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三角形一边的平行线 知识讲解
责编：常春芳
【学习目标】
1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；
2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；
3、经历运用分类思 想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分
类讨论等思想进行数学思 考的策略.
【要点梳理】
要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论
1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.
2
.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边
对应成比例.
要点诠释：
(1)主要的基本图形：分A型和X型；

A型 X型
（2）常用的比例式：
ADAEADAEDBEC
,,

DBECABACABAC
3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
要点诠释：
(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.
（2）重心的画法：两条中线的交点.
要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论
1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第 三边.
2
.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所 得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
要点诠释：
判断平行 线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与
作比例).
要点三、平行线分线段成比例定理

1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
2
.平行 线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，
那么在另一条直 线上截得的线段也相等.
要点诠释：
（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；
（2）平行线分线段成比例没有逆定理；

(3) 由于平行线 分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算
问题通常转化到“A”、 “X”型中.

【典型例题】
类型一、三角形一边的平行线性质定理
1.

如图已知直线截△
ABC
三边所在的直线分别于
E< br>、
F
、
D
三点且
AD=BE.
求证：
EF
：
FD=CA
：
CB.


【答案与解析】过
D
作
DK
∥
AB
交< br>EC
于
K
点
.


则
即
，

，



又∵
AD=BE
，



∴
.

【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.
举一反三
【变式】如图,在⊿ABC, DG∥EC, EG∥BC,求证:
AEABAD

2

A
D
E
B

G
C

ADAG

,
AEAC
AEAG

∵EG∥BC,∴,
ABAC
ADAE

∴,
AEAB
【答案】∵DG∥EC,∴
即
AEABAD
.
2.已知，△ABC中，G是三角形的重心， AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长.
2
A
G
B
【答案与解析】延长BG交AC于点D,
∵G是三角形的重心，
∴点D是线段AC的中点，
又∵AG⊥GC，AG=3，GC=4，
∴AC=5，即DG=2.5，
∵BG:GD=2:1.
∴BG=5.

C

【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.

类型二、三角形一边的平行线判定定理
3. 如图，AM是△AB C的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、
D两点.求证：DE∥B C.

【答案与解析】延长
AM
到
H
，使
HM= MP
，连接
BH
、
CH


∵
BM=MC


∴四边形
BPCH
是平行四边形



∵
BH
∥
CD
，
CH
∥
BE


在△
ABH
和△
ACH
中，



有
∴
DE
∥
BC
，



【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.
举一反三
【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点 E,使AD=AE,直线DE和BC
的延长线交于点P,求证：
BPBD

.
CPCE

【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,
∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC

∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC
∴∠EFC=∠FEC
∴CF=CE
∵CF∥AB
BPBD

,
CPCF
BPBD

即.
CPCE
∴


类型三、平行线分线段成比例定理

4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．

【答案与解析】证明：∵DE∥BC，
∴
∵
∴
∴
=
=
=
=
，
，
，
，
∴EF∥DC
．

【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．

举一反三
【变式】如图，直线l
1
∥l
2
∥l
3
，直线AC分别交l
1
，l
2
，l
3
于点A，B， C，直线DF分别交l
1
，l
2
，l
3
于点D，E，F，A C与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）

A.
1
2
B. 2 C.
2
5

【答案】D
提示：∵AG=2，GB=1，
∴AB=AG+BG=3，
∵直线l
1
∥l
2
∥l
3
，
∴=，

D.
3
5