优昙婆罗花-初见嵩山

“边边角”与三角形全等的关系
（适用于8年级人教版第4或5期）

重庆第二外国语学校 周斌

(邮编400065 电话 )

我们知道，通过作图操作和理论推导，判定两个三角形全等主要有“SSS” “SAS” “AAS” “ASA”
“HL”这几种方法。我们也知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等 （不妨简称为“边边角”）
的两个三角形，我们不能判定它们是否全等。那么满足“边边角”的
两个三角形是否会全等呢下面我们就来探究这个问题。

(一)如果“边边角”中的“角”是直角，如图1所示，
在△ABC和△A

B

C

中，BB

90，ABA

B

,ACA

C

,
B
C
B'
C'
A
A'

根据“HL”可以判定这两个直角三角形 全等，即
△ABC≌△A

B

C



（二）如果“边边角”中的“角”是钝角，如图2所示，
在△ABC和△A
< br>B

C

中，BB

＞90，ABA
B

,ACA

C


A
图1
A'
过A作AHBC于H,过A

作A

H

B

C

于H

,在△ABH和△A

B

H

中，ABHA
B

H

，HH

90

ABA

B

, △ABH≌△A

B

H

，AHA

H

,
△AH C≌△A

H

C

,CC

, △ABC≌△A

B

C

H
B
CH'
B'
C'


（三）如果“边边角”中的“角”是锐角，即 在△ABC和△
A

B

C

中，
B B

＜90，ABA

B

,ACA
< br>C


图2
A
A'
1.如图3-1所示，过A作AH⊥BC于H,
A

作
A

H

⊥
B

C

于
H

,
如果AC=AH,
A

C

A

H

,很显然H与C重合，
H

与C

重合

∴△ABC≌△
A

B

C



B
C
（
H
）
B'
C'
（
H'）

图3-1
2.如图3-2所示，已知△ABC,过A作AH⊥BC于H,如 果AH＜AC＜AB,作
B

,在
B

的一边上取A

B

AB
,以A′为圆心，以AC的长为半径画弧与∠B ′的另一边相交，

，由此我们很容易知道△ABH≌△
A

B< br>
H

, 显然有两个交点
C
1
和C
2∴AH=
A

H

，∴△AHC≌△
A
H

C

，∠C=∠
C

,
B< br>H
C
B'
C'
2

A
A'
H'C'
1


，而△ABC与
△A
B

C
2

不全等。 ∴
△ABC≌△A

B

C
1


3.如图3-3所示，已知△ABC, 如果AC=AB,过A作
AH⊥BC于H,作∠
B

=∠B,在∠
B

的一边上取
以AC的长为半径画弧 与∠
B

A

B

=AB,以
A

为圆心，
的另一边相交，显然它们只有一个交点
C

.由此我们< br>得到∠B=∠
B

=∠C=∠
C

,又∵AB=A

B

=AC=
A

C

,∴△ABC≌△
A

B

C

。

4.如图3-4所示，已知△ABC, 如果AC＞AB,过A作AH⊥BC于H,
作∠B

=∠B,在∠
B

的一边上取
A

B

=AB,以
A

为圆心，
以AC的长为半径画弧与∠
B

的另一边相交，显然它们
只有一个 交点
C

.由此我们很容易知道△ABH≌△
A

B

H

,
∴AH=
A

H

，∴△AHC≌△
A

H

C

，∴∠C=∠C

,
∴△ABC≌△
A

B

C

.


B
H
A
B
H
C
A
图3-2
A'
B'
H'
C'

图3-3
A'
C
B'
H'
C'

图3-4
通过以 上的分析我们知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形，即“边边
角”型的两个三角 形是否全等，我们可以根据“边边角”中的“角”大小分两种情况进行判定：
(1) 当“边边角”中的“角”为直角或钝角时，两个三角形一定全等。
．．．．．
(2) 当“边 边角”中的“角”为锐角时，我们不妨把这两个三角形两组对应相等的边称为此锐角的
．．．．
对边和邻边，把其余的一条边称为第三边。这两个三角形是否全等可以根据它们的第三边的高与它
．．． ．．．．
们对应相等的两组边的大小关系来决定，只有当此锐角所对的边小于它的邻边且大于第三边的高 ，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
如图3-2所示，这时的两个三角形才不一定全 等，其余情况下它们都一定会全等。