能给-分手后的个性签名

【学习目标】
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的递推公式、通项公式及运用。
2.掌握等差数列的性质，能灵活运用等差数列的性质解决问题。
3.掌握等差数列前n项和公式及其应用，能灵活应用等差数列前n项和的性质解题。
4会求等差数列前n项和的最值。
【知识要点】
1.定义：如果一个数列从第2项 起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列 的公差，通常用字母
d
表示。
2.递推公式：
a
n
＋1< br>－
a
n
＝
d
(
d
为常数，
n
∈N
＋
)。
3.通项公式：以
a
1
为首项，
d
为公差的等差数列{
a
n
}的通项公式
a
n
＝a
1
＋(
n
－1)
d。

4.等差数列通项公 式可以看作特殊的一次函数，
a
n
＝
nd
＋(
a
1
－
d
)，一次项系数为
d。
5.等差中项：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，满足的关系式是
a
＋
b
＝2
A
.
6.常用性质：
（1）
d
a
m
a
n

mn
（2）{
a
n
}是等差数列，若正整数
m
，
n
，< br>p
，
q
满足
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
。特别地，当
m
＋
n
＝2
k
(
m
，
n
，
k
∈N
＋
)时，
a
m
＋
a
n
＝2
a
k
.
（3）等差数列{
a
n
}中，若序号成等差数列，那么对应项也成等差数列。
7.等差数列前n项和公式：
已知量

求和公式

8.等差数列前n项和性质：
（1）等差数列中，
S
k
，S
2k
-S
k
，S
3k
-S
2k
成等差数列。
（2）若{
a
n
}，{
b
n
}均为等差数列，其前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，则＝
a
1
、
a
n
与
n
na
1
＋
a
n
S
n
＝

2
a
1
、
d
与
n

nn
－
S
n
＝
na
1
＋
2
d

a
n
S
2
n
－1
。
b
n
T
2
n
－1
9.等差数列前n项和公式是特殊的二次函数，因此可以利用此 特征求前n项和的最值。

【题型详解】
类型一：定义法证明等差数列
例1：已知数列

a
n
< br>是等差数列,设
b
n
a
n
3a
n1
. 求证：数列

b
n

也是等差数列.
证明：

小结：定义法证明，实际就是利用递推公式得到其公差是与n无关的常数，来判断是否为等差数列。
类型二：通项公式的应用
例2：等差数列

a
n

中,
a
3
a
4
4
,
a
5
 a
7
6
,求

a
n

的通项公式。
解:设数列

a
n

的公差为d,
由题意有2a
1
5d4
,
2a
1
10d6
,
解得
a
1
1,d
2
,
5
2n3

5
所以

a
n

的通项公式为
a
n

小结：等差数列里大部分问题都可以将任意项 用
a
1
和
d
来表示，构造方程组解决问题。
类型三：等差中项的应用
例3：如果等差数列中，，那么（ ）。
A. 14 B. 21 C. 28 D. 35
解析：
本题主要考查等差数列中项的性质。
，
故本题正确答案为C。

类型四：等差数列性质的应用
例4： 等差数列

a
n

中,
a
5
a
6
4
,则
log
2
2
1
2
2

2
aa
。故。

a
10


( )
A.10 B.20 C.40 D.
2log
2
5

解:等差数列
a
n

中,
a
5
a
6
4
,
a
1
a
10
20

则原式=.
log
2
2
20

20所以B选项是正确的
类型五：等差数列前n项和的应用
例5：已知等差数列{
a
n
}中，
1
(1)
a< br>1
＝，
S
4
＝20，求
S
6
；
2
31
(2)
a
1
＝，
d
＝－，
S
n
＝－15，求
n
及
a
n
；
22

类型六：等差数列前n项和求最值
例6：已知数列{
a
n
}的通项 公式是
a
n
＝2
n
－48，则
S
n
取得最 小值时，
n
为________.
【解析】由
a
n
≤0得 ，2
n
－48≤0，
n
≤24.
∴当
n
＝23或24时，
S
n
最小.
类型七：等差数列前n项和性质应用
例7：在等差数列{
a
n
}中 ，若
S
4
＝1，
S
8
＝4，则
a
17＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
的值为( )
A.9
C.16
B.12
D.17
【解 析】(1)法一：由题意知：
S
4
＝1，
S
8
－
S
4
＝3，
而
S
4
，
S
8
－S
4
，
S
12
－
S
8
，
S< br>16
－
S
12
，
S
20
－
S
16
成等差数列.
即1,3,5,7,9，

a
17＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
＝
S
20
－
S
16
＝9.

【复习检测】
1.下列说法中正确的有________.(填序号)
①若{a
n
}是等差数列，则{|
a
n
|}也是等差数列.
②若{|
a
n
|}是等差数列，则{
a
n
}也是等差数列.
③若{
a
n
}是等差数列，则对任意
n
∈N
＋都有2
a
n
＋1
＝
a
n
＋
a
n
＋2
.
④数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝3
n
＋5，则数列{
a
n
}的公差与函数
y
＝3
x
＋5的图象的斜率相等.
【解析】①错误.如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.
②错误.如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.
③正确.根据等差数列的通项可判定对任意
n
∈N
＋
都有2
a
n
＋1
＝
a
n
＋
a
n
＋2
成立 .
④正确.因为
a
n
＝3
n
＋5的公差
d
＝3，而直线
y
＝3
x
＋5的斜率也是3.

2. 在等差数列{
a
n
}中，若
a
5
＝6，
a
8
＝15，则
a
14
＝________.
【解析】∵数列{
a
n
}是等差数列，
∴
a
5< br>，
a
8
，
a
11
，
a
14
也成等差数列且公差为9，
∴
a
14
＝6＋9×3＝33.
3.在等差数列 {
a
n
}中，已知
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝450，则
a
2
＋
a
8
＝________ .
【解析】因为
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝5
a
5＝450.
所以
a
5
＝90，
a
2
＋a
8
＝2
a
5
＝2×90＝180.
4.已知等差数 列{
a
n
}中，
a
7
＋
a
9
＝1 6，
a
4
＝1，则
a
12
＝________.
【解析】在等差数列{
a
n
}中，由于
a
7
＋
a< br>9
＝
a
4
＋
a
12
，所以
a
12
＝(
a
7
＋
a
9
)－
a
4
＝16－1＝15.
5.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.

6.请你根据提供的信息回答问题.
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.


a
1
＝1，
(1)由
a
1
＝1，
a6
＝2，得



a
1
＋5
d
1
＝2，



a
1
＝1，
∴



d
1
＝0.2，





得
a
2
＝1.2；

b
1
＝30，
由
b
1
＝30，
b
6
＝10，得



b
1
＝30，
∴


d2
＝－4，



b
1
＋5
d
2
＝10，


得
b
2
＝26.
∴< br>c
2
＝
a
2
b
2
＝1.2×26＝31.2 ，
即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只.

(2)∵
c
6
＝
a
6
b
6
＝2×10＝20<
c< br>1
＝
a
1
b
1
＝30，
∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.