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数学教研组

北师大版九年级(下) 第一章：直角三角形的边角关系
1. 锐角三角函数的定义：
如图，在
RtABC
，
C90
， 则有：
(1) 、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做
A
的正弦，记做
sinA
，
即
sinA
A的对边BC
a



斜边AB< br>c
B
c
A
b
a
C
(2)、余弦：把锐角A的 邻边与斜边的比叫做
A
的余弦，记做
cosA
，
即
sinA
A的邻边AC
b



斜边AB< br>c
(3)、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做
A
的正切，记做
t anA
，
即
tanA
A的对边BC
a



A的邻边 AC
b
锐角A的正弦、余弦和正切就叫做
A
的三角函数。
正弦、 余弦、正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比，它
只是一个数 值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关。

2. 特殊角的三角函数表：


3. 三角函数关系：
(1)、同角三角函数关系：
 商数关系：
tanA
sinA

cosA
 平方关系：
sin
2
Acos
2
A1

【sinA
是

sinA

的简写，读作“
sinA的平方”，不能将
sinA
写成
sinA
，前者
sinA

2
是
A
的正弦值的平方，后者
sinA
无意义。】
22
2
2
2
1

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(2)、互余角的三角函数关系：
A co0A

、
cosAs

in90A


sin

s9

例如：
sin20cos< br>
9020

cos70
、
cos30sin

9030

sin60


(3)、三角函数的大小比较：
角越大，正弦值、正切值也越大，余弦值反而越小；角越小， 正弦值、正切值也越小，余弦
值反而越大。即：
①、正弦与正弦比较：角度越大，值就越大；角度越小，值就越小。
例如：
sin32sin37
、
sin85sin84

②、正切与正切比较：角度越大，值就越大；角度越小，值就越小。
例如：
tan32tan37
、
tan85tan84

③、余弦与余弦比较：角度越大，值就越小；角度越小，值就越大。
例如：
cos32cos37
、
cos85cos84

④、正弦与余弦比较：首先利用
sinAcos

90A
< br>或
cosAsin

90A

将两者化成正弦
与正弦或者余弦与余弦，再按①、③所讲方法比较。
例如：
cos32sin32

sin48cos28

解：因为
cos32sin
< br>9032

sin58
解：因为
sin48co s

9048

cos4245

又因为
sin58sin32
又因为
cos42cos28

所以
cos32sin32
所以
sin48cos28


4. 三角函数关系的应用：
(1)、常用概念：
①、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母

表示。
②、坡度(也叫 “坡比”)：坡面的铅直高度
h
和水平距离
l
的比叫做坡度(坡比)，
用字母
i
表示，则
i
h
。
tan
（坡角的正切值就是坡度）
l
③、仰角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰 角。
④、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的叫做俯角。

⑤、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于
90
的水平角，叫方向角。
如图中的目标方向线OA、OB的方向角分别表示为北偏东
30
，南偏西< br>45
(又叫西南方向)。






(1)、常考题型举例：
 有关航行、是否触礁类型：
例1：如图，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往
正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上，
该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°
的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续
向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
C
60°
A
30°
M
B
2

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解法一：过点C作CD⊥AB,垂足为点D
∵∠CAB=30°,∠BCD=30°,∠ACD=60°
∴∠ACB=30° ∴BC=AB
∴BC=AB=24×=12
C
60°
30°
M
B
1
2
CD
在Rt△BCD中,
cos
∠BCD=
BC
∴
CDBCcos30
°
12
A
3
63

2
∵
639
，所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．

解法二: 过点C作CD⊥AB,垂足为点D
∵∠ACD=60°，∠CBD=60°
在Rt△CAD中,tan60°=
ADAD
, ∴=
3
①
CDCD
CDCD
在Rt△CBD中,tan60°=, ∴=
3
②
BDBD
AD
①×②得 =3 ∴AB+BD=3BD
BD
1
∵AB=24×=12 ∴12+BD=3BD ∴BD=6
2
∴CD=6
3
＞9，所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．

 关于测量高度类型：
例2：如图，甲、乙两栋高楼的水平距离
BD
为90米，从甲楼顶部
C点测得乙楼顶部
A
点的仰角

为
30°
，测得乙楼底部
B
点的俯角

为
60°
，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值）

解：作
CEAB
于点
E
．
∵CE∥DB，CD∥AB
，且
CDB90°
，
∴
四边形
BECD
是矩形．
∴CDBE，CEBD
．
在
Rt△BCE
中，

60°
，
CEBD9 0
米．
∵tan


BE
，
∴BECE·ta n

90tan60°
903
（米）
∴CDBE903
（米）
CE
AE
在
Rt△ACE
中，

30°
，
CE90
米．
∵tan


，
CE
3
303
（米）．
3
3分
∴AECE·tan

90tan30°
 90
∴ABAEBE3039031203
（米）．
答：甲楼高为
903
米，乙楼高为
1203
米．
3

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 关于是否影响类型：

北
例3：如 图，
A，B
两镇相距60km，小山
C
在
A
镇的北偏东60
方向，

在
B
镇的北偏西
30
方向．经 探测，发现小山
C
周围20km的圆形区域内
储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接
C

60


北
30


A，B
两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
解：作
CDAB
于
D
，由题意知：
∠CAB30


A


北
B

∠CBA60


∠ACB90


∠DCB30




C

1
AB30

2

北
60


30




在
Rt△ABC
中，
BC
A

3
15320

2
D

B

在
Rt△DBC
中，
CDBCcos30
30
答：这条公路不 经过该区域．


 关于坡度、坡角类型：
例4：如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中

i1:3
是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），
B
∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结
果保留 三位有效数字.参考数据：
3
≈1.732，
2
≈1.414）
解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F.
在Rt△ABF中，∠B=60°,AB=6,
∴
AFABsinB6sin60
33
.

BFABcosB6cos603
.
∵ AD∥BC,AF⊥BC,DE⊥BC,
∴ 四边形AFED是矩形，
∴
DEAF33
,
FEAD4
.
在Rt△CDE中，
i
B
F
A
D
i=1:
3

E

C
A
D
i1:3
E
C
ED1

，
EC
3
∴
EC3ED3339
,
∴
BCBFFEEC34916
.
∴
S
梯形AB CD

11
(ADBC)DE(416)33
52.0
.
22
答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0面积单位.

4