中考历史-个人简历表格范文

数列、等差数列基础题以及答案

一、选择题
1.数列
{a
n
}
满足
a
1
=a
2
=1
，为
S
n
，则
S
2013
的值为（ ）
，若数列
{a
n
}
的前
n
项和
A.
2013

B.
671

C.
-671

D.

2.
已知数列
{a
n
}
满足递推关系：
a
n
+1
=
A.

，
a
1
=
，则
a
2017
=
（ ）
B.

C.

D.

3.
数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
n
=2n-1
（
n
∈
N
+
）， 则
a
2017
的值为（ ）
A.
2

B.
3

C.
2017

D.
3033

4.已知正项数列
{a
n
}
满足，若
a
1
=1
，则
a
10
=
（ ）
A.
27

B.
28

C.
26

，则
a
7
等于（ ）
D.
29

5 .若数列
{a
n
}
满足：
a
1
=2
，a
n
+1
=
A.
2

B.

C.
-1

D.
2018

6.已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
2a
6
=a
3
+6
，则
S
7
=< br>（ ）
A.
49

B.
42

C.
35

D.
28

7.等差数列
{a
n
}
中，若
a
1
，
a
2013
为方程
x
2
-10x+16=0
两根，则
a
2
+a
10 07
+a
2012
=
（ ）
A.
10

B.
15

C.
20

D.
40

8.已知数列
{a
n
}
的前
n项和，若它的第
k
项满足
2
＜
a
k
＜
5
，则
k=
（ ）
A.
2

B.
3

C.
4

D.
5

9. 在等差数列
{a
n
}
中，首项
a
1
=0
， 公差
d≠0
，若
a
k
=a
1
+a
2
+a
3
+
…
+a
10
，则
k=
（ ）
A.
45

B.
46

C.
47

D.
48

10.已知
a
1，
a
2
，
a
3
，…，
a
8
为 各项都大于零的数列，则“
a
1
+a
8
＜
a
4+a
5
”是“
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
8
不是等比数列”的（ ）
A.
充分且必要条件
B.
充分但非必要条件
C.
必要但非充分条件
D.
既不充分也不必要条件
+3=36
，1 1.已知
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，则
2
（
a
1
+a
3
+a
5
）（
a
8
+a
10
）则
S
11
=
（ ）
A.
66

B.
55

C.
44

D.
33

二、填空题
1.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n< br>=n
2
+n
，则该数列的通项公式
a
n
=_____ _
．
2.正项数列
{a
n
}
中，满足
a
1
=1
，
a
2
=
，
=
（
n
∈
N
*
），那么
a
n
=______
．
3.若数列
{a
n
}
满足
a
1
=-2
， 且对于任意的
m
，
n
∈
N
*
，都有
am
+
n
=a
m
+a
n
，则
a
3
=______
；数
列
{a
n
}
前
10
项的和
S
10
=______
．
4.数列
{a< br>n
}
中，已知
a
1
=1
，若
，则
a
n
=______
．
5.已知数列
{a
n
}满足
a
1
=-1
，
a
n
+1
=an
+
，
n
∈
N
*
，则通项公式
an
= ______
．
，则
a
n
=______< br>，若

6.数列
{a
n
}
满足
a
1
=5
，
-=5
（
n
∈
N
+
） ，则
a
n
= ______
．
7.等差数列
{a
n
}
中，
a
1
+a
4
+a
7
= 33
，
a
3
+a
6
+a
9
=21
，则数列
{a
n
}
前
9
项的和
S
9
等于
______
．
三、解答题
1.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
（
1< br>）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设（
n
∈
N
+
），求的值．
=1
（
n
∈
N
+
）．

2.数 列
{a
n
}
是首项为
23
，第
6
项为3
的等差数列，请回答下列各题：
（Ⅰ）求此等差数列的公差
d
； < br>（Ⅱ）设此等差数列的前
n
项和为
S
n
，求
S
n
的最大值；
（Ⅲ）当
S
n
是正数时，求
n
的最大值．
3.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
=2a
n
-2
（
n
∈
N
*
）．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）
< br>求数列
{S
n
}
的前
n
项和
T
n< br>．

4.已知数列
{a
n
}
具有性质：①
a
1
为整数；②对于任意的正整数
n
，当
a
n
为偶 数时，
；当
a
n
为奇数时，．
（
1
）若
a
1
=64
，求数列
{a
n
}
的通项公式； （
2
）若
a
1
，
a
2
，
a< br>3
成等差数列，求
a
1
的值；
（
3
）设（
m≥3
且
m
∈
N
），数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求证：
．（ ）

答案和解析

【答案】
1.
D

2.
C

8.
C

9.
B

12.
2n


3.
A

10.
B

4.
B

11.
D

5.
A


6.
B

7.
B

13.

14.
-6
；
-110


15.
2n-1
；
2
n
-1


16.
-


17.
18.
81


19.
解：（
1
）当
n=1
，
a
1
=
，
当
n
＞
1
，
S
n
+a
n
=1
，
S
n
-1
+a
n
-1
=1
，
∴
a
n
-a
n
-1
=0
，
即
a
n
=a
n
-1
，
数列
{a
n
}
为等比数列，公比为，首项为，
∴
a
n
=
．
（
2
）
S
n
=1-a
n
=1-
（）
n
，
∴
b
n
=n
，
∴
∴
==-
，
=1-+-+
…
+-=1-=
．


；


20.
解：（Ⅰ）由
a
1
=23
，
a
6
=3
，所以等差数列的公差
d=
（Ⅱ）
=< br>，
因为
n
∈
N
*
，所以当
n=6
时
S
n
有最大值为
78
；
（Ⅲ）由，解得
0
＜
n
＜．
因为
n
∈< br>N
*
，所以
n
的最大值为
12
．


21.
解：（Ⅰ）列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
=2a
n
- 2
①．
则：
S
n
+1
=2a
n
+1-2
②，
②
-
①得：
a
n
+1
=2a
n
，
即：（常数），

当
n=1
时，
a
1
=S
1
=2a
1
-2
，
解得：
a
1
=2
，
所以数列的通项公式为：
（Ⅱ）由于：
则：
=
，
，
，
，
=2
n
+1
-2
．
-2-2-
…
-2
，
=2
n
+2
-4-2n
．


（
1
）由
22.
解：，可得，，…，，，，
a
9
=0
，…，
即
{ a
n
}
的前
7
项成等比数列，从第
8
起数列的项均 为
0
．

…（
2
分）
故数列
{a
n
}
的通项公式为
（
2
）若
a
1
=4k
（
k
∈
Z
）时，，
．

…（
4
分）
，
由
a
1
，
a< br>2
，
a
3
成等差数列，可知即
2
（
2k）
=k+4k
，解得
k=0
，故
a
1
=0；
若
a
1
=4k+1
（
k
∈
Z）时，，，
由
a
1
，
a
2
，
a3
成等差数列，可知
2
（
2k
）
=
（
4k+1
）
+k
，解得
k=-1
，故
a
1
=-3
；…（
7
分）
若
a
1
=4k+2
（
k
∈
Z
）时，，，
由
a
1
，
a
2
，
a
3
成等差数列，可知
2
（
2k+ 1
）
=
（
4k+2
）
+k
，解得
k=0< br>，故
a
1
=2
；
若
a
1
=4k+ 3
（
k
∈
Z
）时，，，
由
a
1
，
a
2
，
a
3
成等差数列，可知
2
（2k+1
）
=
（
4k+3
）
+k
，解得
k=-1
，故
a
1
=-1
；
∴
a
1< br>的值为
-3
，
-1
，
0
，
2
．
…（
10
分）
（
3
）由（
m≥3
），可得
，
若，则
a
k
是奇数，从而
成立．

…（
13
分）
，
，，
可得当
3≤n≤m+1< br>时，
又，
a
m
+2
=0
，…
故当
n≤m
时，
a
n
＞
0
；当
n≥m+1
时，
a
n
=0
．

…（
15
分）
故对于给定的
m
，
S
n< br>的最大值为
a
1
+a
2
+
…
+a
m
=
（
2
m
-3
）
+
（
2
m
-1
-2
）
+
（
2
m
-2
-1
）
+
（
2
m
-3
-1
）
+
…
+
（
2
1
-1
）
=
（
2m
+2
m
-1
+2
m
-2
+
…
+2
1
）
-m-3=2
m
+1
-m-5
，
故．

…（
18
分）

【解析】
1.
解：∵数列
{a
n
}
满足
a
1=a
2
=1
，
∴从第一项开始，
3
个一组，则第
n
组的第一个数为
a
3
n
-2

a
3
n
-2
+a
3
n
-1
+a
3
n< br>
=cos
，

=cos
（
2nπ-
）
=cos
（
-
）
=cos

=-cos

=-
，
3=671
，即
S
2013
正好是前
671
组的和，
∵2013÷
671=-
∴
S
2013
=-×
故选
D
．
由数列
{a
n
}
满足
a
1
=a
2
=1
，
一组，则第
n
组的第一个数为
a< br>3
n
-2
，由
a
3
n
-2
+a3
n
-1
+a
3
n
=cos
，知从第一项开始 ，
3
个
=-
，能求出
S
2013
．
．
本题考查数列的递推公式和数列的前
n
项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数
的性质的合理运用．
2.
解：∵
a
n
+1
=< br>∴数列
∴
，
a
1
=
，∴
-=1
．
是等差数列，首项为
2
，公差为
1
．
=2+2016=2018
．
． 则
a
2017
=
故选：
C
．
a
n
+1
=
，
a
1
=
，可得
-=1
．再利用 等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
3.
解：∵
S
n
=2n-1
（
n
∈N
+
），
2017-1-2×2016+1=2
∴
a2017
=S
2017
-S
2016
=2×
故选：A
由
a
2017
=S
2017
-S
2016
，代值计算即可．
本题考查了数列的递推公式，属于基础题．
4.
解： ∵
∴（
a
n
+1
-a
n
）
2
=9
，
，∴
a
n
+1
2
-2a
n
a
n
+1
+a
n
2
=9
，

∴
a
n
+1
-a
n
=3
，或
a
n
+1
-a
n
=-3
，
∵
{a
n
}
是正项数列，
a
1
=1
，
∴
a
n+1
-a
n
=3
，即
{a
n
}
是以< br>1
为首项，以
3
为公差的等差数列，
3=28
．
∴
a
10
=1+9×
故选
B
．
由递推式 化简即可得出
{a
n
}
是公差为
3
的等差数列，从而得出< br>a
10
．
本题考查了等差数列的判断，属于中档题．
5.
解：数列
{a
n
}
满足：
a
1
=2
，< br>a
n
+1
=
a
3
=
a
4
=
a
5
=
a
6
=
a
7
=
= -1
=2
=
，
=-1
．
=2
．
，则
a
2
==
，
故选：
A
．
利用数列的递推关系式，逐步求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．
6.
解：∵等差数列
{a
n
}
的前
n
项 和为
S
n
，
2a
6
=a
3
+6
，
∴
2
（
a
1
+5d
）
=a
1+7d+6
，
∴
a
1
+3d=6
，∴
a4
=6
，
∴
=42
．
故选：
B
．
由已知条件利用等差数列的通项公式能求出
a
4
，由此利用等差数列的前n
项和公式能求
出
S
7
．
本题考查等差数列的前7
项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的
通项公式和前
n< br>项和公式的合理运用．
7.
解：∵
a
1
，
a2013
为方程
x
2
-10x+16=0
的两根
∴
a
1
+a
2013
=10
由等差数列的性质 知：
a
1
+a
2013
=a
2
+a
201 2
=2a
1007

∴
a
2
+a
1007
+a
2012
=15
故选：
B
由方程的韦达定理求得
a
1
+a
201 3
，再由等差数列的性质求解．
本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定
a< br>1
+a
2013
=10
是关键．
8.
解：已知数 列
{a
n
}
的前
n
项和，
n=1
可得S
1
=a
1
=1-3=-2
，
∴
a
n
=S
n
-S
n
-1
=n
2
-3n-[< br>（
n-1
）
2
-3
（
n-1
）
]= 2n-4
，
n=1
满足
a
n
，
∴
a
n
=2n-4
，
∵它的第
k
项满足
2
＜
a
k
＜
5
，即
2
＜
2k-4
＜
5
，解得
3
＜
k
＜
4.5，因为
n
∈
N
，
∴
k=4
，
故选
C
；

先利用公式
a
n
=求出
a
n
=
出
k
的值．
，再由第
k
项满足
4
＜
a
k
＜
7
，建立不等式，求< br>本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式
a
n
=
的合理运用 ，
属于基础题．
9.
解：∵
a
k
=a
1
+a
2
+a
3
+
…
+a
10
，
∴
a
1
+
（
k-1
）
d=10a
1+45d
∵
a
1
=0
，公差
d≠0
，
∴（
k-1
）
d=45d
∴
k=46
故选
B
由已知
a
k
=a
1
+a
2
+a
3
+
…
+a
10
，结合等差数列的通项公式 及求和公式即可求解
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
10.
解：若八个正数，成等比数列公比
q
＞
0
， （
a
1
+a
8
）
-
（
a
4< br>+a
5
）
=a
1
[
（
1+q
7< br>）
-
（
q
3
+q
4
）
]
=a
1
[
（
q
3
-1
）（
q
4
-1
）
]
当
0
＜
q
＜
1
，时
（
q
3
-1
）＜
0
，（
q
4
-1
）＜
0
∴
a
1
[
（
q
3
-1
） （
q
4
-1
）
]
＞
0
当
q
＞
1
，时
（
q
3
-1）＞
0
，（
q
4
-1
）＞
0
∴< br>a
1
[
（
q
3
-1
）（
q
4
-1
）
]
＞
0
所以
a
1
+ a
8
＞
a
4
+a
5
，
故若
a< br>1
+a
8
＜
a
4
+a
5
，则
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a< br>8
不是等比数列，
若
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
8
不是等比数列，
a
1< br>+a
8
＜
a
4
+a
5
，不一定成立， 故“
a
1
+a
8
＜
a
4
+a
5
”是“
a
1
，
a
2
，
a
3，…，
a
8
不是等比数列”的充分非必要条件．
故选
B -
先假设八个整数成等比数列且
q≠1
，利用等比数列的通项公式表示出（
a
1
+a
8
）（
a
4
+a
5
） ，
分别对
q
＞
1
和
q
＜
1
分类讨 论，可推断出
a
1
+a
8
＞
a
4
+a5
一定成立，反之若
a
1
+a
8
＜
a
4
+a
5
，
则
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，
a
8
不是等比数列，推断出条件的充分性； 若
a
1
，
a
2
，
a
3
，…，a
8
不
是等比数列，
a
1
+a
8
＜< br>a
4
+a
5
，不一定成立，综合答案可得．
本题主要考查了 等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了
学生分析问题和基本的推理能力．
2+3=36
，由等差数列的性质可得：（
a
1
+a
3+a
5
）（
a
8
+a
10
）∴
6a< br>3
+6a
9
=36
，即
a
1
+a
1 1
=6
．
11.
解：
则
S
11
==11×3=33
．
故选：
D
．
利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于
中档题．
12.
解：由
S
n
=n
2
+n
，得
a
1
=S
1
=2
，
当
n≥2
时，
a
n
=S
n
-S
n
-1
=
（
n
2
+n
）
-[
（< br>n-1
）
2
+
（
n-1
）
]=2n
．
当
n=1
时上式成立，
∴
a
n
=2n
．

故答案为：
2n
．
由数列的前
n
项和求得 首项，再由
a
n
=S
n
-S
n
-1
（n≥2
）求得
a
n
，验证首项后得答案．
本题考查了由数列的前
n
项和求数列的通项公式，是基础题．
13. 解：由
=
（
n
∈
N
*
），可得
a2
n
+1
=a
n
•
a
n
+2
，
∴数列
{a
n
}
为等比数列，
∵
a
1
=1
，
a
2
=
，
∴
q=
，
∴
a
n
=
，
故答案为：
由
=

（
n
∈
N
*< br>），可得
a
2
n
+1
=a
n
•
a< br>n
+2
，即可得到数列
{a
n
}
为等比数列，求出公
比，即可得到通项公式
本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．
14.
解：∵对于任意的
m
，
n
∈
N
*
，都有
a
m
+
n
=a
m
+a
n< br>，
∴取
m=1
，则
a
n
+1
-a
n
=a
1
=-2
，
∴数列
{a
n
}是等差数列，首项为
-2
，公差为
-2
，
∴
a
n
=-2-2
（
n-1
）
=-2n
．
∴
a
3
=-6
，
∴数列
{a
n
}
前
10
项的和
S
10
==-110
．
故答案分别为：
-6
；
-110
．
对于任意的
m
，
n
∈
N
*
，都有
a
m
+
n
=a
m
+a
n
，取
m=1
，则
an
+1
-a
n
=a
1
=-2
，可得数列
{a
n
}
是等
差数列，首项为
-2
，公差为
-2
，利用等差数列的通项公式及其前
n
项和公式即可得出．
本题考查了递推式 的应用、等差数列的通项公式及其前
n
项和公式，考查了推理能力与
计算能力，属于中 档题．
15.
解：在数列
{a
n
}
中，由
可知 数列是公差为
2
的等差数列，又
a
1
=1
，
∴< br>a
n
=1+2
（
n-1
）
=2n-1
；
由，
，
可知数列是公比为
2
的等比数列，又
a
1
=1
，
∴．
故答案为：
2n-1
；
2
n
-1
．
由已知递推式
a
n
-a
n
-1
=2
，可得 数列是公差为
2
的等差数列，由，可知数列是公比
为
2
的等比数列， 然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．
本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．
16.
解：由题意，
a
n
+1
-a
n
=-
利用叠加法可得
a
n
-a
1
=1-=
，
，

∵
a
1
=-1
，
∴
a
n
=-
，
故答案为
-
．
由题意，
a
n
+1
-a
n
=-
，利用叠加法可得结 论．
本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．
17.
解：数列< br>{a
n
}
满足
a
1
=5
，
-=5< br>（
n
∈
N
+
），
可知数列
{}
是等差数列，首项为，公差为：
5
．
可得
=+5
（
n-1
），
解得
a
n
═
故答案为：
．
．
判断数列
{}
是等差数列，然后求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．
18.
解： 等差数列
{a
n
}
中，
a
1
+a
4
+a
7
=33
，
a
3
+a
6
+a
9
=21
，
∴
3a
4
=33
，
3a< br>6
=21
；
∴
a
4
=11
，
a
6
=7
；
数列
{a
n
}
前
9
项的和：
．
故答案为：
81
．
根据等差数列项的性质与前
n
项和公式，进行解答即可．
本题考查了等差数列项的性质与前
n
项和公式的应用问题，是基础题目．
19.
（
1
）根据数列的递推公式可得数列
{a
n
}
为等比数列，公比为，首项为，即可求出
通项公式，
（
2
）根 据对数的运算性质可得
b
n
=n
，再根据裂项求和即可求出答案
本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20.
（
1
）直接利用等差数列的通项公式求公差；
（
2
）写出等差数列的前
n
项和，利用二次函数的知识求最值； < br>（
3
）由
S
n
＞
0
，且
n
∈
N
*
列不等式求解
n
的值．
本题考查了等差数列的通项 公式和前
n
项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运
算题．
21.
（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前
n
项和公式求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前
n
项和的公式的应用．
22.
（
1
）由，可得
{a
n
}
的前< br>7
项成等比数列，从第
8
起数列的项均为
0
，
从而利 用分段函数的形式写出数列
{a
n
}
的通项公式即可；
（
2
）对
a
1
进行分类讨论：若
a
1
=4k
（
k
∈
Z
）时；若
a
1
=4k+1
（k
∈
Z
）时；若
a
1
=4k+2
（
k
∈
Z
）
时；若
a
1
=4k+3
（
k
∈
Z
）时，结合等差数列的性质即可求出
a
1
的值； < /p>

（
3
）由（
m≥3
），可得
a
2，
a
3
，
a
4
．若，则
a
k
是奇数，可
得当
3≤n≤m+1
时，成立，又当
n≤m
时，
a
n
＞
0
；当
n≥m+1
时，
a
n
=0
．故
对于给定的
m
，
S
n
的最大值为
2
m
+1
-m-5
，即可证出结论．
本小题主要考查等差数列的 性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考
查分析问题、解决问题的能力．