烤面包片-写信的格式范文

第2讲 三角形的边角关系

【知识梳理】
1.恒 等式：在
ABC
中：
ABC

AB

C,
结论：(1)
sin(AB)sinC,cos(AB)cosC
；
(2)
sin
AB

C


222
C
ABCABC
cos,cossin
；
a
b
2222
ABBCCA
AB
(3)
tantant antantantan1
；
c
222222
(4)
tanAtanBtanCtanAtanBtanC
(非直角三角形).
2. 等价关系：在
ABC
中：
(1)
ABabsi nAsinB
，
ABabsinAsinB
；
(2)
ABC
为锐角三角形

最大角的余弦值为正

较小两边的平方和大 于最大边的平方.

sinAcosB
且
sinBcosC
且
sinCcosA

(3)
ABC
为钝角三角形
最大角的余弦值为负

较小两边的平方和小于最大边的平方.
3.正弦定理：< br>a

b

c
2R
(
R
为三角形外 接圆的半径).
sinAsinBsinC
变形：(1)
abcsinAs inBsinC
；
abc
,sinB,sinC
(2)
sinA
；
2 R2R2R
(3)
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
；
点拨：已知两边及一边的对角，求解三角形时，可能无解、一解、两解.
222
b ca
4.余弦定理：
abc2bccosA,cosA
…
2bc
5.面积公式：
S
1
ah
a

1
abs inC
prp

pa

pb

pc


2
2
（其中
p
1
(abc)< br>，
r
为内切圆半径）.
2
6.射影定理：
abcosC ccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA

222
点拨：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常用正、余弦定理实现边角互化.
【典例精析】
例1.在
ABC
中，推导公式：
(1)中线公式 ：
m
a

A
1
2

b
2
c
2

a
2
；
2
c
m
a< br>b
C
1
(2)面积公式：
S
2










ABAC< br>

2
ABAC

2
.
B
a
M
1

例2. 在
A BC
中，记
BACx
(角的单位是弧度制)，
ABC
的面积为
S
，且
ABAC8，4S43
．
(1)求
x
的取值范围；
(2)就(1)中
x
的取值范围，求 函数
f(x)23sin(x
2

4
)2cos
2< br>x3
的最大值、最
小值．






例3. 在锐角
ABC
中，
a2bsinA
.求ucosAsinC
的取值范围.








例4. 在
ABC
中，
a sinAsinB＋bcosA
(1)求
2
2a
.
b
222
；(2)若
cb3a
，求
B
.
a









例5. 如图：为测量两山顶
M,N
的距离，飞机沿水平方向在
A,B
两点间进行测量，
A
，
B
，
M
，
N
在同 一铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角及
A,B
间的距离，请设计一个方案，包括：
A
(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出) ；
(2)用文字和公式写出计算
M,N
的距离的步骤.












2
B
C
N
M

例6.在某次地震时，震中
A
(产生震动的中心位置)的南面有三座东
西方 向的城市
B
、
C
、
D
，
B
、
C< br>两市相距
20km
，
C
、
D
相
距
34km
，
C
城在
B
、
D
两城之间．如图所示，某 时刻
C
市感到
地表震动，
8
秒后
B
市，
20
秒后
D
市先后感到地表震动，已知震
波传播的速度为每秒
1.5km
. 求：震中
A
到
B
、
C
、
D
三市的距离．


















20
34
【过关精练】
一、选择题
1．在
ABC< br>中，
a5,b15,A30
0
,
则
c
等于( )
A．
25
B.
5
C．
25
或
5
D．以上都不对
2．已知三角 形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程
2x＋3x－2＝0
的根，则第三
边 长是( )
A.
20
B.
21
C.
22
D.
61

3. 在
ABC
中,
asinAsinB bcos
2
A2a
,则
2
b

（ ）
a
A .
23
B.
22
C.
3
D.
2

4．锐角
A BC
中，如果
B＝2A
，则
b
的取值范围是( )
a
A．
(－2,2)
B．

0,2

C．
(2,3)
D．
(2,2)

5.在
OAB
中，
O
为坐标原 点，
A(1,cos

),B(sin

,1),

(0,
最大值时，


（ ）
A．

2
]
，则当
OAB
的面积达


B． C． D．
6432
22
二、填空题
6．在
ABC
中，
C＝30
，则
sinA＋sinB－2sinAsinBcosC
______ __．


7．已知锐角三角形三边长分别为
3,4，a
,则a
的取值范围为________．


3

8．甲船在
A
处观察到乙船在它的北偏东
60
方向的
B处，两船相距
a
海里，乙船向正北方
向行驶．若甲船的速度是乙船速度的
3
倍，则甲船应沿_____ ___方向前进才能尽快追
上乙船，追上时乙船已行驶了________海里．
三、解答题
9．在
ABC
中，已知
sin C










10．在锐角
ABC
中，
3a=2csin A
.
(1)确定角
C
的大小；
(2)若
c
0
sinAsinB
,试判断三角形的形状． cosAcosB
7
，且
ABC
的面积为
33
，求
a＋b
的值．
2










11. 已知
ABC
的三边长为连续整 数，
M
为
BC
的中点，且
tanCtanBAM1
， 求
ABC
三边的长.


















4

第2讲 参考答案
例1. (1)证法1

(用余弦定理)

；证法2用“平行四边形两对角线的平方和等于四条边的；
(2) 设
BAC

，则
2
1
sin

A BAC

1cos
2



2
22
2
1
ABACABAC
.
2
1
例2.解： (1)∵
BACx，ACAB8
，4S43
，又
Sbcsinx
，
2

∴
bccosx8，S4tanx
，即
1tanx3

x
.
43


22
(2)
f(x)23sin(x)2cosx3

2sin(2x)1

6
4

2
5

1

3
2x
∵
x
，∴，
sin(2x)
.
43366
262

∴
f(x)
min
f( )2，f(x)
max
f()31
.
34
1
例 3.解：
a2bsinA
sinA2sinBsinAsinB
，又ABC
为锐角三角形，
2


5

A
. 故
B
.从 而
C

A
6
66
13

5


sinA

A

cosAcosA

ucosAsinC
cosAsin

22

6

11
SABACsin

ABAC
22
2
1
ABACABACcos

2




2
2




33


cosAsinA
3sin

A

.
22
3


33

2

5< br>
1


3

u,

.故. < br>Asin

A




32
33623

2


22

b
2 2
例4.解：(1)
sinAsinB+sinBcosA=2sinA
sinB=2sinA2
，
a
a
2
b
2
3a
2
b
2< br>13a
222

(2)由余弦定理和
cb3a
，得cosB
.
2ac2c

A

，
< br>
22
22
由(1)知
b2a
，故
c2 3a
c
可得
cosB
13
223



13


4

23

2< br>23a
.
12

B
.
224
A

1
d

2
B

2
例5.解: (1) 需要测量的数据有：
俯角：
BAM

1
,BAN

1
，
ABM

2
，

1
M
C
N
CBN

2
；距离：
ABd
.
dsin

2
(2) 第一步：计算
AM
；
sin


1


2


5

第二步：计算
AN
第三步：计算
MN
dsin

2
：
sin


2


1

AM
2
AN
2
2A MANcos


1


1

.
1.58＝12
. 例6.解：在
ABC
中，由题意
AB－AC ＝
1.520＝30
. 在
ACD
中，由题意
AD－AC＝
12＋x，AD＝30＋x
. 设
AC＝x
，则
AB＝
在
ABC
中，由余弦定理得
cosACB
在
ACD
中，由余弦定理得
cosACD
x
2
20
2


12x

2
6415x
.
2x3417x
6415x323x48132258x,AD
∵
B,C,D
在一条直线上，∴.∴
AB
.
17x5x777
13248258
km,km,km
. 答：震中A
距
B
、
C
、
D
三市分别为
777< br>
一、选择题 1.C； 2. B； 3. D； 4. C； 5. D.
2 x20
2
x
2
34
2


30x< br>

323x
.
5x
1
0
； 7.
7,5
8.北偏东
30
;
a

4
sinAsinB
9．解： ∵
sin C
，∴由正弦定理得
c(cosA＋cosB)＝a＋b
.
cosAc osB
c
2
b
2
a
2
c
2
 a
2
b
2
＋)＝a＋b
再由余弦定理得，
c(
2bc2ac
a
3
＋a
2
b－ac
2
－bc2
＋b
3
＋ab
2
＝0(a＋b)(c
2
－ a
2
－b
2
)＝0

c
2
＝a
2
＋b
2
.
∴
ABC
为直角三角形．
二、填空题 6.

10．解：(1)由
3a=2csin A
及正弦定理得，
∵
ABC
是锐角三角形，∴
C
(2)∵
c
a2sin AsinA3
.
sinC
csinC2
3

3
.
7,
C
2

3
2
，由面积公式得
1

33
absinab6
.①
232
3
2
由①②得
(a＋b)＝25a＋b＝5
.
11.解：令
BAM

,CAM

，则
tanCtanBAM1sinCsin

cosCcos

< br>由余弦定理得
a＋b－2abcos

7a
2
＋b
2
－ab＝7(a＋b)
2
＝7＋3ab
.②


A



2
.
cos

C


0
C


又

2，从而
B


B
M
C
sinBAMAMs inC
sinBcosBsinCcosCsin2Bsin2C
.

sin

BMCMsin


BC,2B2C
A
.设三边长为
n,n1,n2
，则
2
2 2
n
2


n1



n2

n3
，故三边长为
3,4,5
.


6