唱歌跑调是种病-长相思第三部

戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师
等差数列
知识梳理
1.定义：
a
n
a
n1
d
（
d
为常数）（
n2
）；
2．等差数列通项公式：

a
n
a
1
 (n1)ddna
1
d(nN
*
)
， 首项:
a
1
，公差:d，末项:
a
n

a
n
a
m
nm
推广：
a
n
a
m
(nm)d
． 从而
d
3．等差中项
；
（1）如果
a
，
A< br>，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
ab
2
或
2Aab

（2）等差中项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2

4．等差数列的前n项和公式：
s< br>n

n(a
1
a
n
)
2
na< br>1

n(n1)
2
d
d
2
n(a1

2
1
2
d)n
AnBn

2
（其中A、B是常数） （当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0）
5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)< br>


a
n

是等差数列．
（2）等差 中项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2
．
（3）数列

a
n

是等差数列

a
n
knb
（其中
k,b是常数）。
2
（4）数列

a
n

是等差数 列

S
n
AnBn
,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法

定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常 数
nN
)



a
n

是等差数列．
7.提醒：（1）等差数列的通项 公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，
其中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其 余2个，即知3
求2。
（2）通常把题中条件转化成只含
a
1
和
d
的等式！
1

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8.等差数列的性质：
（1）若公差
d0
，则为递增 等差数列，若公差
d0
，则为递减等差数列，若公差
d0
，则为
常数列。
（2）当
mnpq
时,则有
a
m
an
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时 ，则有
a
m
a
n
2a
p
.
(3) 若{
a
n
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n
,S
3n
S
2n
，„也成等差数列 （公差为
md
）
3m

a
1
a
2
a
3


am
a
m1


a
2m
a
2m 1


a
3m
图示：
 
S

S
m
S
2m
S
m
S
3m
S
2m
（4）若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
，且
则
a
n
b
n

(2n1)a
n
(2n1)b
n

A
2n 1
B
2n1
f(2n1)
.
A
n
B
n
f(n)
，
（5）若
a
n

、

b
n

为等差数列，则< br>
a
n
b
n

为等差数列
(6)求
S
n
的最值
法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差 数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数，故
n
取
离二次函数对称轴 最近的整数时，
S
n
取最大值（或最小值）。若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n
法二：①“首正”的递减等差数列中，前< br>n
项和的最大值是所有非负项之和

a
n
0
即当
a
1
0，d0，
由

可得
S
n
达到最大值时的
n
值．
a0

n1
pq
2

②“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。

a
n
0
即 当
a
1
0，d0，
由

可得
S
n
达到最小值时的
n
值．

a
n1
0
或求

a
n

中正 负分界项
（7）设数列

a
n

是等差数列，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项的和，
S
n
是前n项的和，则：
1.当项数为偶数
2n
时，
S
偶
 S
奇

nd
，其中n为总项数的一半，d为公差；
2、在等差数列

a
n

中，若共有奇数项
2n1
项，则 

S
奇
(n1)a
n1
S
奇
n1

S
2n1
S
奇
S
偶
(2 n1)a
n1






Sn a
SSa
Sn
n1

偶
n1
奇偶

偶


注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本 量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d(q)
的方程；
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
2

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等差数列练习题
一、选择题
1.已知为等差数列，
a
1
a
3
a
5
105,a
2
a4
a
6
99
，则
a
20
等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7

2.设
S
n
是等差数列

a
n

的前n项 和，已知
a
2
3
，
a
6
11
，则S
7
等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63


3.等差数 列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，且
S3
=6，
a
1
=4， 则公差d等于
A．1 B
5
C.- 2 D 3
3


4.已知

a
n

为等差 数列，且
a
7
－2
a
4
＝－1,
a
3
＝0,则公差d＝
A.－2 B.－
1
C.
1
D.2
22


5.若等差数列
{a
n
}
的前5 项和
S
5
25
，且
a
2
3
，则
a
7

( )
A.12 B.13 C.14 D.15


6.在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
3

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7.已知
{a
n
}
是等差数列，
a1
a
2
4
，
a
7
a
8
28
，则该数列前10项和
S
10
等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120


8. 记等差数列
{a
1
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
，若
a
1

2
，
S
4
 20
，则
S
6

（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48



9.等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
x
若
a
2
1,a
3
3,则S
4
＝
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6


10.设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3< br>9
，
S
6
36
，则
a
7
a< br>8
a
9

（
A．63 B．45 C．36 D．27


11.已知 等差数列
{a
n
}
中，
a
7
a
9
16,a
4
1,则a
12
的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64


12．等差数列{a
n
}的前 m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（
A.130 B.170 C.210 D.260



）
）
4

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二、填空题
13．已知
{a
n
}
是等差数列，且
a
4
a
7
 a
10
57,a
4
a
5
a
6
 a
14
77,若a
k
13,
则
k= .


14.已知等差数列

a
n

的 前
n
项和为
S
n
，若
S
12
21
，则
a
2
a
5
a
8
a
11




15. 设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
 72
,则
a
2
a
4
a
9
=


16.设等差数列

a
n

的前n
项和为
S
n
，若
a
5
5a
3则
S
9
S
5


．


17.等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且
6S
5
5S
35,
则
a
4




18.已知等差数列
{a
n
}
的公差是正整数，且a3
a
7
12,a
4
a
6
4
，则前10项的和S
10
=


S
n< br>T
n
3n1
4n3
19.设{
a
n
}与 {
b
n
}是两个等差数列，它们的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，若

，那么
a
n
b
n

___________；

5

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20．
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项和，
a
5
2,a
n4
30
(n≥ 5，
nN
*
)，
S
n
=336，则n的值
是 .



三、解答题
21.在等差数列

a< br>n

中，
a
4
0.8
，
a
11< br>2.2
，求
a
51
a
52
a
80
.










22.设等差数列

a
n

的前
n项和为
S
n
，已知
a
3
12
，
S< br>12
>
0
，
S
13
<
0
，
①求公差
d
的取值范围；②
S
1
,S
2
,,S
12
中哪一个值最大？并说明理由.









6

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23.己知
{a
n}
为等差数列，
a2,a3
，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列 的数构
12
成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？












24.设等差数列
{a
n
}
的前ｎ项的和为S
n
,且S
4
=－62, S
6
=－75,求：
（1）
{a
n
}
的通项公式a
n
及前ｎ项的和S
n
；
（2）|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+„„+|a
14
|.











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25.已知等差数列{
a
n
}中，
a
3
a
7
16,a
4
a
6
0,
求{
a
n
}前n项和
s
n
.












26．数列

a
n
< br>是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。
（1）求数列公差 ；（2）求前
n
项和
s
n
的最大值；（3）当
s
n
0
时，求
n
的最大值。








8