重阳节风俗有哪些-四年级上册语文第一单元作文

2019中考三角形的边与角真题解析
一、选择题
如图，AB 是⊙O 的直径，M、N 是
1.
（2019•武汉）（异于 A.B）上两点，C 是 上一动
点，
∠ACB 的角平分线交⊙O 于点 D，∠BAC 的平分线交 CD 于点 E．当点 C 从点 M 运动到
点 N 时，则 C.E 两点的运动路径长的比是（ ）

A.
2
B． C． D．
5

2
，
【分析】如图，连接 EB．设 OA＝r．易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上，运动轨
迹是
点 C 的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝
2α，利用弧
长公式计算即可解决问题．
解：如图，连接 EB．设 OA＝r．

∵AB 是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵E 是△ACB 的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴ ＝ ，

∴AD＝DB＝ r，
∴∠ADB＝90°，

易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上，运动轨迹是
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
，点 C 的运动轨迹是，
2a

r
180
∴ ＝ ＝
2
．

a

2r
180

【答案】A

【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，
正确寻找点的 运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
2.（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A.B.C.D.E.F、G在小正方
形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ）

A．点 D B．点 E C．点 F D．点G
【分析】根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．
解：根据题意可知，直线 CD 经过△ABC 的 AB 边上的中线，直线 AD 经过△ABC 的
BC 边上的中线，
∴点 D 是△ABC 重心．
【答案】A
【点评】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．
3.（2019•衡阳）下列命题是假命题的是（ ）

A．n 边形（n≥3）的外角和是 360°

B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等

【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．

解：A.n 边形（n≥3）的外角和是 360°，是真命题；

B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题； C.相等的角不一定是
对顶角，是假命题；
D.矩形的对角线互相平分且相等，是真命题。
【答案】C

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的 命题称为真命题，错误
的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
4.（2019•浙江金华•3 分）若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可
以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 8
【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出 a 的取
值范围，从而可得答案.
解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，
∴a 的取值范围为：2＜a＜8，
∴a 的所有可能取值为：3，4，5，6，7. 故答案为：C.
【答案】C
5.（2019▪ 毕节）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）

A．2cm，3cm，4cm
C．2cm，2cm，6cm
B．3cm，6cm，76cm

D．5cm，6cm，7cm

【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．

解：A.2+3＞4，能组成三角形；
B.3+6＞7，能组成三角形；
C.2+2＜6，不能组成三角形；
D.5+6＞7，能够组成三角形．
【答案】C
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加， 如果大
于最长那条就能够组成三角形．
6. （2019•宁波）已知直线 m∥n，将一块含 45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其
中
斜边 BC 与直线 n 交于点 D．若∠1＝25°，则∠2 的度数为（ ）

A．60° B．65° C．70° D．75°

【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45° ＝70°，再根据平行线的性质可知
∠2＝∠AED＝70°．
解：设 AB 与直线 n 交于点 E， 则 ∠AED＝∠1+∠B＝25°+45° ＝70°． 又直线 m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
【答案】C
【点评】本题主要考查了平行线的性质以 及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三
角形内外角转化角.
7. （2019，巴中）下列命题是真命题的是（ ）

A. 对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四边相等的平行四边形是正方形
【分析】根据矩形的判定方法对 A.B 矩形判断；根据正方形的判定方法对 C.D 矩形判断．
【解答】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项错误； C.对角线互相垂直的矩形是正方形，
所以 C 选项正确； D.四边相等的菱形是正方形，所以 D 选项错误．
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内 容而言．任何一个命题非
真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假 命题，只需
举出一个反例即可．
8.（2019，枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30°角的三角板的一条直角边和
含 45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α 的度数是（ ）

A．45° B．60° C．75° D．85°

【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB 可得
答案．
解：如图，

∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，

∴∠CGF＝∠DGB＝45°，

则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°
【答案】C
【点评】本题主要 考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角
形外角的性质．

9.（2019•绍兴）如图，墙上钉着三根木条 a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条 a，
b 所在直线所夹的锐角是（ ）

A．5° B．10° C．30° D．70°
【分析】根据对顶角相等求出∠3，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
解：∵∠3＝∠2＝100°，
∴木条 a，b 所在直线所夹的锐角＝180°﹣100°﹣70°＝10°，

【答案】B
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于 180°
是解题的关键．

“
三等分角
”
大约是在公元前五世 纪由古希腊人提出来的。10. （
2019•
衢州）借助如图所示的
“
三< br>等分角仪
”
能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒
OA
，
OB
组成， 两根棒在
O
点相连并可绕
O
转动，
C
点固定，
OC=CD=DE
，点
D
，
E
可在槽中滑动，若∠
BDE=75°
，
则∠
CDE
的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC， ∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外
角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠D EC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，
解之即可的求得x 值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
解：∵
OC=CD=DE
，
∴∠
O=
∠
ODC< br>，∠
DCE=
∠
DEC
， 设∠
O=
∠
ODC=x
，
∴∠
DCE=
∠
DEC=2x
，

-
∠
DCE-
∠
DEC=180°-4x
， ∴∠
CDE=180°
∵∠
BDE=75°
，
-4x+75°=180°
， ∴∠
ODC+
∠
CDE+
∠
BDE=180°
， 即
x+180°
解得：
x=25°
，
-4x=80°.
∠
CDE=180°
【答案】
D

2
，则点
B
11.(2019 天水)如图，等边△
OAB
的边长为

的坐标为（ ）
A. （1,1） B. （1，
3
）
C. （
3
，1） D.（
3
，
3
）


【分析】过
点
B
作
BH
⊥
AO
于
H
点，∵△
OAB
是等
边
三角形，所以可求出
OH
和
BH
长
．
解：
过
点
B
作
BH
⊥
AO
于
H
点，
∵△
OAB
是等
边
三角形，
∴OH=1，BH= ．
）．
∴
点 B 的坐
标为
（1，
【答案】
B

【点评】本
题
主要考
查
了等
边
三角形的性
质
，以坐
标
系
为
背景，综
合考
查
了勾股定理和坐

标
与
图
形的性
质
．
12.（2019•德州市）下列命题是真命题的是（ ）

A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦
C. 对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等

【分析】A.根据全等三角形的判定方法，判断即可．B.根据垂径定理的推理对B 进行判断；
C.根据平行四边形的判定进行判断； D.根据平行线的判定进行判断．
解：A.由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故 A 错误， 是假命
题；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故 B 错误，是假命题；
一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题.
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设
和结论两部分组 成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性
是用推理证实的，这样的真命题 叫做定理．
13. (2019 天水) 一把直尺和一块三角板 ABC（含 30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三
角板的两直角边分别交于点 D 和点 E，另一边与三角板的两直角边分别交于点 F 和点 A，且
∠CED=50°，那么∠BFA 的大小为（ ）

A.145° B. 140° C. 135° D. 130°
【分析】先利用三角形外角性
质
得到∠
FDE=
∠
C+
∠
CED=140°
，然后根据平行
线
的性
质
得到∠
BFA
的度数．
解：∠
FDE=
∠
C+
∠
CED=90°+50°=140 °
，
∵
DE
∥
AF
，
∴∠
BFA=
∠
FDE=140°
．
【答案】
B

【点评】本
题
考
查< br>了平行
线
的性
质
：两直
线
平行，同位角相等；两直< br>线
平行，同旁内角
互
补
；两直
线
平行，内
错
角相等．
14.（2019•湘西州）下列命题是真命题的是（ ）

A. 同旁内角相等，两直线平行

B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．相等的两个角是对顶角
D．圆内接四边形对角相等

【分析】由平行线的判定方法得出 A 是假命题；由平行四边形的判定定理得出 B 是真命题；
由对顶角的定义得出 C 是假命题；由圆内接四边形的性质得出 D 是假命题；即可得出答案．
解：A.同旁内角相等，两直线平行；假命题；
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；

C.相等的两个角是对顶角；假命题；
D. 圆内接四边形对角相等；假命题；
【答案】B
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定 义、
圆内接四边形的性质；要熟练掌握．

二、填空题
1. （2019•泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 （填“真命
题”或“假命题”． ）
【分析】根据三角形内角和定理判断即可．
解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题； 故答案为：真命题
【点评】本题考查 了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题
称为假命题；经过推理论证 的真命题称为定理．
2.（2019•十堰）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若
OE＝3，则菱形的周长为 ．

【分析】根据菱形的对角线互相平分可得 BO＝DO，然后求出 OE 是△BCD 的中位线， 再
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 CD，然后根据菱形的周长公式
计 算即可得解．
解：∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，

∵点 E 是 BC 的中点，

∴OE 是△BCD 的中位线，

∴CD＝2OE＝2×3＝6，

∴菱形 ABCD 的周长＝4×6＝24；
【答案】24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角 形中位线定
理是解题的关键．
O
处下挂一铅锤，3.（
2019•
金华）如图，在量角器的圆心 制作了一个简易测倾仪。量角器的O
AB
对准楼顶时，
50°
刻度线 铅垂线对应的读数是 ，则此时观察楼顶的仰角度数是 ．
【分析】根据题意可得∠AOC=50°，由三角形内角和定理得∠OAC=40°，∠OAC 即为观
察楼顶的仰角度数.
如图，

依题意可得：
∠AOC=50°
，
∴∠OAC=40°
，
.
即观察楼顶的仰角度数为
40°

【答案】
40°

三、解答题
1.（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们 把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边
形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线
上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
命题）
命题）
（2）如图 1，在四边形 ABCD 和四边形 A
1
B
1
C
1
D
1
中，∠ABC＝∠A
1
B
1
C
1
，∠BCD＝∠
B
1
C
1
D
1
， ＝ ＝ ．求证：四边形 ABCD 与四边形 A
1
B
1
C
1
D
1
相似．
（3）如图 2，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 分别交 AD，
BC 于点 E，F．记四边形 ABFE 的面积为 S
1
，四边形 EFCD 的面积为 S
2
，若四边形 ABFE 与
四边形 EFCD 相似，求









【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．

（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．

（3）四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似，证明相似比是 1 即可解决问题，即证明 DE＝AE

即可．
（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真．

的值．
（2）证明：如图 1 中，连接 BD，B
1
D
1
．

∵∠BCD＝∠B
1
C
1
D
1
，且
∴△BCD∽△B
1
C
1
D
1
，
＝ ，
∴∠CDB＝∠C
1
D
1
B
1
，∠C
1< br>B
1
D
1
＝∠CBD，
∵
ABBCCD
＝＝
A
1
B
1
B
1
C
1
C
1
D
1
∴
BDAB
＝
B
1
D
1
A
1
B
1
∵∠ABC＝∠A
1
B
1
C
1
，
∴∠ABD＝∠A
1
B
1
D
1
，
∴△ABD∽△A
1
B
1
D
1
，
∴
∴
＝
＝
，∠A＝∠A
1
，∠ADB＝∠A
1
D
1
B
1
，
＝ ＝ ，∠ADC＝∠A
1
D
1
C
1
，∠A＝∠A
1
，
∠ABC＝∠ A
1
B
1
C
1
，∠BCD＝∠B
1
C
1
D
1
，
∴四边形 ABCD 与四边形 A
1
B
1
C
1
D
1
相似．

（3）如图 2 中，



∵四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似．

∴ ＝ ，
∵EF＝OE+OF，
∴ ＝ ，
∵EF∥AB∥CD，
∴ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ +
∴
＝ + ，
＝ ，
∵AD＝DE+AE，
∴ ＝ ，
∴2AE＝DE+AE，

∴AE＝DE，

∴ ＝1．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性
质等知识，解 题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．


2.（2019•武汉）如图，点 A.B.C.D 在一条直线上，CE 与 BF 交于点 G，∠A＝∠1，CE∥DF，
求证：∠E＝∠F．

【分析】根据平行线的性质可 得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性
质即可得出∠E＝∠F．

解：∵CE∥DF，

∴∠ACE＝∠D，

∵∠A＝∠1，

∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，

又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，

∴∠E＝∠F．

【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同 位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．

3.（2019•孝感）如图，点 I 是△ABC 的内心，BI 的延长线与△ABC 的外接圆⊙O 交于点 D，
与 AC 交于点 E，延长 相交于点 F，∠ADF 的平分线交 AF 于点 G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若 DE＝4，BE＝5，求 BI 的长．

【分析】（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF

＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断 DG∥AC；

（2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI 得到 DA＝DI；

（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到 AD＝6，则 DI＝6，然后计算 BD﹣DI 即可．

（1）证明：∵点 I 是△ABC 的内心，

∴∠2＝∠7，

∵DG 平分∠ADF，
∴∠1＝ ∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴DG∥AC；

（2）证明：∵点 I 是△ABC 的内心，

∴∠5＝∠6，

∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6， 即∠4＝∠DAI，

∴DA＝DI；

（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD，

∴△DAE∽△DBA，

∴AD：DB＝DE：DA，即 AD：9＝4：AD，

∴AD＝6，
∴DI＝6，

∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．

【点评】本题 考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；
角形的内心与三角形顶点的连线 平分这个内角．也考查了圆周角定理和三角形的外心.


三