麦片粥-落幕烟花

专题六 数列
第十五讲 等差数列
2019年
1.

（
2019
全国Ⅰ文
18
）记
S< br>n
为等差数列

a
n

的前
n
项和 ，已知
S
9
－a
5
．

（
1
） 若
a
3
4
，求

a
n

的通项 公式；

（
2
）若
a
1
0
，求使得S
n
a
n
的
n
的取值范围．

2. （2019全国Ⅲ文14）记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若
a
3
5,a
7
13
，则
S
10
< br>___________.
3.（2019天津文18）设

a
n< br>
是等差数列，

b
n

是等比数列，公比大于0
，已知
a
1
b
1
3
，
b
2
a
3
，
b
3
4a
2
3
.
（Ⅰ）求
a
n

和

b
n

的通项公式； < br>
1,

（Ⅱ）设数列

c
n

满 足
c
n


b

n

2
n为奇数,
n为偶数,
求
a
1
c
1
a
2
c
2
a
2n
c
2n

nN

.
*
*
4.（2019江苏8）已知数列
{a
n
}(nN)
是等差数列，
S
n
是其前n项和.若
a
2
a
5
a
8
0,S
9
27
，则
S
8
的值是 .



2010-2018年
一、选择题
1．（2017浙江）已知等差数列

a
n

的公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，则“d0
”
是“
S
4
+S
6
2S
5
”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2015新课标2）设
S
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
a
1
a
3
a
53
，则
S
5


A．5 B．7 C．9 D．1
3．（2015新课标1）已知
{a
n
}
是公差为1的等差数列，
S
n
为
{a
n
}的前
n
项和，若
S
8
4S
4
，
则< br>a
10


A．
1719
B． C．
10
D．
12

22
aa
4 ．（2014辽宁）设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，若数 列
{2
1n
}
为递减数列，则
A．
d0
B．
d0
C．
a
1
d0
D．
a
1
d0

5．（2014福建）等差数列
{an
}
的前
n
项和
S
n
，若
a
1
2,S
3
12
，则
a
6


A．8 B．10 C．12 D．14
6．（2014重庆）在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
2,a
3
a
5
10
，则
a
7
< br>
A．
5
B．
8
C．
10
D．
14

7．（2013新课标1）设等 差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，
S< br>m1
＝－2，
S
m
＝0，
S
m1
＝3， 则
m
＝
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2013辽宁）下面是关于公差
d0
的等差数列
{a
n
}< br>的四个命题：

p
2
:数列

na< br>n

是递增数列；

p
1
:数列

a
n

是递增数列；

a


p
4
:数列

a
n
3nd

是递增数列 ；

p
3
:数列

n

是递增数列；
n

其中的真命题为
A．
p
1
,p
2
B．
p
3
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
1
,p
4

9．（2012福建）等差数列

a
n

中，
a
1
a
5
10
,
a
4
7
，则数列

a
n
< br>的公差为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2012辽宁）在等差数列

a
n

中， 已知
a
4
+a
8
=16
，则该数列前11项和
S< br>11
=

A．58 B．88 C．143 D．176
11．（2011江西）设
{a
n
}
为等差数列，公差
d2
,
s
n
为其前n项和，若
S
10
S
11
，则
a
1


A．18 B．20 C．22 D．24

n12．（2011安徽）若数列
a
n

的通项公式是
a
n
(1)(3n2),则a
1
a
2


 a
10


A．15 B．12 C．

D．


13．（2011天津）已 知

a
n

为等差数列，其公差为

2，且
a
7
是
a
3
与
a
9
的等比中项，
S
n
为

a
n

的前
n
项和 ，
nN
*
，则
S
10
的值为
A．－110 B．－90 C．90 D．110
2
14．（2010安徽）设 数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
 n
，则
a
8
的值为
A．15 B．16 C．49 D．64
二、填空题
15．（2015陕西）中位数为10 10的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项
为_____．
16．（2 014北京）若等差数列

a
n

满足
a
7
a
8
a
9
0
，
a
7
a
10
0
，则当
n
____时，

a
n

的前
n
项和最大．
17．（2 014江西）在等差数列

a
n

中，
a
1
7
，公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，当 且仅当
n8
时
S
n
取最大值，则
d
的取值范围_ ________．
18．（2013新课标2）等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，已知
S
10
0
，
S
15
25
，则
nS
n
的最小值为____．
19
．（
2013
广东）在等差数列
< br>a
n

中
,
已知
a
3
a
8
10
,
则
3a
5
a
7

_ ____
．

20．（2012北京）已知
{a
n
}
为等差数列，
S
n
为其前
n
项和．若
a
1

1
，
S
2
a
3
，则
a
2< br>
；
2
S
n
= ．
21．（2 012江西）设数列
{a
n
},{b
n
}
都是等差数列，若
a
1
b
1
7
，
a
3
b3
21
，
则
a
5
b
5

____．
2
22．（2012广东）已知递增的等差数列
{a
n
}
满足
a
1
1
，
a
3
a
2
4
，则
a
n
=____．
23．（2011广东）等差数列
{a
n
}
前9项的和等于前4项的和．若
a
1
1
，
a
k
a
4
0
，则
k
=_________．

三、解答题
24．（2018全国卷Ⅱ）记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，已知
a
1
7
，
S
3
15
．
(1)求
{a
n
}
的通项公式；
(2)求
S
n
，并求
S
n
的最小值．
2 5．（2018北京）设
{a
n
}
是等差数列，且
a
1ln2,a
2
a
3
5ln2
．
(1)求
{a
n
}
的通项公式；
(2)求
e1
e
2

aa
e
a
n
．
*
26．（2017天津）已知
{a
n
}
为等差数列，前n项和为
S
n
(nN)
，
{b
n
}
是首项为2的 等比
数列，且公比大于0，
b
2
b
3
12
，< br>b
3
a
4
2a
1
，
S
1111b
4
．
（Ⅰ）求
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
{a
2n
b
n
}
的前n项和
(nN)
．
27．（2017江苏）对 于给定的正整数
k
，若数列
{a
n
}
满足
*a
nk
a
nk1
a
n1
an1
a
nk1
a
nk
2ka
n

对任意正整数
n
(nk)
总成立，则称数列
{a
n
}
是“
P(k)
数列”．
（1）证明：等差数列
{a
n
}
是“
P(3)
数列”；
（2）若数列
{a< br>n
}
既是“
P(2)
数列”，又是“
P(3)
数列” ，证明：
{a
n
}
是等差数列．
28．（2016年北京）已知< br>{a
n
}
是等差数列，
{b
n
}
是等差数列 ，且
b
2
3
，
b
3
9
，
a< br>1
b
1
，
a
14
b
4
．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
cn
a
n
b
n
，求数列
{c
n
}< br>的前
n
项和．
2
29．（2016年山东）已知数列
a
n

的前n项和
S
n
3n8n
，

b
n

是等差数列，且
a
n
b
n< br>b
n1
.
（I）求数列

b
n

的通项公式；

(a
n
1)
n1
（II）令
c
n

.求数列

c
n

的前n项和T
n
．
n
(b
n
2)
30．（2015福 建）等差数列

a
n

中，
a
2
4，
a
4
a
7
15
．
（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设< br>b
n
2
a
n
2
n
，求
b1
b
2
b
3
b
10
的值． < br>31．（2015山东）已知数列
{a
n
}
是首项为正数的等差数列， 数列
{
1
}
的前
n
项和为
a
n
 a
n1
n
．
2n1
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（ Ⅱ）设
b
n
(a
n
1)2
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
32．（2015北京）已知等差数列
{a
n
}
满足
a
1< br>a
2
10
，
a
4
a
3
2< br>．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设等比 数列
{b
n
}
满足
b
2
a
3
，
b
3
a
7
．问：
b
6
与数列
{ a
n
}
的第几项相等？
33．（2014新课标1）已知

a
n

是递增的等差数列，
a
2
，
a
4
是方程
x5x60
的根．
2
a
(Ⅰ)求

a
n

的通项公式； < br>（Ⅱ）求数列


a
n

的前
n
项 和．
n


2

34．(2014新课标1)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，
a< br>1
=1，
a
n
0
，
a
n
a
n1


S
n
1
，其
中

为常数．
(Ⅰ)证明：
a
n2
a
n


； < br>（Ⅱ）是否存在

，使得{
a
n
}为等差数列？并说明理由．
a
1
1
，
S
2
S
3
36< br> 35．（2014浙江）已知等差数列
{a
n
}
的公差
d 0
，设
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，（Ⅰ）求
d
及
S
n
；
（Ⅱ）求
m,k
（
m,kN
*
）的值，使得
a
m
a
m1< br>a
m2
a
mk
65
．

36．（2013新课标1）已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
3
0
，
S5
5
．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
{
1
}
的前
n
项和．
a< br>2n1
a
2n1
37．（2013福建）已知等差数列
{a
n
}
的公差
d1
，前
n
项和为
S
n< br>．
（Ⅰ）若
1,a
1
,a
3
成等比数列，求
a
1
；
（Ⅱ）若
S
5
a
1
a
9
，求
a
1
的取值范围．
a
38．（2013新课标2 ）已知等差数列
{a
n
}
的公差不为零，
a
1
2 5
，且
a
1
,a

11
,
13
成 等比数列．
（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）求a
1
a
4
+a
7
a
3n2．
39．（2013山东）设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
4S
2
，
a
2n
2a
n
1

（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设数 列

b
n

的前
n
项和
T
n,且
T
n

数列

c
n

的 前
n
项和
R
n
．
40．（2011福建）已知等差数列< br>
a
n

中，
a
1
=1，
a
3
3
．
（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）若数 列

a
n

的前
k
项和
S
k35
，求
k
的值．
41．（2010浙江）设
a
1
，
d
为实数，首项为
a
1
，公差为
d
的 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n，
满足
S
5
S
6
+15=0．
（Ⅰ）若S
5
=5，求
S
6
及
a
1
；
（Ⅱ）求
d
的取值范围．
a
n
1
*
c b
nN
（λ为常数），令（）．求


n2n
n
2