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知识点归纳总结
1．等差数列
a
n
a
1
(n1)da
m
(nm)d

通项公式
求和公式 < br>S
n

n(a
1
a
n
)
n(n 1)
na
1
d

22
*
(1) 若
m ,n,p,qN,且mnpq
则
a
n
a
m
a< br>p
a
q
，
特别地，当
pq
时，
an
a
m
2a
p
，此时
a
p
是a
m
,a
n
的等差中项.
(2) 等差数列
{an
}
的任意连续
m
项的和构成的数列
S
m
,S
2m
S
m
,S
3m
S
2m


仍为等差数列.公差为
md
.
(3) 若等差数列的项数为
2n< br>，则
S
2n
n(a
n
a
n1
)
；
若等差数列的项数为
2n1
，则
S
2n1
(2 n1)a
n1
.
(4)增减性：
d0
递增数列 ；
d0
递减数列.
(5)最值性：
S
n
na
1

2
基本性质
n(n1)dd
dn
2
 (a
1
)n
，
S
n
表示二次函数，有最值
222
当
d0且a
1
0
，S
n
有最小值，若
a
k1
0
时，
S
k
S
k1
为最小.
当
d0且a< br>1
0
，
S
n
有最大值，若
a
k1
0
时，
S
k
S
k1
为最大

2. 等比数列
通项公式
a
n
a
1
qn1
a
m
q
nm
(q0)

求和公式
na
1
(q1)



S
n


a
1
(1q
n
)a
1
a
n
q
(q1)

1q

1q
*
(1) 若
m,n,p,qN,且mnpq
则< br>a
n
a
m
a
p
a
q
，



特别地，当
pq
时，
a
n
a
m
a
p
，此时
a
p
是
a
m
,a
n
的等比中项.
2

基本性质
(2) 等比数列
{a
n
}
的任意连续
m
项的和构成的数列
S
m
,S
2m
S
m
,S
3m
S
2m


仍为等比数列.公比为
q
.
(3) 若数列
{log
a< br>a
n
}
成等差数列，则
{a
n
}
成等比数列 .
m

a
1
0

a
1
0< br>或

(4) 增减性：当

时
{a
n
}
为递增数列；
q10 q1


当


a
1
0

a0
时，
{a
n
}
为递减数列;
或

1

0q1

q1
q1
时为常数列；q0
时为摆动数列.

【例题精讲】
【1】在等差数列
{ a
n
}
中，已知
a
4
a
8
16
，则该列前
11
项和
S
11

（ ）
A.
58

答案：B
【2】已知
{a
n
}
为等差数列，若
a
1
a
5
a
9
< br>
，则
cos(a
2
a
8
)
的值为（ ）
A.

答案：B
【3】已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
B.
88
C.
143
D.
176

1

2
B.

3

2
C.
1

2
D.
3

2
S
S
4
1

,则
8

（ ）
S
8
3S
16
C.A.
1

8
B.
1

3
1

9
D.
3

10
答案：C
【4】已知等差数列< br>{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且< br>S
11
22
,则
3a
1
a
21
等于（ ）
A.
2

答案：C
【5】已知等差数列
{a
n
}
中，
a
2
2,a
4
8，若
a
b
n
3n1
，则
b
2013
等于（ ）
A.
2011
B.
2012
C.
2013
D.
2014

B.
4
C.
8
D.
16

答案：D
【6】已知
{a
n
}
为等差数列 ，
a
1
a
3
a
5
105,a
2a
4
a
6
99
，以
S
n
表示< br>{a
n
}
的前
n
项和，则使得
S
n
达到最大值的
n
是（ ）
A.
21

答案：B
【7】已知
{a
n
}
为等差数列，若
的最大值为
答案：11
【8】设
S
n
是公差为
d(d0)
的无穷等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，则下列命题错误的是 （ ）
A.若
d0
，则数列
{S
n
}
有最大项
B.若数列
{S
n
}
有最大项，则
d0

*
C.若数列
{S
n
}
是递增数列，则对任意
nN，均有
S
n
0

*
D.若对任意
nN，均有
S
n
0
，则有数列
{S
n
}
是递增数列
B.
20
C.
19
D.
18

a
7
1
，且它们的前
n
项 和
S
n
有最大值，则使
S
n
0
的
na
6
答案：C
【10】公比为
q
的等比数列
{an
}
的各项为正数，且
a
2
a
12
16,l og
q
a
10
7
，则公比
q

答案：
2

【11】设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
2013
3S
2012
2010,a
2012
3S
2011
201 0
，
则公比
q
（ ）
A.
4

答案：A
【12】在等比数列
{a
n
}
中，已知
a
4
,
和为 .
答案：
255或85

【13】设等比数列

a
n

的前
n
项和 为
S
n
，若
B.
1或4
C.
2
D.
1或2

1
a
6
,24
成等比数列且
a
3
a
5
64
，则
{a
n
}
的前8项
2
S
6
S
3
，则
9

（ ）
S
3
S
6

A.
2

答案：B
B.
7

3
C.
8

3
D.
3

【14】已知

a
n< br>
是首项为
1
的等比数列，
S
n
是
{an
}
的前项和，且
9S
3
S
6
，则数列
前
5
项和为（ ）
A.

1

的
a

n

3131
B.
或5

16
16
C.
15
或5

8
D.
15

8
答案：A
【15】公比不为< br>1
的等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
3a
1
,a
2
,a
3成等差数列，若
a
1
1
，
则
S
4

（ ）
A.
20

答案：A
【16】各项都是 正数的等比数列
{a
n
}
，若
a
2
,
B.
0
C.
7
D.
40

aa
4
1
则
3
的值是（ ）
a
3
,a
1
成等差数列，
a
4
a
5
2C.A.
51

2
B.
51

2

15

2
D.
5151
或
22
答案：B
【17】已知正项等比数列
{a
n
}
满足
a
2013
a
2012
2a
2011
,且a
m
a
n
4a
1
，则
6(
最小值为 .
答案：
4










11
)
的
mn

递推数列：数列
{a
n
}
的任一项
a
n
与它前一项
a
n-1
（或它的前几项）间关 系用一个
公式表示.

解 题 规 律
两类：（1）利用递推关系求出前
n
项，然后归纳猜想数列的通项公式
（2）利用递推关系的变形，转化为一些特殊数列（等差、等比数列），在利用公
式求解.
递推法：
常用求和公式：
123n
3333
a
n
的求法
2222
n(n1)(2n1)

6
n
2
(n1)
2

123n

4
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和.
111
1111
()

常见的拆项公式有：（1）（2）
n(nk)knnk

n(n1)nn1

（3）
1111
()

(2n1)(2n1)22n12n1
1
=n1n

nn+1
（4）
S
n
的求法
（5）
nn!(n1)!n!

（6）
log
2
错位相减法：
适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和
123n
如： 求和
S
n
122232n2

a
n 1
log
2
a
n1
log
2
a
n< br>
a
n
步骤：（1）式子两边同时乘以等比数列公比
2
，得到
2S
n
1 2
2
22
3
32
4
(n1)2
n
n2
n1

（2）两式相减（等号右边要错一位相减），得到

-S
n
 222

2n2
23nn1
（21-2
n1
)
n2
n1
2
n
2n2
n1

12

n1n
即
S
n
n222

倒序相加法：
如果一个数列< br>{a
n
}
，与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序< br>来求和.一般使用于组合数列与等差数列求和.
0123n1n
如：求和
S
n
C
n
C
n
2C
n
3C
n
(n1)C
n
nC
n

nn1n2n310
反序
S
n
nC
n
 (n1)C
n
(n2)C
n
(n3)C
n

C
n
C
n

012nn
n1
相加得
2S
n
n(C
n
C
n
C
n< br>C
n
)n2
，即
S
n
n2
.
分组转化法：
适用于可以将数列拆开，转化为几个可求和的数列
{-1）nn}
的前
2n
项和 如：求数列
（
22222

S
n
(11)(2 2)(33)((2n1)(2n1))(2n(2n))

n2

(12342n)(12(2n))

222
2 n(2n1)(4n1)8n
3
6n
2
4n


n

63
专题：数列通项公式及求和

一. 常规数列的通项与求和

方法：定义法（利用等差数列、等比数列的通项与求和公式来求）
*
1. 等差数列：<1>通项公式：
a
n
a
1
(n1)da
m
(nm)d,n,mN

<2>求和公式：
S
n

n(a
1
a
n
)n(n1)
na
1
d

22
n1nm
2. 等比数列：<1>通项公式：
a
n
a
1
qa
m
q,q0

(q1)

na
1

<2> 求和公式：
S
n


a
1
(1q
n)

1q
(q1)


3. 一些常见的数列求和公式
n

k
2
1
2
2< br>2
3
2

k1
n
2

n(n 1)(2n1)

6


k
k1n
3
1
3
2
3
3
3


n(n1)

n
3



2



2

【例1】已知等差数列
{a
n
}
满足
a
4
6,a
6
10
.
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 设等比数 列
{b
n
}
各项均为正数，其前
n
项和
T
n
，若
a
3
b
2
2,T
3
7,求T
n
.



【例2】已知
{a
n
}
是等比数列，
a
1
2,
且
a
1
,a
3
1,a
4
成等差数列.
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 若
b
n< br>log
2
a
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.






二． 非常规数列的通项公式

常用通项公式的求法有四种：

求法1：累加法
适用于
a
n1
a
n
f(n)
型.
特点：递推公式关于相邻两项的关系且系数、幂数都相同.

n
【例3】已 知数列
{a
n
}
满足
a
n1
a
n231，a
1
3
，求数列
{a
n
}
的 通项公式.

【例4】已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1,a
2
2,a
n2

a
n
a
n1,nN
*

2
（1） 令
b
n
a
n1
a
n
，证明：
{b
n
}
是等比数列；
（2） 求
{a
n
}
通项公式.







求法2：累乘法
适用于
a
n1
a
n
f(n)
型
特点：递推公式是关于相邻两项商的关系，且商
f(n)
是可求数列.
< br>【例6】已知数列

a
n

满足
a
1







求法3：公式法
现象：题目中出现
a
n
与
S
n
的关系式.
解决：利用
a
n
S
n
S
n1
求解.

*
【例7】已知数列

a
n

满足：< br>S
n
1a
n
(nN)
，其中
S
n为数列

a
n

的前
n
项和.求
a< br>n
.
2n
，
a
n1
a
n
，求
a
n
.
3n1

【同类演练】例15第一问

求法4：构造法

类型1：构造等比数列
凡是出现关于后项和前项的一次递推形式的现象都可以构造等比.
现象1：
a
n1
pa
n
q,(p,q为常数)


【例8】已 知数列
{a
n
}
中，
a
1
1,a
n2a
n1
1(n2)
，求数列

a
n

的通项公式.




【同类演练】例18第一问

n
现象2：
a
n1
pa
n
q(p ,q为常数)


【例9】已知数列
{a
n
}
中，
a
1





【同类演练】例17第一问

现象3：
a
n1
pa
n
f(n),p为常数

2
【例10】已知数列
{a
n
}
满足
a
n 1
2a
n
3n4n5，a
1
1
，求数列
{a
n
}
的通项公式.
511
,a
n1
a
n
()
n1
，求
a
n
.
632





现象4：
a
n 2
pa
n1
qa
n
,(p,q为常数)

*
【例11】已知数列

a
n

满足
a
1
1,a
2
3,a
n2
3a
n1
2a< br>n
(nN).
求
a
n
.

类型2：构造等差数列
题目中出现后项与前项分式递推形式可以构造等差.
解决办法：取倒数
【例12】已知在数列
{a
n
}
中a
1
1,a
n1

（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 若





a
n
(nN
*
)
. < br>2a
n
1
21
1,P
n
(1b
1
)(1b
3
)(1b
5
)
b
n
an
(1b
2n1
)
，求证：
P
n
2n 1
.
三． 非常规数列的求和

常用的求和方法一般有四种：
方法1：裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的拆项公式有：（1）
111

；
n(n1)nn1
1111
()
（2）
n(nk)knnk

（3）
1111
()

(2n1)(2n1)22n12n1
1
=n1n

nn+1
（4）
（5）
nn!(n1)!n!

（6）
log

、

a
n1
loga
n1
loga
n

a
n

2
【例13】（2011新课标）等比数列

a
n

的各项均为正数，且
2a
1
3a
2
1,a
3
9a
2
a
6
.

（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）
设
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
......log
3
a
n< br>,
求数列





【例14】等差数列< br>{a
n
}
中
a
2
11
，
2a3
a
2
a
6
4
，其前
n
项和为
S
n
.
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 设数列
{b
n
}
满足
b
n






*
【例15】已知数列
{a
n
}< br>的前
n
项和
S
n
,a
1
1,S
n
na
n
n(n1)(nN)
.

1


的前
n
项和
b
n

1
S
n1
1
，其前
n
项和为
T
n
，求证：
T
n

3
(nN
*
)
.
4
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 设
b
n< br>
2
，求数列
{b
n
}
的前前
n
项 和为
T
n
.
a
n
a
n1







方法2：错位相减法

适用于由一个等差数列和一个等比数列构成对应项之积构成的数列求和.
即

a
n

等差,

b
n

等比,求a1
b
1
a
2
b
2

解题步骤：（1 ）
S
n
a
1
b
1
a
2
b2

a
n
b
n
的和S
n
.

a
n
b
n
，将式子两边同时乘以
{b
n
}
的公比
q
，得到
qS
n
.

（2）用
qS
n
S
n

（3）利用等比数列求和公式求解.

【例16】（2011辽宁理）已知等差数列
{a
n
}
满足
a
2
0,a
6
a
8
10
.
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 求数列
{
a
n
2
n1
}
的前
n
项和.






【例17】已知数列
{a
1< br>n
}
满足
a
1
2,a
n
a
n 1
2
n
(nN
*
2
)

（1） 求证：数列
{
a
n
2
n
}
是等差数列；
（2） 求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S< br>n
.





【例18】已知数列{a}
的前
n
项和
S
2
(nN
*
n
n
n4n)
，
b
1
1,b
n1
 2b
n
1
.
（1） 求数列
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；
（2） 设
c
(a
n
3)(b
n
1)
n

4
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和
T
n
.
.








数列
{b
n
}
满足

方法3：分组求和法

适用于可以将数列适当拆开，分为几个等差，等比或常见的数列，先分别求和，然后在合并，
{b
n
}为等比数列
形如：
{a
n
b
n
},其中{a
n
}为等差数列，

【例19】已知数列 等差数列
{a
n
}
满足：
a
5
9,a
2
a
6
14
.
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2） 若
b
n< br>a
n
2
n
，求数列
{b
n
}
的 前
n
项和
S
n
.
.




方法4：倒序相加法
如果一个数列
{a
n
}
， 与首末位置等“距离”的两项和相等，那么这个数列可以采用倒序来
求和.一般使用于组合数列与等差数 列求和.

nn1n22n
【例20】已知
lgxya
，< br>S
n
lgxlgxylgxy

lgy
（
x0
、
y0
）
a
求
S
n






已知递增等比数列
{a
n
}，公比为
q
，满足
a
2
a
3
a
4
28
，且
a
3
2
是
a
2
,a
4
的等差中
项.

（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
n1
50
成立的正整（2） 若
b
n
a
n< br>log
1
a
n
,S
n
b
1
b< br>2
b
3
b
n
，求使
S
n
 n2
2
数
n
的最小值.

a
n
为正整数，已知数列
{a
n
}
为等差数列，其 前
n
项和为
S
n
，数列
{b
n
}
为等比数列，且
a
1
3
，
b
1
1
，数 列
{b
a
n
}
是公比为
64
的等比数列，
b
2
S
2
64

（1）求
a
n
，
b
n
；
（2）求证：





在数列
{an
}
中，
a
1
1,a
n1
(1)a< br>n

（1）设
b
n

11

S< br>1
S
2

13


S
n
4
1
n
n1

n
2
a
n
，求数列
{b
n
}
的通项公式；
n

（2）求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n





n
已知数 列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
2 a
n
324,n1,2,3,
．
(1) 求数列
{a
n
}
的通项公式；
(2) 设
T
n< br>为数列
{S
n
4}
的前
n
项和，求
Tn
