有多少种不
6 25

乘法原理与加法原理教案
同票价？
分析与解：
因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的，所以是组合问题。

p
10
÷
p
2
=（10×9）÷（2×1）
= 90÷2
= 45
答：火车票应有45种不同票价。


例4 平面上共有7个点（没有3个点在同一条直线上），通过这些点可以画出多少个三角形
或四边形？
分析与解：
通过这些点画三角形和四边形时，这些点没有顺序关系，所以先根据组合公式分别 求出
三角形和四边形的个数，再根据加法原理把两种的个数相加。
2
2
c
c
3
7
4
7
(7×6×5)÷(3×2×1) + (7×6×5×4)÷(4×3×2×1)
= 35+35
= 70
答: 可以画出70个三角形或四边形。


例5 如图。共有多少个平行四边形？
分析与解：
根据数长方形个数的方法，“长边”上8个点中选
两个点的组合乘以宽边上6个点中两个点的组合。
c
(2×1)]
2
8
×
c
2
6
= (8×7)÷(2×1)×[(6×5)÷
=28×15
=420
答:共有420个平行四边形。



基本训练
1.一次乒乓球比赛，最后有6名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军名单，可
以写出多少种？





2.在一张纸上有9个点，没有三个点在一条直线上。通过这些点一共可以画出多少条线段？





7 25

乘法原理与加法原理教案
3.第三小队共有队员12人，要选出正、副小队长 各一人，选出的结果可以有多少种不同的
情况？





4.六一班有40名同学，现在要选派2名同学参加国庆活动，共有多少种不同的选法？






5.小红有4件不同花色的衬衫， 有3条不同样式的裙子，如果用一件衬衫和一条裙子搭配成
一套，一共可以搭配成多少套？






6.学校食堂今天中午的主食有：米饭、馒头、 花卷和烙饼，炒菜有：炒芹菜、炒肉片、炒三
丁、炒豆角和红烧肉。张老师要买一种主食和一种炒菜作为 中午饭，张老师可以有多少
种不同的买法？





拓展提高
1. 用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个？






2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以写出多少个？






3. 六一班的图书角现在有6本科 技书，有8本故事书，有3本词典，小刚想借其中的一本，
一共可以有多少种不同的借法？


4.有6名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，班主任要站在前排
中间。他们一共有多少种不同的排法？
8 25

乘法原理与加法原理教案




< br>5.有7名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，张刚说：“我不站在后排
的边 上。”。他们一共有多少种不同的排法？





6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，只选用其中的两个砝码，在天平上能称

出多少种不同重量的物体？





奥赛训练
1.一张纸上共画有10个点，其中有3个点在一条直线上，以这些点为三角形的顶点，一共
可 以画出多少个三角形？














2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚，共可以组成多少种不同币值？




.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9 25

乘法原理与加法原理教案
第十三讲 巧求面积
知识提要
1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征：

b

h
a
h
h
b

a
a

a
a
a
2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程：
2
正方形面积=边长×边长，
长方形面积=长×宽，
平行四边形面积=底×高，
三角形面积=底×高÷2=
ah

2
梯形面积=（上底＋下底）×高÷2=
经典例题
(ab)h

2
例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.（已知大正方形边长10厘米，小正方形边长6< br>厘米）



图二


分析与解：
（6＋10）×6÷2 6×6÷2 （10＋6）×10÷2


例2 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知大 正方形的边长10厘米，小正方形的边
长6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：
方法1：
两个正方形的面积之和减去三角形与三角形的面积，就得到阴
影部分的面积。
10+6－（10×10÷2）－（10+6）×6÷2=38（平方厘米）。
方法2：
添加辅助线，三角形与三角形的面积之和就等于阴影部分的面
积。
（10-6）×10÷2＋6×6÷2=38（厘米）
答：阴影部分的面积是38平方厘米。
10 25
2
22
图一
图二
图三
=48（平方厘米） =18(平方厘米) =80（平方厘米）

乘法原理与加法原理教案
例3 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
分析与解：
方法1：如下图1，先将四等分，即，连结、、得到四个等积三角形，即△、△、△、
△。

方法2：如下图2，先将二等分，分点D、连结，得到两个等积三角形，即△与△等积．然< br>后取、中点E、F，并连结、．以而得到四个等积三角形，即△、△、△、△等积．

方法3：如下图3，先将四等分，即等于四分之一，连结，再将三等分，即，连结、，
从而得到四个等积 三角形，即△、△、△、△等积．
A

D


B D
想一想：你还有其他方法吗？
从上面例题得到下面结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同 一个点或在与底平行的直线
上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等， 其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的
几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几 倍．


例4 如右图，在梯形中，与是对角线，其交点O，求证：△与△面积相等．
分析与解：
证明：∵△与△等底等高，
∴S△△
又∵ S△△—S△
S△△—S△
∴S△△．
等量减等量所得的差相等。



例5一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5
平方米，(如 图)，那么原来三角形的面积是多少平方米?
分析与解：
11 25
A

F
F
C
A
E
E F C
B E C
B D
图3 图1 图2

乘法原理与加法原理教案
方法1：
已知阴影三角形的面积和底，根据三角形面积公式就能求出三角形的高，也就是原三 角
形的高，又知道原三角形的底，从而求出原三角形的面积。
1．5×2÷1=3（米）
5×3÷2=7.5（平方米）
答：原来三角形的面积是7.5平方米。
方法2：
已知原三角形的底是阴影三角形的底的5倍，所以原三角形的面积就是阴影三角形面积
的5倍。
1．5×5=7.5（平方米）
例6如右图，已知在△中，3，2．若△的面积为1平方厘米．求三角形的面积．
分析与解：
方法1：连结，在△中
∵ 3，
∴ S△4S△4（平方厘米）．
在△中，∵2，
∴ S△3S△3×4=12（平方厘米）．
方法2：连结，如右图所示，在△中，
∵ 2，
∴ S△3S△3（平方厘米）．
在△中，∵3
∴ S△4S△
=4×3=12（平方厘米）．

例7 如右图，为平行四边形，平行，如果△的面积为4平方厘米．求三角形的面积
分析与解：
解：连结、，∴S△△；S△△；
又∵与平行，∴S△△；
∴ S△△4（平方厘米）




例8 如右图，在平行四边形中，直线交于E，交延长线于F，若S△1，求△的面积．
分析与解：
解：连结，∵，∴S△△
又∵，∴S△△
而 S△△△，S△△△
12 25

乘法原理与加法原理教案
∴ S△△ ∴S△△1．

基本训练
1．选择题（有且只有一个正确答案）：
（1）如下左图，在△中，D是中点，E是中点，连结、，那么与△等积的三角形一共有个．
（A）0个 （B）1个
（C）2个 （D）3个

（2）如上右图，在平行四边形中，平行，连结、、、那么与△等积的三角形一共有个．
（A）0个 （B）1个
（C）2个 （D）3个

（3）如下左图，在梯形中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有对．
（A）0对 （B）1对
（C）2对 （D）3对


（4）如 上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地
与空地面积之比是．
（A）1∶1 （B）1∶1.1
（C）1∶1.2 （D）1∶1.4

2．填空题：
（1）如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的．




（2）如上右图，平行四边形的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是．
（3）如下左 图，正方形的面积为1平方厘米，S△∶S△2∶1，S△∶S△1∶1，那么这四个
小三角形面积之和 ．

（4）如上右图，在△中，平行，3，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是．

13 25

乘法原理与加法原理教案
拓展提高
1.如 图1，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形，已知线段3厘
米，2厘米，求阴影部分的面积是多少？



2.左下图是一块长方形草地，长方形的长是160米，宽是 102米。
中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草
部分的面积等于多少 平方米？





3.如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分面积是多少平
方厘米？





4.如图，四边形是长方形，A、D、E、F在同一条直线上。＝7，＝5，
＝3。求的长。






5.如图，正方形与长方形重叠放在 一起，已知4厘米，3厘米，5厘米。请你计算出长方形
的面积。






6.如图，三角形的面积是144平方厘米，＝18厘米，＝6厘米，＝10
14 25
B
D
A
E
C
B C
A
D E
G
F

乘法原理与加法原理教案
厘米，＝5厘米。求三角形的面积。








奥赛训练
1.如右图，把四边形改成一个等积的三角形。
















第十四讲 用等量代换求面积
知识提要
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差 不
变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，
它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个
图形的面积差 ，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
经典例题
15 25

乘法原理与加法原理教案
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能 直接
求出它的面积。因为三角形与三角形完全相同，都减去三角形后，根据差不变性质，差应相
等，即阴影部分与直角梯形面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形的面积。
直角梯形的下 底和高已知,所以求出上底即可。
上底：10-3=7（厘米），面积：（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。
答：阴影部分的面积是17平方厘米。


例2在右图中，平行四边形的边长10厘 米，直角三角形的直角边长8
厘米。已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10厘米，求平
行 四边形的面积。
分析与解：
因为阴影部分比三角形的面积大10厘米，都加上梯形后，根据 差不变性质，所得的两
个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面积大10厘米，所以平行 四边形的
面积等于：
10×8÷2+10=50（平方厘米）。
答： 平行四边形的面积是50平方厘米。

例3在下图中，8厘米，4厘米，6厘米，三角形比三角形的面积大18
厘米。求的长。
分析与解：
求的长，需求出的长；求的长，需求出直角三角形的面积。因为三角形比三角 形的面积
大18厘米，这两个三角形都加上四边形后，其差不变，所以梯形比三角形的面积大18厘米。也就是说，只要求出梯形的面积，就能依次求出三角形的面积和的长，从而求出的长。
梯形面积：（8+4）×6÷2=36（厘米） 三角形面积：36-18=18（厘米）
：18×2÷6=6（厘米） ：6-4=2（厘米） 答：长2厘米。
例4如下图，是7×4的长方形，是10×2的长方形，求三角形与
三角形的面积之差。
分析与解：
直接求出三角形与三角形的面积之差，不太容易做到。如果
利用差不变性 质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之
差容易求出，那么问题就解 决了。
方法1：连结B，E（见下左图）。三角形与三角形都加上三角形，则原来的问题转化
为求三角形与三角形的面积之差。
S△：4×（10－7）÷2=6
S△：2×（10－7）÷2=3 差：6－3=3

16 25 22
2
2
2
2
2
2

乘法原理与 加法原理教案



图1 图2 图3 图4
方法2：连结C，F（见上右图）。三角形与三角形都 加上三角形，则原来的问题转化为
求三角形与三角形的面积之差。
S△：4×（10－7）÷2=6
S△：2×（10－7）÷2=3 差：6－3=3
方法3：延长交于H（见左下图）。三角形与三角形都加上梯形，则原来的问题转化为
求三角形与矩形的面积之差。
S△：（4+2）×（10－7）÷2=9
矩形：2×（10－7）=6 差：9－6=3
方法4：延长 ，交于H（见上右图）。三角形与三角形都加上梯形，则原来的问题转化
为求矩形与直角三角形的面积之 差。
矩形：4×（10－7）=12
S△：（10－7）×（4+2）÷2=9 差：12－9=3

例6左下图是由大、小两个正方形组成的，
小正方形的边长是4 厘米，求三角形
的面积。
分析与解：
这道题似乎缺少大正方形的边长这个
条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结（见上右图），可以看出，三角形
与三角形的 底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角
形是三角形与三角形的公 共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部
分，即三角形与三角形面积仍然相等。 根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积。
4×4÷2=8（厘米）答：三角形的面积是8平方厘米。
基本训练
1.如右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，
求阴影部分的面积。




2.在右图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形的面积。




17 25
2

乘法原理与加法原理教案
3.图中，矩形的边为4厘米，为6厘米， 三角形比三角形的面积大9厘米，求的长。






4.如图中，4厘米，三角形比三角形的面积大2厘米，求的长。





5.如图，平行四边形的面积是120平方厘米，＝3，＝2。求三角形的面积。









拓展提高
1. 如图，是梯形，对角线和相交于O，三角形的面积是12平方厘米，三角形的面积比三角
形的面积少15 平方厘米。求梯形的面积。


A
B
O


C
D



2.如图，四边形是边长12厘米的正方形，E、F分别 是和的中点，和相交于O。求四边形
的面积。
D
A





18 25
B
O
E
F
C
A
E
D
F
B
C
2
2

乘法原理与加法原理教案


奥赛训练
1.如图，△中，：2：1，：3：1，：4：1，那么△是△的面积的几分之几？








19 25
A

F

D

B

E

C

乘法原理与加法原理教案
第十五讲 用长方形图巧解题
知识提要
用长方形图来表示数量关系，可以使抽象的数量更加形象、具体，可以帮助我们分析
解答应用题 ，这一讲我们就来学习画长方形图解应用题的方法。

经典例题
1、用长方形图巧计算
例1计算：1999×2105-1993×2108
分析与解：
计算时如果硬算就会感到比较复杂，但如果我们把它放在一个长方形图中，就会使计
算简便。







从图中可知：两个长方形的面积差就等于两个涂色部分的小长方形面积的差。
所以：1999×2105-1993×2108
=（1999-1993）×2105-（2108-2105）×1993
=6×2105-3×1993
=12630-5979
=6651


例2计算：
1111111


2481632641024
分析与解：
计算时可引用正方形图来分析：
1
2
1
4
1
8< br>1111111
11023

=1

2481632641024
10241024





20 25
1
16

乘法原理与加法原理教案
2、画长方形图解“平均数”问题
例3甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用5 千克甲种糖与多少千克乙种糖混合后，
能使混合糖每千克8.2元？
分析与解：
我们画两个长方形来表示甲、乙两种糖的数量、单价和总价。
在上图长方形中，表示甲种糖有 5
千克，表示甲种糖的单价是8.8元，它的
面积表示甲种糖的总价；长方形中，表示
乙种糖的千克数，表示乙种糖每千克7.2
元，它的面积表示乙种糖的总价。、表示
两种糖平均 后单价8.2元。在平均过程中，
甲种糖多出的价钱补给了乙种糖，所以长方形与的面积是相等的。 < br>经过平均，甲种糖单价由8.8元变为8.2元降低了0.6元，所以长方形的宽是0.6，它
的 长是5，因此面积是3。
长方形的面积为3，宽为8.2－7.2=1，所以长为3÷1=3。
即5千克甲种糖与3千克乙种糖混合后，混合糖每千克8.2元。


例4 某校有60名学生参加区里举行的数学竞赛，平均分是63分，其中参赛的男选手平均成
绩为60分，女 同学平均成绩为70分，那么该校参赛的男同学比女同学多多少人？
分析与解：
画长方形图来表示题目中的数量关系（如
右图）。
长方形的长表示共有60人参赛， 宽表示所
有参赛同学的平均成绩63分，它的面积表示所
有参赛选手的总分。长方形表示所有参 赛女生
的总分，长方形表示所有参赛男生的总分，这
两个长方形的面积和应该也表示全体参赛同 学
的总分，即与长方形的面积相等。图中空白部分是它们公有的，所以阴影长方形（1）、（2）
面积相等。
长方形（1）、（2）面积相等，它们宽：（70－63）：（63－60）=7：3， 它们长：3：7，
长为10份，10份为60人，每份为60÷10=6（人），男生比女生多7－3= 4份，所以男生比
女生多6×4=24（人）。
答：参赛的男同学比女同学多24人。


3、画长方形图解“盈亏问题”
21 25

乘法原理与加法原理教案
例5数学奥林匹克学校招收了一批新生，准备把这批 新生编成几个班。若每班55人，则还
可以再招30名新生；若每班50人，则还可以再招10名新生。 请问现在招了多少名新
生？
分析与解：
若每班55人，则还可以再招30名新生，说明最后一个班只有55－30=25（人）。
若每班50人，则还可以再招10名新生，说明最后一个班只有50－10=40（人）。

如下图长方形来表示按每班50人，排满若干班的人数，而长方形表示剩下的40人，
这两个长 方形的面积之和表示这批新生的总人数；长方形表示按每班55人，排满若干班的
人数，而长方形表示剩 下的25人，它们的面积之和也表示这批新生的总人数。因为新生的
总人数是固定的，所以图中两个阴影 长方形的面积相等。
长方形表示40－25=15（人）；
长方形也表示15人，它的宽为55－50=5（人），所以长为15÷5=3。
即可以排满共有3个班。
所以共有50×3＋40=190（人）。
答：现在招了190名新生。

例6解放军某部赶往长江干堤支援抗洪。计划每辆汽 车乘30人，剩下3人随意搭乘在某辆
车上。但由于另有紧急任务，调走了一辆汽车，这样只好改为每辆 汽车乘坐34人，剩
下5人随意搭乘在各辆车上。请问原来有多少辆汽
车？共派出多少名解放军 战士去抗洪？
分析与解：
画长方形图来表示数量之间的关系。图中长方形的
面积表 示每车30人，坐满原有车的人数，表示剩下的3
人，两个长方形的面积之和表示总人数；长方形的面积 表
示每车34人，坐满现有车的人数，表示剩下的5人，它们的面积之和也表示总人数；由于
总 人数没变，所以两个面积之和是相等的，除去它们共有的空白部分，两块阴影的面积也是
相等的。 长方形的面积表示33人，从中减去5人，就是表示的人数为33－5=28（人）。长方形
的面积 也表示28人，它的宽为34－30=4，长为28÷4=7。即表示有7辆汽车。
解放军战士有：34×7＋5=243（人） 答：共派出243名解放军战士。
4、画长方形图解“鸡兔同笼”问题
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乘法原理与加法原理教案
例7“希望小学”100名师生参加植树活动，共植 树175棵，教师每人植4棵树，学生每两
人植3棵树。参加植树的教师和学生各有多少人？
分析与解：
根据图意我们可以画长方形图来表示数量关系，如下图：表示教师人数，表示学生 人
数，表示一共有100人；表示教师每人植树4棵，表示学生每人植树棵数，因为每两人植3
棵，所以每人植1.5棵；两个长方形的面积之和表示共植树175棵。






如图1，假设师、生每人都植树1.5棵，延长交边于H，，长方形的 面积表示假设每人
都植树1.5棵时，100人植树棵数。
长方形表示植树1.5×100=150（棵）
长方形表示教师多植树175－150=25（棵）
教师有25÷（4－1.5）=10（人） 学生有100－10=90（人）。

基本训练
1.计算：1234×5678－1233×5679








2.某班级一次考试的平均分是80 分，其中及格人数是不及格人数的5倍，及格同学的平均
分是85分，那么不及格同学的平均分是多少？






3.在一个停车场上，现有的车辆数 恰好是24，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，
这些车共有86个轮子，那么，三轮摩托车有多 少辆？

4.有一些糖，如果每人分5块则余10块；如果现有的人数增加到原来的1.5倍 ，那么每人
23 25

乘法原理与加法原理教案
分4块则少2块。这些糖共有多少块？







5.水果店运来橘子、苹果和梨一共80箱，共重1164千克。每箱橘子重12 千克，每箱苹果
重16千克，每箱梨重14千克，已知苹果和梨的箱数相同。运来橘子、苹果和梨各多少
箱？







6、B两地相距650千米，某车 从A第开往B地，共行了14小时。已知在平原上每小时行55
千米，在山区每小时行40千米。汽车在 平原和山区各行了几小时？








拓展提高
1.某校五年级举行英语竞赛，所有参赛同学的平均成绩是80分， 已知男同学的平均成绩是
77分，女同学的平均成绩是85分，已知参赛的男同学比女同学多25人，求 该校五年级
共有多少名学生参加了英语竞赛？










2.学校规定早晨7:30到校，小刚从家出来 时，看看剩下的时间，心里计算了一下：若每分
钟走60米，要迟到5分钟；若每分钟走90米，能提前 5分钟。他想按时到校，请你帮
24 25

乘法原理与加法原理教案
他计算一下，每分钟要走多少米？







3.一只螃蟹有10只脚，蜻蜓有6只脚，2对翅膀；螳螂有6只脚，1对翅膀。现在有螃蟹 、
蜻蜓、螳螂共37只，合计有脚250只，翅膀32对。求螃蟹、蜻蜓、螳螂各有多少只？








奥赛训练
1. 小明每天早晨6：50从家出发，7：20准时到校。老师要求他每天提早6分钟到校。如果
小明明天早 晨还是6：50从家出发，那么每分钟必须比往常多走25米，才能按老师的要
求准时到校。问：小明家 距学校多少米？

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