监事会-我的长生果课文

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：
a
n
a
n1
d
（d为常数）（
n2
）；

2．等差数列通项公式：
*

a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN)
， 首项:
a
1
，公差:d，末项:
a
n

推广：
a
n
a
m
(nm)d
． 从而
d

3．等差中项
a
n
a
m
；
nm
ab
或
2Aab

2
（1）如果a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
（2）等差中项：数列
a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a
n
a
n2


4．等差数列的前n项和公式：
n(a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
d

22
特别地，当项数为奇数
2n1
时，
a
n1
是项数 为2n+1的等差数列的中间项
S
n


5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)



a
n

是等差数列．
（2） 等差中项：数列

a
n

是等差数列
2a
na
n-1
a
n1
(n2)2a
n1
a< br>n
a
n2
．
（3） 数列

a
n< br>
是等差数列

a
n
knb
（其中
k, b
是常数）。
2
（4） 数列

a
n

是等差数列

S
n
AnBn
,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d< br>(常数
nN
)



a
n

是等差数列．
7.提醒：等差数列的通项公式< br>a
n
及前n项和
S
n
公式中，涉及到5个元素：
a< br>1
、d、n、a
n
及S
n
，其中
a
1
、d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.
8. 等差数列的性质：
（1）当公差
d0
时，
等差数列的通 项公式
a
n
a
1
(n1)ddna
1
 d
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d
；
n(n1) dd
dn
2
(a
1
)n
是关于
n
的 二次函数且常数项为0.
222
（2）若公差
d0
，则为递增等差数列， 若公差
d0
，则为递减等差数列，若公差
d0
，则为常数列。
（3）当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a< br>m
a
n
2a
p
.
前
n
和S
n
na
1

注：
a
1
a
n
a
2
a
n1
a
3
a
n2

，
（4）若

a
n

、

b
n

为等差数列，则


a
nb

，


1
a
n

< br>2
b
n

都为等差数列
(5) 若{
a
n
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n
, S
3n
S
2n
，…也成等差数列
（6）数列
{a< br>n
}
为等差数列,每隔k(k

N
)项取出一项(
a
m
,a
mk
,a
m2k
,a
m3k
,
)仍为等差数列
（7）设数列

a
n

是等差数列，d为公差，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项 项的和，
S
n
是前n项的和
1.当项数为偶数
2n
时，
*
S
奇
a
1
a
3
a
5a
2n1

n

a
1
a
2n1

na
n

2
n

a
2
a
2n

S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2n
na
n1
2
S
偶
S
奇
na
n1
na
n
n

a
n1
a
n

=nd

S
奇

na
n

a
nS

偶
na
n1
a
n1
2、当项数为奇数
2n1
时，则



S
2n1
S
奇
S
偶
(2n1)a
n+1


S
奇
(n1)a
S
奇
n1


S奇
S
偶
a


n+1

n+1


S
偶
na
n+1
S
偶< br>n

等差数列练习：
一、选择题
1.已知为等差数列，
a
1
a
3
a
5
105,a
2
a4
a
6
99
，则
a
20
等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
2.设S
n
是等差数列

a
n

的前n项和，已知< br>a
2
3
，
a
6
11
，则
S7
等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
3.等差数列
{a
n}
的前n项和为
S
n
，且
S
3
=6，
a
1
=4， 则公差d等于( )
A．1 B.
5
3
C. - 2 D. 3
4.已知

a
n

为等差数列，且
a< br>7
－2
a
4
＝－1,
a
3
＝0,则公差d＝( )
A.－2 B.－
11
2
C.
2
D.2
5.若等差数列
{a
n
}
的前5项和
S
5
25
，且
a
2
3
，则
a
7

( )
A.12 B.13 C.14 D.15
6.在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
7.已知
{a
n
}
是等差数列，
a
1
a
2
4
，
a
7
a
8
28
，则该数列前10项和
S
10
等于（
A．64 B．100 C．110 D．120
8.记等差数列
{a
1
n}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1

2
，
S
4
20
，则
S
6

（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
9.等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
x
若
a
2
1,a
3
3,则S
4
＝
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10.设等差数列
{ a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7< br>a
8
a
9

（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
11.已知等差数列
{a
n
}
中，
a
7
a
9
16,a
4
1,则a
12
的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
6.在等差数列

a
n

中，
a
5
a
13
40
，则
a
8
a
9
a
10

（ ）。
A．72 B．60 C．48 D．36
1、等差数列

a
n

中，
S
10
120
，那么
a
1
a
10

（ ）
A.
12
B.
24
C.
36
D.
48

2、已知等差数列

a
n

，a
n
2n19
，那么这个数列的前
n
项和
s
n
（ ）
A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数
C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数
3、已知 等差数列

a
1
n

的公差
d
2
，
a
2
a
4
a
100
80
， 那么
S
100


A．80 B．120 C．135 D．160．
）

4、已知等差数列

a
n

中，
a
2
a
5
a
9
 a
12
60
，那么
S
13


A．390 B．195 C．180 D．120
5、从前
180
个正偶 数的和中减去前
180
个正奇数的和，其差为（ ）
A.
0
B.
90
C.
180
D.
360

6、等差数列
a
n

的前
m
项的和为
30
，前
2m
项的和为
100
，则它的前
3m
项的和为( )
A.
130
B.
170
C.
210
D.
260

7、在等差数列
< br>a
n

中，
a
2
6
，
a
8
6
，若数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，则（ ）
A.
S
4
S
5
B.
S
4
S
5
C.
S
6
S
5
D.
S
6
S
5

8、一个等差数列前
3
项 和为
34
，后
3
项和为
146
，所有项和为
390
，则这个数列的项数为（ ）
A.
13
B.
12
C.
11
D.
10

9、已知某数列前
n
项之和
n
3
为，且前
n
个偶数项的和为
n
2
(4n3)
，则前
n
个奇数项的和 为（ ）
A．
3n
2
(n1)
B．
n
2
(4n3)
C．
3n
2
D．
1
2
n
3

10若一个凸多边形的内角度数成等 差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（
A．6 B．
8
C．10 D．12
1．一个等差数列的第6项等于13，前5项之和等于20，那么 （ ）
（A）它的首项是-2，公差是3 （B）它的首项是2，公差是-3
（C）它的首项是-3，公差是2 （D）它的首项是3，公差是-2
2．在等差数列{ a
n
}中，已知前15项之和S
15
=60，那么a
8
= （ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．在等差数 列{a
n
}中，若a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=250，则a
2
+a
8
的值等 于 （ ）
（A）50 （B）100 （C0150 （D）200
4． 设{a
n
}是公差为d=-
1
2
的等差数列，如果a
1+a
4
+a
7
…+a
58
=50，那么a
3< br>+a
6
+a
9
+…+a
60
=（ ） （A）30
40 （C）60 （D）70
5．等差数列{an
}中，a
1
+a
4
+a
7
=36，a
2
+a
5
+a
8
=33，则a
3
+a
6
+a
9
的值为 （ ）
（A）21 （B）24 （C）27 （D）30
6．一个数列的前n项之和为S
2
n
=3n +2n,那么它的第n(n≥２)项为 （ ）
（Ａ）３ｎ
２
（Ｂ）３ｎ
２
＋３ｎ （Ｃ）６ｎ＋１ （Ｄ）６ｎ－１
7．首项是
1
25
，第１０项为开始比１大的项，则此等差数列的公差ｄ的范围是（ ）
（Ａ）ｄ＞
8
75
（Ｂ）ｄ＜
3
25
（Ｃ）8
75
＜ｄ＜
383
25
（Ｄ）
75
＜ｄ≤
25

8. 设｛a
*
n
｝（n∈N）是等差数列，S
n
是其前n项的和，且S
5
＜S
6< br>，S
6
＝S
7
＞S
8
，
则下列结论错误
．．
的是（ ）
A. d＜0 B.a
7
＝0 C.S
9
＞S
5
D.S
6
与S
7
均为S
n
的最大值
9．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有（ ） 、
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
10.设数列{a
n
}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它 的首项是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
11.已知等差数列｛a
n
｝满足a
1
+a
2+a
3
+…＋a
101
＝0，则有（ ）
A. a
1
＋a
101
＞0 B. a
2
＋a
100
＜0 C. a
3
＋a
99
＝0 D.a
51
＝51
）
B）

（

12．在等比数列
{a
n
}
中，
a
9
a
10
a,(a0)a
19
a
20
b,
则
a
99
a
100

（ ）
b
9
b
9
b
10
b
10
A．
8
B．
9
C．
9
D．
()

aa
a
a
13.若lg2、lg(2-1)、lg (2+3)成等差数列,则x的值等于( )
A. 0 B. log
2
5 C. 32 D. 0或32
14.若数列 {a
n
},已知a
1
=2,a
n+1
=a
n
+2n(n≥1),则a
100
的值为( )
A. 9900 B. 9902 C. 9904 D. 10100
1、若等差数列{a
n
}的前三项和
S
3
9
且
a
1< br>1
，则
a
2
等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2、等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
若
a
2
1,a
3
3,则S
4
＝
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3、等差数列

a
n

的前n 项和为
S
n
，若
S
2
2,S
4
10, 则S
6
等于
（ ）
A．12 B．18 C．24 D．42
4、若等差数列共有
2n1
项
nNxx

*

，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，
则项数为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
5、设

a
n

是公差为正数的等差数列，若
a
1
a
2
a
3
15,a
1
a
2
a
3
80
，，
则
a
11
a
12
a
13

（ ）
A． 120 B． 105 C． 90 D．75
1
，且
S
100
1 45
，则
a
2
a
4
a
6
a100

（

）
2
145
A. 60 B. 85 C. D. 其它值
2
6、若数列
a
n

为等差数列，公差为
7、一个五边形的内角度数成等差数列，且最 小角是
46
，则最大角是（ ）
A.
108
B.
139
C.
144
D.
170

8、等差数列

a
n

共有3m
项，若前
2m
项的和为200，前
3m
项的和为225，则 中间
m
项的和为 （ ）
A. 50 B. 75 C. 100 D. 125
二、填空题
1、等差数列

a
n

中，若
a
6
a
3
a
8< br>，则
s
9

.
2
2、等 差数列

a
n

中，若
S
n
3n2n
，则公差
d
.




3、在小于
100
的正整数中，被
3
除余
2
的数 的和是
4、已知等差数列
{a
n
}
的公差是正 整数，且a
3
a
7
12,a
4
a
6
4
，则前10项的和S
10
=
5、一个等差数列共有 10项，其中奇数项的和为
25
，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是
2

16．已知等差数列{a
n
}的公差是正数,则a
2
·a
6
=-12,a
3
+a
5
=-4,则前20 项的和S
20
的值是_____.
17. 设数列｛a
n
｝的通项 为a
n
＝2n－7（n∈N），则|a
1
|＋|a
2
|＋… ＋|a
15
|＝ ．
18．等差数列{a
n
}中,a
3
+a
7
+2a
15
=40,则S
19=
___________.
19.有两个等差数列{
a
n
}、{
b
n
},若
*
a
13
a
1

a2

a
n
3n1

,则=
b
13
b
1

b
2

b
n
2n3
20．等差数列{a
n
}有2n+1项，其中奇数项的和 是24,偶数项的和是18，那么这个数列的项数是_______
24已知等差数列
{a
n
}
的公差为2，若
a
1
, a
3
,a
4
成等比数列，则
a
2
等于______ ______
12.已知等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
12
21
，则a
2
a
5
a
8
a
11


13. 设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
72
,则
a2
a
4
a
9
=
14.设 等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
a
5
5a
3
则
．
S
9


S
5
15.等差 数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且
6S
5
5S
3
5,
则
a
4


已知等差数列
{a
n}
的公差是正整数，且a
3
a
7
12,a
4a
6
4
，则前10项的和S
10
=
16.
17. 已知等差数列

a
n

的前n项之 和记为S
n
，S
10
=10 ，S
30
=70，则S
40
等于 。
14． 等差数列
{a
n
}
中,
3(a
3
a
5< br>)2(a
7
a
10
a
13
)24
, 则此数列前13项和是__________．
15．已知等差数列{a
n
}的公差d =
1
，且前100项和S
100
= 145，那么a
1
+ a
3
+ a
5
+…+a
99
= . 2
16．等差数列{a
n
}中，若a
3
+a
5
=a
7
－a
3
=24,则a
2
=______．
17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等 于__ _．
18．设等差数列{a
n
}共有3n项，它的前2n项和为100， 后2n项和是200，则该数列的中间n项和等于 ．
19．已知f(x+1)=x－4,等差 数列{a
n
}中,a
1
=f(x－1), a
2
=－
值．









2
3
,a
3
=f(x)．(1)求 x值；（2）求a
2
+a
5
+a
8
+…+a
26< br>的
2
3a
n
， (Ⅰ)试求a
1
的值，使得数列{a
n
}是一个常数数列；
2(Ⅱ)试求a
1
的取值范围,使得a
n+1
>a
n
对任 何自然数n都成立；
20．已知数列{a
n
}中，a
1
>0, 且a
n+1
=
(Ⅲ)若a
1
= 2，设b
n
= | a
n+1
－a
n
| (n = 1，2，3，…)，并以S
n< br>表示数列{b
n
}的前n项的和，求证：S
n
<







1
．
2

21. 已知一个等差数列的前 10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前
n
项和的公式




8.已知数列









18、设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
12
，
S
12
>
0
，
S
13
<
0
，
①求公差
d
的取值范围；②
S
1
,S
2
,L,S
12
中哪一个值最大？并说明理由.








19、设等差数列
{a
n
}
的前ｎ项的和为S
n
,且S
4
=－62, S
6
=－75,求： （1）
{a
n
}
的通项公式a
n
及前ｎ项
的和S
n
；（2）|a
1
|+|a
2
|+|a
3
|+……+|a
14
|.









20.已知等差数列{
a
n
}中，
a
3
a
7
16,a
4
a
6
0,
求{
a
n
}前n项和
s
n
.










1

1113
成等差数列，且，求
a
8
的值。 < br>a,a

35
67
a2

n
< /p>

12、在等差数列

a
n

中，已知
a
1
20
，前
n
项和为
S
n
，且
S
10
S
15
，求当
n
取何值时
S
n
有最大值，并求出
它的最大值。