关说-阳光明媚的意思

等差数列与等比数列
基础知识

1．数列的概念
定义1. 按照某一法则，给定了第1个数
个确定的数，于是得到一列有次序的数
，第2个数，………，对于正整数有一
我们称它为数列，用符号
称为数列的一般项，又称为数列
表
示。数列中的每项称为数列的项，第项的通项。
定义2.当一个数列的项数 为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为
无限时，则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即
这样的数列称 为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即
这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即
正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称 为是无界数列。
定义5.如果在数列
称这个关系为数列

2．等差数列
定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于 同一个常数，
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母
等差数列具有以下几种性质：
（1）等差数列的通项公式：或；
表示。
中，项数与
的通项公式。
具有如下的函数关系：，则
，其中是某一个
，
，
（2）等差数列的前项和公式：或；
（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；
（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；

（5）设
（6）设
（7）设
是等差数列，则
，
，
是等差数列，则
是等差数列，且
（是常数）是公差为
（
，则
的等差数列；
是常数）也是等差数列；
也是等差数列（即等差数列中等距
离分离出的子数列仍为等差数列）；
（8）若
（9）设
则有；
的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与 偶
，则
，
；特别地，当
，
时，；
，
（10）对于项数为
数项的和，则，；
（11）对于项数为
（12）
的等差数列，有
；
，公差为
；
（即
，；
是等差数列的前项和，则
（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列
①．
②．
差数列，公差；
，前项和为，则
为等差数列，公差为
）为等
③．

（即）为等差数列，公差为.
3．等比数列
定义7.一般地，如果有一个数 列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个
常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫 做公比；公比通常用字母表示（），
即。

等比数列具有以下性质：
（1）等比数列的通项公式：或；
（2）等比数列的前项和公式：
（3）等比中项：；
；
（4）无穷递缩等 比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当
无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记 为
；
（5）设
（6）设
（7）设
是等比数列，则
，
（是常数），
，即
仍成等比数列；
是等比数列，则也是等比数列；
则也 是等比数列（即等比数是等比数列，是等差数列，且
列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
（8）设
（9）若
（10）设
则有；
，公比为
；
（即
；
）为等
，前项和为，则
是正项等比数列，则
，则
，
是等差数列；
；特别地，当
，
时，；
，
（11）其他衍生等比数列：若已知等比 数列
①．
②．
比数列，公比为




为等比数列，公比为

典例分析
例1．设等差数列的 首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为97
2
，则
这样的数列有__ ___________个。
解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即
，又因
；
。又因为
为
若
这时有
若

例2 ．设
，则
且
，由于
均为整数，故
为正数，则
或
，这 时有
，所以只可能取
，即
；
或。
，故，
，A是S的三元 子集，满足：A中元素可以组成等差数列，那
么这样的三元子集有___________个。
解：若成等差数列，则，从而首未两项奇偶相同，且首未两项
成等差数列
}。
两个子集。
种不同的取法；
种不同的取法；
一旦确定，那么等差数列也 就随之确定了。但是值得注意的是，虽然
时，也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合A={
与 将S按数的奇偶性分成
从
从
中取出两个数作为等差数列的首未 两项，共有
中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有
+种不同的取法。 所以共有

例3．设，A为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S中，
且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这
里只有两项的 数列也看作是等差数列）（1991年全国高中数学联赛二试第一题）

分析：可先对特殊的n（如n=1,2,3）通过列举法求出A的个数，然后总结规律，找出的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差
解法一：设元素集
，
时，讨论A的个数。
中满足条件的A有个，则
，……
如此下去，可以发现
事实上，比
。
的A增加的公差为的1个，
公差为的1个，……，公差为为偶数)或为 奇数）的增加1个，共增加
个。
由的递推公式可得
，则
个。
，分为两种情况讨论： 解法二：设A的公差为
（1）当为偶数时，则当
公差为d的A有
时，公差为的A有个，当时，
个，故当n为偶数时，这种A共有
个；
（2）当为奇数时，则当
时，公差为d的A有
时，公差为的A有个，当< br>个，故当n为奇数时，这种A共有
个；
综合（1）（2）得，所求的A共有


个。

例4．将数列依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，7），（9，
11，13），（ 15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，
41），（43）……，则第100个括号内的各数之和是__________________。
解：每循环一次记为一组，则第100个括号是第25组的第4个括号。而每组中第四个
括号内的各数之和构成以72为首项，以80为公差的等差数列，故
所求。

例5．设数列
（），又
是等差数列，是等比数列，且
，试求数列
，，
为
的首项与公差。（2000
年全国高中数学联赛一试第13题）
分析；题中 两个基本量中的首项和公差是所需求的。利用，，成
等比数列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极 限存在的条件。
解：设所求的首项为
等比数列，故
，公差为
，即，解得
。因为
，即
，而，故
，故；又因为成
，化简得：
；
若，则；若，则
；
但是存在，可知，于是不合题意，
从而只有
解得
故数列

。于是由
，所以
的首项与公差分别为和
，
。

例6．若复数列
（1）将数列
的通项公式为
的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的
点都落在圆
（2）将数列
及所有项的和。
的内部；
中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项
解：（1）设数列的各项在复平面上对应的点的坐标为，则
，。
要使点落在圆的内部，
只需，得
即，故从第6项起，以后每一项都落在圆的内部。
（2）要使数列中的项为实数，则，得，
因此数列的通项公式为，
所以，且
故数列是首项为1，公比为的无穷递缩数列，从而数列的所有项的和为：
。

例7．已知整数，是1，2，3，……，n的一个排列，求证 ：
不可能构成一个等差数列，也不可能构成一个等比数列。（2006年山东
省第二届夏令营试 题）
证明：若构成一个等差数列，设其公差为
，所以
而
所以
于是当

所以
当
所以
矛盾！
从而
下证
若
有
而（
当
当
当
以
时，有
或4；
当

，则，
。
，所以 ，因为
。
时，则，于是

，矛盾！
时，则， 又因为
，所以
所以，从而
，从而
。
，
不可能构成一个等差数列。
不可能构成一个等比数列。
构成了一个等比数列，考虑最后三项。
，所以
，
时，显然
时，显然
，知
，所以


；
；
，所以即，所
；
。
时，只能为1，6，6或2，6，3，但这两个都不是等比数列；

当
矛盾！
所以

时，，所以故；又因为，所以
也不可能构成一个等比数列。
例8．正整数序列按 以下方式构成：为某个正数，如果能被5整除，则
；如果不能被5整除，，则。证明：数列{}自某一项 起，以
后各项都不是5的倍数。（2006年山东省第二届夏令营试题）
证明：首先证明中一定在存在相邻的两项，它们都不是5的倍数。
中任意的两项都是5的倍数。 （反证）若不然，数列
若，则；
若5
所以
从而
设
有
因为
，则，从而；
矛盾！（因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数）
中一定在相在相邻的两项，它们都不是5的倍数。
都不是5的倍数，则，其中

，所以
只能取，这说明
，所以
不是5的倍数。
只能取，即
，
即从

起以后每一项都不是5的倍数。
例9．将与105互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三1000项。
解：设


，，，

则；
；
；
；
；
；

在1到105之间与105互质的数有


－
]+[
，所以。
[
+

+]
=105－（35+21+15）+（7+3+5）－1=48
，则 设将与105互质的数从小到大排列起来为数列

，，，


这是一个以48为周期的周数列，因为
所以
而由于

所以

；
，
，；
=。
，，，，，，

例10．数列的定义如下：，且当时，有
现已知，求正整数.（2006年山东省第二届夏令营试题）
，并由得当n为偶数时，，当n为奇数 解：由题设条件知
时，；
由于，知n为偶数；
所以
偶数；
知为奇数；所以知为

数；
知为奇数；知为偶

偶数；
知为奇数；知为

奇数；
知为偶数；知为

奇数；
知为偶数；知为


知为偶数；

所以，所以。