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等差数列基础习题选（附有详细解答）
一．选择题（共26小题）
1．已 知等差数列{a
n
}中，a
3
=9，a
9
=3，则公差d的 值为（ ）

A．



B．
1


C．

D． ﹣1

2．已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5，则此数列是（ ）

A．

以7为首项，公差为2的等差数列 B． 以7为首项，公差为5的等差数列

C．

以5为首项，公差为2的等差数列 D．不 是等差数列

3．在等差数列{a
n
}中，a
1
=13，a
3
=12，若a
n
=2，则 n等于（ ）

A．


23
B．
2

4
C．
2

5
D．
2

6

4．等差数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，已知S
3
=6，a
4
=8，则公差d= （ ）

A．

一1 B．
2


C．
3


D． 一2

5．两个数1与5的等差中项是（ ）

A．


1
B．
3


C．
2


D．


6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（

A．

﹣2 B． ﹣3 C． ﹣4 D． ﹣

7．（2012•福建）等差数列{a
n
}中，a
1
+a
5
=10，a
4
=7，则数列{a
n
}的公差为（ ）

A．


1
B．
2


C．
3


D．
4



8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（

A．


0
B．
8


C．
3


D．
1

1

9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）

A．


25
B．
2

4
C．
2

0
D．
1

9

10．设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若满足 a
n
=a
n
﹣
1
+2（n≥2），且S
3
=9，则a
1
=（ ）

A．


5
B．
3


C． ﹣1 D．
1



11．（2005•黑龙江）如果数列{a
n
}是等差数列，则（ ）

A．


a
1
+a
8
＞a
4
+a
5

B．
a
1
+a
8
=a
4
+a
5

C．
a
1
+a
8
＜a
4
+a
5

D．
a
1
a
8
=a
4
a
5


12．（2004•福建）设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和， 若=（ ）

A．


1
B． ﹣1 C．
2


D．


13．（2009•安徽 ）已知{a
n
}为等差数列，a
1
+a
3
+a
5< br>=105，a
2
+a
4
+a
6
=99，则a
20
等于（ ）

A．

﹣1 B．
1


C．
3


D．
7




）
）

14．在等差数列{a< br>n
}中，a
2
=4，a
6
=12，，那么数列{

A．

B．

}的前n项和等于（ ）
C．

D．


15．已知S
n
为等差数列{a< br>n
}的前n项的和，a
2
+a
5
=4，S
7
=21，则a
7
的值为（ ）


6 7 8 9
A．B． C． D．

16．已知数列{a
n
}为等差数列， a
1
+a
3
+a
5
=15，a
4
=7，则 s
6
的值为（ ）


30 35 36
A．B． C．

17．（2012•营口）等差数列{a
n
}的公差d＜0，且
（ ）


5
A．

24
D．
，则数 列{a
n
}的前n项和S
n
取得最大值时的项数n是
6
B． C． 5或6 D． 6或7
18．（2012•辽宁）在等差数列{a
n< br>}中，已知a
4
+a
8
=16，则该数列前11项和S
11< br>=（ ）


58 88 143 176
A．B． C． D．

19．已知数列{a
n
}等差数列，且a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=10，a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
=20，则a
4
=（ ）


0 1 2
A．﹣1 B． C． D．

20．（理）已知数列{a
n
} 的前n项和S
n
=n﹣8n，第k项满足4＜a
k
＜7，则k=（ ）


6 7 8 9
A．B． C． D．

21 ．数列a
n
的前n项和为S
n
，若S
n
=2n﹣17n，则 当S
n
取得最小值时n的值为（ ）


4 5
A．4或5 B． 5或6 C． D．

22．等差数列{a
n
}中，a
n
=2n﹣4，则S
4
等于（ ）


12 10
A．B．

8
C．
4
D．
2
2
23．若{a
n
}为等差数列，a
3
=4，a
8
=19，则数列{a
n
}的前10项和为（ ）


230 140 115
A．B． C．

24．等差数列{a
n
}中，a
3
+a
8
=5，则前10项和S
10
=（ ）


5 25 50
A．B． C．

25．设S
n
是公差不为0的等差数列{a
n
}的前n项和，且S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，则


1
A．

2
B．
3
C．
95
D．
100
D．
等于（ ）
4
D．
26．设a
n
=﹣2n+21，则数列{a
n
}从首项到第几项的和最大（ ）

A．第10项 B． 第11项 C． 第10项或11项

二．填空题（共4小题）
D． 第12项

27．如果数列{a
n
}满足：= _________ ．

28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）= _________ ．

29．等差数列{a
n
}的前n项的和

30．已知{a
n
}是一个公差大于0的等差数列，且满足a
3
a
6
=55，a2
+a
7
=16．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a
n
}和数列{b
n
}满足等式：a
n=
=


（n为正整数），求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
，则数列{|a
n
|}的前10项之和为 _________ ．
参考答案与试题解析


一．选择题（共26小题）
1．已知等 差数列{a
n
}中，a
3
=9，a
9
=3，则公差d的值为 （ ）


1
A．B． C．


考点： 等差数列．
专题： 计算题．
分析：
本题可由题意，构造方程组
D． ﹣1
，解出该方程组即可得到答案．
解答：
解：等差数列{a
n
}中，a
3
=9，a
9
=3，
由等差数列的通项公式，可得
解得，即等差数列的公差d=﹣1．
故选D
点评： 本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．

2．已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5，则此数列是（ ）

A．以7为首项，公差为2的等差数列 B． 以7为首项，公差为5的等差数列

以5为首项，公差为2的等差数列 C．D． 不是等差数列

考点： 等差数列．
专题： 计算题．
分析：
直接根据数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结 论．
解答：
解：因为a
n
=2n+5，
所以 a
1
=2×1+5=7；
a
n+1
﹣a
n
=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．
故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．

故选A．
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．

3．在等差数列{a
n
}中，a
1
=13，a
3
= 12，若a
n
=2，则n等于（ ）


23 24 25 26
A．B． C． D．

考点： 等差数列．
专题： 综合题．
分析：
根据a
1
=13，a
3
=12，利用等差数列的通 项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让
其等于2得到关于n的方程，求出方程 的解即可得到n的值．
解答：
解：由题意得a
3
=a
1
+2d=12，把a
1
=13代入求得d=﹣，
则a
n
=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23
故选A
点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．

4．等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知S
3
=6， a
4
=8，则公差d=（ ）


2 3
A．一1 B． C． D． 一2

考点： 等差数列．
专题： 计算题．
分析： 根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根 据等差数列
的通项公式，得到数列的公差．
解答：
解：∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，
S
3
=6，
∴a
2
=2
∵a
4
=8，
∴8=2+2d
∴d=3，
故选C．
点评： 本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第 二项的三
倍，这样可以简化题目的运算．

5．两个数1与5的等差中项是（ ）


1 3 2
A．B． C． D．


考点： 等差数列．
专题： 计算题．
分析：
由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．
解答：
解：1与5的等差中项为：
故选B．
=3，
点评：
本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．

6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ ）

A．﹣2 B． ﹣3 C． ﹣4 D． ﹣

考点： 等差数列．
专题： 计算题．
分析：
设等差数列{a
n
}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公
差为整数进而求出 数列的公差．
解答：
解：设等差数列{a
n
}的公差为d，
所以a
6
=23+5d，a
7
=23+6d，
又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，
所以，
因为数列是公差为整数的等差数列，
所以d=﹣4．
故选C．
点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．

7．（20 12•福建）等差数列{a
n
}中，a
1
+a
5
=10，a
4
=7，则数列{a
n
}的公差为（ ）


1 2 3 4
A．B． C． D．

考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析：
设数列{a
n
}的公差为d，则由题意可得 2a
1
+4d=10，a
1
+3d=7，由此解得d的值．
解答：
解：设数列{a
n
}的公差为d，则由a
1
+a
5
=10，a
4
=7，可得 2a
1
+4d=10，a
1
+3d=7，解得 d=2，
故选B．
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．

8．数列的首项为3，为等差数列且
3
C．
，若，
11
D．
，则=（ ）


0 8
A．B．

考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析：
先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得
，
的值．
解答：
解：∵为等差数列，，
∴
∴b
n
=b
3
+（n﹣3）×2=2n﹣8
∵
∴b
8
=a
8
﹣a
1

∵数列的首项为3

∴2×8﹣8=a
8
﹣3，
∴a
8
=11．
故选D
点评： 本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．

9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ ）


25 24 20 19
A．B． C． D．

考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析： （法一）：根据两个等 差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的
最小公倍数求解，
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．
解答： < br>解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a
n
}，则a
1
=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{a
n
}的公差d=3×4=12，
∴a
n
=11+12（n﹣1）=12n﹣1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴a
n
=12n﹣1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：设5，8，11，与3，7，11 ，分别为{a
n
}与{b
n
}，则a
n
=3n+2，bn
=4n﹣1．
设{a
n
}中的第n项与{b
n
}中的第m项相同，
即3n+2=4m﹣1，∴n= m﹣1．
又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．
根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
点评： 解法一利用了等差数列的性质，解法二利用 了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的
要求较高．

10． 设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若满足a
n
=a< br>n
﹣
1
+2（n≥2），且S
3
=9，则a
1
=（ ）


5 3 1
A．B． C． ﹣1 D．

考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析：
根据递推公式 求出公差为2，再由S
3
=9以及前n项和公式求出a
1
的值．
解答：
解：∵a
n
=a
n
﹣
1
+2（n ≥2），∴a
n
﹣a
n
﹣
1
=2（n≥2），
∴等差数列{a
n
}的公差是2，
由S
3
=3a
1
+=9解得，a
1
=1．
故选D．
点评： 本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．

11．（2005•黑龙江）如果数列{a
n
}是等差数列，则（ ）

A．B． C．
a
1
+a
8
＞a
4
+a
5
a
1
+a
8
＜a
4
+a
5

a
1
+a
8
=a
4
+a
5


考点： 等差数列的性质．
分析：
用通项公式来寻求a
1+a
8
与
a
4
+a
5
的关系．
D．
a
1
a
8
=a
4
a
5

解答：
解：∵a
1
+a
8
﹣（a
4
+a
5
）
=2a
1
+7d﹣（2a
1
+ 7d）=0
∴a
1
+a
8
=a
4
+a
5

∴故选B
点评： 本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．

12．（2004•福建）设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和， 若


1
A．B． ﹣1
2
C．
=（ ）
D．


考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题．
分析： 充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
解答：
解：设等差数列{a
n
}的首项为a
1
，由等差数列的性质可得 < br>a
1
+a
9
=2a
5
，a
1
+a< br>5
=2a
3
，
∴====1，
故选A．
点评： 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，则有如下关系S
2n
﹣
1
=（2n﹣1）a
n
．

13．（2009•安徽）已知{a< br>n
}为等差数列，a
1
+a
3
+a
5
=10 5，a
2
+a
4
+a
6
=99，则a
20
等于（ ）


1 3 7
A．﹣1 B． C． D．

考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题．
分析：
根据已知条件和等 差中项的性质可分别求得a
3
和a
4
的值，进而求得数列的公差，最后利用等 差数列的通项
公式求得答案．
解答：
解：由已知得a
1
+a3
+a
5
=3a
3
=105，
a
2
+a
4
+a
6
=3a
4
=99，
∴a
3
=35，a
4
=33，∴d=a
4
﹣a
3
=﹣2．
∴a
20
=a
3
+17d=35+（﹣2）×17=1．
故选B
点评： 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是 利用等差数列中等差中项的
性质求得a
3
和a
4
．
< br>14．在等差数列{a
n
}中，a
2
=4，a
6
=1 2，，那么数列{

A．

B．

}的前n项和等于（ ）
C．

D．


考点： 数列的求和；等差数列的性质．
专题： 计算题．

分析： 求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数
列的前n项的和．
解答：
解：∵等差数列{a
n
}中，a
2=4，a
6
=12；
∴公差d=
∴a
n
=a
2
+（n﹣2）×2=2n；
∴；
；
∴的前n项和，

=
两式相减得

=
∴
故选B
点评： 求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．

15．已 知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项的和，a
2
+a
5
=4，S
7
=21，则a
7
的值为（ ）


6 7 8 9
A．B． C． D．

考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题．
分析：
由a
2
+a
5
=4，S
7
=21根据等差数列的性质可得a
3
+a
4
=a
1
+a
6
=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，
，联立可求d，a
1
，代入等差数列的通项公式可求
解答：
解：等差数列 {a
n
}中，a
2
+a
5
=4，S
7
=2 1
根据等差数列的性质可得a
3
+a
4
=a
1
+ a
6
=4①
根据等差数列的前n项和公式可得，
所以 a
1
+a
7
=6②
②﹣①可得d=2，a
1
=﹣3
所以a
7
=9
故选D
点评： 本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．

16．已知数列{a
n
}为等差数列，a
1
+a
3
+a5
=15，a
4
=7，则s
6
的值为（ ）


30 35 36
A．B． C．
24
D．

考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题．
分析：
利用等差中项的性质求得a
3
的值，进而利用a
1
+a
6< br>=a
3
+a
4
求得a
1
+a
6
的值 ，代入等差数列的求和公式中求得
答案．
解答：
解：a
1
+a< br>3
+a
5
=3a
3
=15，
∴a
3
=5
∴a
1
+a
6
=a
3
+a
4
=12
∴s
6
=×6=36
故选C
点评： 本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．

17．（2 012•营口）等差数列{a
n
}的公差d＜0，且，则数列{a
n
}的前n 项和S
n
取得最大值时的项数n是
（ ）


5 6
A．B． C． 5或6 D． 6或7

考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析：
由，知a
1
+a
11
=0．由此能求出数列{a
n
}的前n项和S< br>n
取得最大值时的项数n．
解答：
解：由，
知a
1
+a
11
=0．
∴a
6
=0，
故选C．
点评： 本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．

18．（2 012•辽宁）在等差数列{a
n
}中，已知a
4
+a
8
= 16，则该数列前11项和S
11
=（ ）


58 88 143 176
A．B． C． D．

考点： 等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
分析：
根据等差数列的定义和性质得 a
1
+a
11
=a
4
+a
8
=16，再由S
11
=
解答：
解：∵在等差数列 {a
n
}中，已知a
4
+a
8
=16，∴a
1+a
11
=a
4
+a
8
=16，∴S
11=
运算求得结果．
=88，
故选B．
点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．

1 9．已知数列{a
n
}等差数列，且a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=10，a
2
+a
4< br>+a
6
+a
8
+a
10
=20，则a
4=（ ）


0 1 2
A．﹣1 B． C． D．

考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题： 计算题．

分析：
由等差数列得性质可得：5a
5
=10，即a
5
=2．同理可得5a
6
=20，a
6
=4，再由等差中项可知： a
4
=2a
5
﹣a
6
=0
解答：
解： 由等差数列得性质可得：a
1
+a
9
=a
3
+a
7
=2a
5
，又a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=10，
故5a
5
=10，即a< br>5
=2．同理可得5a
6
=20，a
6
=4．
再由等差中项可知：a
4
=2a
5
﹣a
6
=0
故选B
点评： 本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．

20 ．（理）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n﹣8n，第k项满足4＜a< br>k
＜7，则k=（ ）


6 7 8 9
A．B． C． D．

考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
分析：
先利用公式a
n
=求出a
n
，再由第k 项满足4＜a
k
＜7，建立不等式，求出k的值．
2
解答：
解：a
n
=
=
∵n=1时适合a
n
=2n﹣9，∴a
n
=2n﹣9．
∵4＜a
k
＜7，∴4＜2k﹣9＜7，
∴＜k＜8，又∵k∈N
+
，∴k=7，
故选B．
点评：
本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a
n
=

21 ．数列a
n
的前n项和为S
n
，若S
n
=2n﹣17n，则 当S
n
取得最小值时n的值为（ ）


4 5
A．4或5 B． 5或6 C． D．

考点： 等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
分析：
把数列的前n项的和S
n
看作是关于n 的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S
n
取得
最小值时n的值 ．
解答：
2
解：因为S
n
=2n﹣17n=2﹣，
的合理运用，属于基础题．
2
又n为正整数，
所以当n=4时，S
n
取得最小值．
故选C
点评： 此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．

22．等差数列{a< br>n
}中，a
n
=2n﹣4，则S
4
等于（ ）


12 10
A．B．

考点： 等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
8
C．
4
D．

分析：
利用等差数列{a
n
}中，a
n
= 2n﹣4，先求出a
1
，d，再由等差数列的前n项和公式求S
4
．
解答：
解：∵等差数列{a
n
}中，a
n
=2n﹣4，
∴a
1
=2﹣4=﹣2，
a
2
=4﹣4=0，
d=0﹣（﹣2）=2，
∴S
4
=4a
1
+
=4×（﹣2）+4×3
=4．
故选D．
点评： 本题考查等差数列的 前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和
公差，再求前四项和 ．

23．若{a
n
}为等差数列，a
3
=4，a8
=19，则数列{a
n
}的前10项和为（ ）


230 140 115 95
A．B． C． D．

考点： 等差数列的前n项和．
专题： 综合题．
分析： 分别利用等差数列的通项公式化简已知的 两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求
出的首项和公差，根据公差数列的前n项 和的公式即可求出数列前10项的和．
解答：
解：a
3
=a
1< br>+2d=4①，a
8
=a
1
+7d=19②，
②﹣①得5d=15，
解得d=3，
把d=3代入①求得a
1
=﹣2，
所以S
10
=10×（﹣2）+×3=115
故选C．
点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

24．等差数列{a
n
}中，a
3
+a
8
=5，则前10项 和S
10
=（ ）


5 25 50
A．B． C．

考点： 等差数列的前n项和；等差数列的性质．
专题： 计算题．
分析：
100
D．
根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a
1
+a
10
=5，代入前10项和S
10
=
果．
解答：
解：等差数列{a
n
}中，a
3
+a
8
=5，∴a
1
+a
10
=5，
∴前10项和S
10
==25，
运算求得结
故选B．
点评：
本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a
1< br>+a
10
=5，是解题的关键，属于基
础题．

25．设 S
n
是公差不为0的等差数列{a
n
}的前n项和，且S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，则等于（ ）

1 2 3 4
A．B． C． D．

考点： 等差数列的前n项和．
专题： 计算题．
2
分析：
由S
1，S
2
，S
4
成等比数列，根据等比数列的性质得到S
2
=S
1
S
4
，然后利用等差数列的前n项和的公式分别
表示出各项 后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公
差d，然 后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．
解答：
解：由S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，
2
∴（2a
1
+d）=a
1
（4a
1
+6d）．
∵d≠0，∴d=2a
1
．
∴===3．
故选C
点评： 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值， 是一道综
合题．

26．设a
n
=﹣2n+21，则数列{a< br>n
}从首项到第几项的和最大（ ）

A．第10项 B． 第11项 C． 第10项或11项 D． 第12项

考点： 等差数列的前n项和；二次函数的性质．
专题： 转化思想．
分析：
方法一：由 a
n
，令n=1求出数列的首项，利用a
n
﹣a
n
﹣
1
等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据
求出的首项和公差写出等差数列的前n项 和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口
向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和 有最大值，即可得到正确答案；
方法二：令a
n
大于等于0，列出关于n的不等式， 求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找
出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数， 即可得到正确答案．
解答：
解：方法一：由a
n
=﹣2n+21，得到首 项a
1
=﹣2+21=19，a
n
﹣
1
=﹣2（n﹣1）+ 21=﹣2n+23，
则a
n
﹣a
n
﹣
1
=（﹣ 2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N），
所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，
则S
n
=19n+当n=﹣
•（﹣2）=﹣n+20n，为开口向下的抛物线，
=10时，S
n
最大．
2
+
所以数列{a
n
}从首项到第10项和最大．
方法二：令a
n
=﹣2n+21≥0，
解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，
所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，
则数列{a
n
}从首项到第10项的和最大．
故选A
点评： 此 题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n
的值；也可以直接令a
n
≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．

二．填空题（共4小题）
27．如果数列{a
n
}满足：

= ．

考点： 数列递推式；等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析： 根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看 出等差数列的首项，
根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．
解答：
解：∵根据所给的数列的递推式
∴数列{
∵a
1
=3，
∴
}是一个公差是5的等差数列，
=，



∴数列的通项是
∴
故答案为：
点评： 本题看出数列的递推式和数列的通项公 式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的
通项公式写出通项，本题是一个中档题 目．

28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）= 101 ．

考点： 数列递推式；等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析： 由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结 规律得到f（n）=n+1，由此能够
求出f（100）．
解答： 解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，
f（1）=2，
∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，
f（3）=f（2）+1=3+1=4，
f（4）=f（3）+1=4+1=5，
…
∴f（n）=n+1，
∴f（100）=100+1=101．
故答案为：101．
点评： 本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

29．等差 数列{a
n
}的前n项的和，则数列{|a
n
|}的前10项之和为 58 ．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析：
先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a
n
=7﹣2n，从而得 到n≤3时，|a
n
|=7﹣2n，当n＞3时，|a
n
|=
2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．
解答：
解：由于等差数列{a}的前n项的和，故a=s=5，
n11
∴a
2=s
2
﹣s
1
=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a
n
=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．
当n≤3时，|a
n
|=7﹣2n，当n＞ 3时，|a
n
|=2n﹣7．

故前10项之和为 a
1+a
2
+a
3
﹣a
4
﹣a
5
﹣…﹣a
10
=+=9+49=58，
故答案为 58．
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

30．已知{a
n
}是一个公差大于0的等差数列，且满足a
3
a
6
=55，a
2
+a
7
=16．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a
n
}和数列{b
n
}满足等式：a
n=
=（n为正整数），求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析：
（1）将已知条件 a
3
a
6
=55，a
2
+a
7
=16，利 用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项
与公差，进一步求出数列{a
n
}的通项公式
（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b
n
}的通项，利用等比数列的前n项和公式求
出数列{b
n
}的前n项和Sn
．
解答：
解（1）解：设等差数列{a
n
} 的公差为d，则依题设d＞0
由a2+a7=16．得2a
1
+7d=16 < br>①由a
3
•a
6
=55，得（a
1
+2d）（a1
+5d）=55 ②
由①得2a
1
=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．
22
即256﹣9d=220∴d=4，又d＞0，
∴d=2，代入①得a
1
=1
∴a
n
=1+（n﹣1）•2=2n﹣1
所以a
n
=2n﹣1
（2）令c
n
=，则有a
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
，a
n+1=c
1
+c
2
+…+c
n
﹣
1

两式相减得a
n+1
﹣a
n
=c
n+1
，
由（1）得a
1
=1，a
n+1
﹣a
n
=2
∴c
n+1
=2，c
n
=2（n≥2），
n+1
即当n≥2时，b
n
=2又当n=1时，b
1
=2a
1
=2
∴b
n
=＜BR＞
于是S
n
=b
1
+b
2
+b
3
…+b
n
=2+2+2
+…+2
n+2
34n+1
=2+2+2+2
+…+2
234n+1
﹣4=﹣ 6，
即S
n
=2﹣6
点评： 求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．