大学英语四级词汇-兰花花叙事曲

6.2.1 等差数列的概念
【教学目标】
1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．
2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．
3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过 程的趣味性、实践
性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过 程中研究和领悟得
出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．
【教学过程】
环节 教学内容
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢
师生互动
教师出示引例，并提出问
设计意图
希望学生能通过
对日常生活中的实际
问题的分析对比，建
学生探究、解答． 立等差数列模型，进
行探究、解答问题，
体验数学发现和创造
的过程．
从上例中，我们得到一个数列，每师：请同学们仔细观察，
看看这个数列有什么特点？
学生观察、回答．
教师总结特征：
从第二项起，每一项与它
前面一项的差等于同一个常数
（即等差）．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项
我们给具有这种特征的数
列一个名字——等差数列．
教师板书定义．
师：等差数列的例子，在
生活中有很多，谁能再举几
个？
由特殊到一般，
发挥学生的自主性，
培养学生的归纳能
力．



在学生自主探
究的基础上得出定
义和公式，更有利于
学生理解和运用．


管（参见教材图6-1），共堆放了7层，题．
导
入
试从上到下列出每层钢管的数量．


层钢管数为



新
课






4，5，6，7，8，9，10.
起，每一项与它前一项的差等于同一个
常数，这个数列就叫做等差数列，这个
常数就叫做等差数列的公差（常用字母
“d”表示） ．

1

练习一
抢答：下列数列是否为等差数列？
1，2，4，6，8，10，12，…；
0，1，2，3，4，5，6，…；
3，3，3，3，3，3，3，…；
2，4，7，11，16，…；
－8，－6，－4，0，2，4，…；
3，0，－3，－6，－9，…．
注意：求公差d一定要用后项减前

教师出示题目．
学生思考、抢答．
师：你能说出练习一中，
各等差数列的公差吗？
学生说出各题的公差d．
教师订正并强调求公差应
注意的问题．


























引导学生观察、
归纳、猜想，培养学
生合理的推理能力．
学生在 分组合
作探究过程中，可能
会找到多种不同的
解决办法，教师要逐
一点评，并 及时肯
定、赞扬学生善于动
脑、勇于创新的品
质，激发学生的创造
意识．







项，而不能用前项减后项．





2．常数列
特别地，数列
3，3，3，3，3，3，3，…
也是等差数列，它的公差为0．公差为0
的数列叫做常数列．
新
课


3．等差数列的通项公式
首项是a
1
，公差是d的等差数列{a
n
}
师：已知一个等差数列
{a
n
}的首项是a
1
，公差是d，
如何求出它的任意项a
n
呢？
学生分组探究，填空，归
纳总结通项公式
a
2
＝a
1
+ d，
a
3
=

+ d = + d
= a
1
+ d，
a
4
=

+ d = + d
= a
1
+ d，，
……
a
n
= a
1
+ d．
的通项公式可以表示为





















4．通项公式的应用
根据这个通项公式，只要已知首项a
n
＝a
1
＋(n－1)d．
师：一个等差数列的各项，
已知 和 就可以确定下来？
师：等差数列的通项公式
中共有几个变量？



a
1
和公差d，便可求得等差数列的任意项
a
n
．
事实上，等差数列的通项公式中共
有四个变量，知道其中三个，便可求出

2

第四个．
例1 求等差数列8，5，2，…的通

教师引导学生分析本题，

鼓励学生自主
项公式和第20项．
解 因为a
1
= 8，d = 5－8=－3，所
已知什么？求什么？怎么求？ 解答，培养学生运算
学生思考、说出已知、所
求，代入通项公式．
强调：通项公式是用含有
n 的式子表示 a
n
．
学生尝试解答后，师生共
同板书解题过程．
仿照例1，教师引导、点
拨．
学生解答．
多媒体出示解题过程．
学生核对、订正．

教师强调解题过程要规
范、严谨．


学生练习．
请学生在黑板上做题．

教师巡视指导．
师生共同订正．

能力．









通过例题，强化
学生对等差数列通
项公式的理解，强化
学生学以致 用的意
识．













教师出示例题． 由特殊到一般，
以这个数列的通项公式是
a
n
= 8+(n-1)×(-3)，
即a
n
= －3n + 11．所以



a
20
= －3×20 + 11 = -49.

例2 等差数列－5，－9，－13，…
的第多少项是－401？



解 因为a
1
= －5，而且
d = －9－(－5)=－4，
a
n
= －401，
所以


新
课


－401= －5+ (n－1)×(－4)．
解得 n=100．
即这个数列的第100项是－401．

练习二
（1）求等差数列3，7，11，…的第
4，7，10项．
（2）求等差数列10，8，6，…的第
20项．












以
A－3 = 7－A，2A = 3 + 7．

练习三
在等差数列{a
n
}中：
1
（1）d =－ ，a
7
= 8，求a
1
；
3
（2）a
1
= 12，a
6
= 27，求d．

例3 在3与7之间插入一个数A，
使3，A，7成等差数列，求A．
解 因为3，A，7成等差数列，所






学生同桌之间合作探究． 发挥学生的自主性，
学生分析解题思路．
教师出示答案，订正．
师：在a与b 之间插入一
培养学生的归纳能
力．


3

解得A=5．


5．等差中项的定义
个数A，使a，A，b 成等差数
列．你能用a，b 来表示A 吗？
学生探究、回答．
教师订正学生的回答，给



在学生自主探
究的基础上得出定
义和公式，更有利于
学生理解和运用．




引导学生观察、
归纳、猜想，培养学
生合理的推理能力．














一般地，如果a，A，b 成等差数列，出等差中项的定义和公式．
师：你能用文字描述一下
这个式子的含义吗？
师：在等差数列1，3，5，
7，9，11，13，…中，每相邻
的三项，满足等差中项的关系
吗？
学生分组合作探究，得出
结论．

师：能将这个结论推广到
一般的等差数列中吗？
学生继续分组合作探究．
a
2
=
a
1
+ a
3
，
2









学生做练习．
学生回答各题结果，统一
订正答案．



例4 已知一个等差数列的第3项是
5，第8项是20，求它的第25项．
教师出示例题．
学生分组合作探究．
教师总结学生的回答，给
出结论．
那么A 叫做a与b的等差中项．










新
课



















6．等差中项公式
如果A 是a与b的等差中项，则
A =
a + b
．
2
这就表明，两个数的等差中项就是
它们的算术平均数．

7．一个结论
在等差数列a
1
，a
2
，a
3，…，a
n
，…
中，
a
2
+ a
4
a
3
= ，
2
……

a
n
=
a
n
－
1
+ a
n+1
，
2
……
这就是说，在一个等差数列中，从
第2项起，每一项（有穷等差数列的末
项除外）都是它的前一项与后一项的等
差中项．

练习四
求下列各组数的等差中项：
（1）732与－136；
49
（2） 与42．
2

通过两道直接
套用公式的练习题，
强化学生对中项公
式的掌握．


学生在分组合
作探究过程中，可能

4

新
课


















解 因为a
3
= 5，a
8
= 20，根据通项
公式得

教师点拨、引导：
会找到多种不同的
解决办法，教师要逐

a1
+(3－1)d = 5



a
1
+(8－1)d = 20
整理，得


a
1
+2d = 5




a
1
+7d = 20
（1）例题给出了哪些量？一点评，并及时肯
如何用数列符号表示？
（2）例题中的所求量是什
么？需要知道哪些条件？

教师总结学生思路，给出
解题过程．





学生自主练习．
教师巡视指导．
请个别学生在黑板上做题
定、赞扬学生善 于动
脑、勇于创新的品
质，激发学生的创造
意识．







鼓励学生自主
解答，培养学生运算
能力．



教师出示例题．
引导学生将题中的已知和
通过例题 ，强化
学生对等差数列通
解此方程组，得a
1
= －1，d = 3．
所以
a
25
= －1+(25－1)×3 = 71.
强调： 已知首项a
1
和公差d，便可
求得等差数列的任意项a
n
．

练习五
（1）已知等差数列{a
n
}中，a
1
= 3，
a
n
= 21，d = 2，求n．
（2）已知等差数列{a
n
}中，a
4
= 10，
后，师生共同订正．
a
5
= 6，求a
8
和d．


例5 梯子的最高一级是33 cm，
最低一级是89 cm，中间还有7级，各级

的宽度成等差数列，求中间各级的宽度．
未知转化为用数列符号表示． 项公式的理解，强化
解 用{a
n
}表示题中的等差数
学生学以致用的意
列．已知a
1
= 33，a
n
= 89，n = 9，
识．
则a
9
= 33+(9－1)d ，即
89 = 33 + 8d，
解得d = 7．
于是
a
2
= 33 + 7 = 40，
a
3
= 40 + 7 = 47，
a
4
= 47 + 7 = 54，
a
5
= 54 + 7 = 61，
a
6
= 61 + 7 = 68，
a
7
= 68 + 7 = 75，
a
8
= 75 + 7 = 82．




教师出示解题过程，强调
解题步骤要规范、严谨，叙述
要简明、完整．


学生解答．
教师巡视指导．












5

新
课







即梯子中间各级的宽从上到下依次
是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，
75 cm，82 cm．

例6 已知一个直角三角形的三条
边的长度成等差数列．求证：它们的比
是3∶4∶5．
证明 设这个直角三角形的三边长
分别为
a－d，a，a+d．
根据勾股定理，得
(a－d)
2
+ a
2
=(a+d)
2
．
解得a = 4d ．
于是这个直角三角形的 三边长是
3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边
长的比是3∶4∶5．
1．等差数列的定义及通项公式．
2. 等差中项的定义和公式．
小
结
3．等差数列通项公式和中项公式的
应用．




教师出示例题，提示点拨：
当已知三个数成等差数列时，
可将这三个数表示为
a－d，a，a+d，




在例题的教学
中 ，教师要注重引导
学生分析题意，教会
学生思考问题、解决
其中d 是公差．由于这样具有问题的思路与方法；
对称性，运算时往往容易化简． 在解决问题中，将新
学生根据教师的提示，分
组探究．
请学生在黑板上做题．
教师引导学生订正解题过
程，规范解题步骤．
的知识内化到学生
原有的认知结构中
去．

学生阅读课本P9～P12，
畅谈本节课的收获．
教师引导梳理，总结本节
课的知识点和解题方法．
教师鼓励学生
积极回答， 答不完整
没有关系，其它同学
补充．以此培养学生
的口头表达能力，归
纳概括 能力．
作
业
教材P17，习题第1，2，6题． 学生课后完成． 巩固拓展．


6