正余弦定理-三角形中的边角关系没钱的日子_「金点文库网」分享知识创造价值

网球的规则-杨贵妃秘史分集剧情

高中数学三角形中的边角关系—正余弦定理的应用

一、知识要点
1、三角形内角和定理：A+B+C=

，
C

AB
= -(+)
2222
三角形三角和为

，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角
和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形

三内角都是
锐角

三内角的余弦值为正值

任两角和都是钝角

任意两边的平方和大于第三边的
平方.
2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B)
sin
CABCABCAB
=cos(+)， cos=sin(+)， tan=cot(+)
222222222
sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B)
3、三角形面积公式

S

=
111
absinC=bcsinA=casinB
222
p(pa)(pb)(pc)
其中p=（a+b+c）
222 22
1
2
如
ABC
中，若
sinAcosBcosAs inBsinC
，判断
ABC
的形状（答：
直角三角形）。
4、正弦定理
abc

=2R
sinAsinBsinC
sinA ׃sinB׃ sinC =a׃ b׃ c
sinA=
abc
，sinB=，sinC=
2R2R2R
a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC
适用类型：AAS

S，SSA

A (2,1,0解) 务必注意有两解！
4、三角形射影定理：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA,
222
5、余弦定理
abc2bccosA

b
2
c
2
a
2
cosA

2bc
适用类型：SSS

A，SAS

S，AAS
 S(2,1,0解) 务必注意有两解！
注：常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
5、判定三角形是锐角直角钝角三角形设c为三角形的最大边
222

c
<
a
+
b



ABC是锐角三角形
c
2
=
a
2
+
b
2



ABC是直角三角形

c
2
>
a
2
+
b
2



ABC是钝角三角形
6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
tan

ABBCCA
tan+tantan+tantan=1
222222
7
、若三角形三内角成等差数列，则B=


3
三边成等差数列，则0 三边成等差数列，则B

若
Rt
ABC三边成等差数列C=

1515
，
q
3
22

，则a׃b׃c=3׃4׃5
2
若
Rt
ABC， C=

51
三边成等比数列，则最小内角A=
arcsin

2
2


2
7、若sinA=sinB

A=B，若cosA=cosB

A=B，若tanA=tanB

A=B
8、若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=
cos2A=cos2B，则A=B
9、

ABC中A>B

sinA>sinB ，A>B

cosA10、（1）在锐角

ABC中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦；
即 sinA >cosB，但sinA > cosA 不一定成立，

sinA +sinB +sinC > cosA +cosB+cosC
（2）反之，若任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，则

ABC是锐角三角形；
（3）若某一个角的正弦大于另一个角的余弦，不一定是锐角三角形；
（4）若某一个角的余弦大于另一个角的正弦，cosA>sinB，则

ABC是钝角三角形。
11、在锐角三角形中，任意一个角的正切大于另一个角的余切，
tanA>cotB， tanA·tanB>1，
tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC
12、特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
ABC

这个特殊性：
AB

C,sin(AB)sinC,sin
A BC
cos
；（2）求解三角形中含有边角混合关
22

系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
b
，且
A=60, a6, b4
，那么满足条件如（1）
ABC
中，A、B的对边分别是
a、
的
ABC
A、有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；
（2）在
ABC
中，A＞B是
sinAsi nB
成立的_____条件（答：充要）；
（3）在
ABC
中，
(1tanA)(1tanB)2
，则
log
2
sinC
＝ _____（答：

(4)在
ABC
中，
a,b,c
分别是角A、B、C
1
）；
2
所对的边，若
(abc)(sinA sinBsinC)3asinB
，则
C
＝____（答：
60
）；
a
2
b
2
c
2

（5）在
ABC
中，若其面积
S
，则
C
=____ （答：
30
）；
43

（6）在
ABC
中，
A60, b1，这个三角形的面积为
3
，则
ABC
外接圆的直径是
____ ___（答：

239
）；
3
1BC
,则cos
2
= ，
32
（7）在 △ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
a3,cosA
b
2
 c
2
的最大值为（答：
;
19
）；
32
（答：
0C
（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是

6

（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若
C75
，且
 AOB,BOC,COA
的面积满
足关系式
S
AOB
SBOC
3S
COA
，求
A
（答：
45
）．

）；

二、典型题型分类解析
题型1：正、余弦定理

例1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△
ABC 中，
ABa
，
ACb
，
ab0
，
S
ABC


15


，
a3,b5
，则
BAC

4

0

（）

0
A．
30
B ．
150
C．
150
D．
30
或
150

答案 C
例2．（1）在
ABC
中，已知
A32.0
0
， B81.8
0
，
a42.9
cm，解三角形；
（2）在
ABC
中，已知
a20
cm，
b28
cm，
A40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，边
长精确到1c m）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，
C180
0
(AB) 180
0
(32.0
0
81.8
0
)
66 .2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
（2）根据正弦定理，
bsinA28sin40
0

sinB0.8999.
 a20
因为
0
0
＜
B
＜
180
0 ，所以
B64
0
，或
B116
0
.

①当
B64
0
时，
C180
0
(A B)180
0
(40
0
64
0
)76
0 ，
asinC20sin76
0
c30(cm).

sinA
sin40
0

②当
B116
0
时，
asinC20sin24
0
13(cm).

C 180(AB)180(40116)24
，
c
sinA
si n40
0
00000
点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两
解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例3．（1）在

ABC中，已知
a23
，
c62
，
B 60
0
，求b及A；
（2）在

ABC中，已知
a13 4.6cm
，
b87.8cm
，
c161.7cm
，解三角形
解析：（1）∵
b
2
a
2
c
2
2a ccosB

=
(23)
2
(62)
2
2 23(62)
cos
45
0

=
12(62)
2
43(31)

=
8

∴
b22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
c
2
a
2
(22)
2
(62)
2
( 23)
2
1
解法一：∵cos
A,
∴
A60
0
.

2bc2
222(62)
a23
sin45
0
,
解法二：∵sin
AsinB
b
22
又∵
62
＞
2.41.43.8,
23＜
21.83.6,
∴
a
＜
c
，即
00
＜
A
＜
90
0
,

∴
A60
0
.

（2）由余弦定理的推论得：
b
2
c
2
a
2
87.8
2
161. 7
2
134.6
2
0.5543,
cos
A2bc287.8161.7
A56
0
20

；
c
2
a
2
b
2
134.6
2
16 1.7
2
87.8
2
0.8398,
cos
B


2ca2134.6161.7
B32
0
53

；



90
0
47.
C180
0
(AB)180
0
(56
0 20

32
0
53)
点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。
例4．（2009全国卷Ⅰ理）在
ABC
中，内角A、B、C的对边长分别为
a
、
b
、
c
，已知
a
2c
2
2b
，且
sinAcosC3cosAsinC,
求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)
ac2b
左侧
是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
22
sinAcosC3cosAsinC,
过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现

在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在
ABC
中
sinAcosC3cosAsinC,
则由正弦定理及余弦定理
a
2
b
2
c
2
b2
c
2
a
2
3c,
化简并整理得：
2 (a
2
c
2
)b
2
.又由已知有:
a
2ab2bc
a
2
c
2
2b4bb
2
. 解得
b4或b0(舍）
.
解法二:由余弦定理得:
acb2bccosA
.又
ac2b
,
b0
.
所以
b2ccosA2
①
22222
又
sinAcosC3cosAsinC
，
sinAcosCcosAsinC 4cosAsinC

sin(AC)4cosAsinC
，即
sinB4cosAsinC

由正弦定理得
sinB
由①，②解得
b4
.
评析:从 08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、
提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不
再考的知识和方法了解就行，不必强化训练
例5.在△
ABC
中,已知
a

=
3
,
b
=
2
,
B
=45°,求
A、C
及c
.
分析：这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△
b
sinC
，故
b4ccosA

c
②
ABC
是否有解，有几解，亦可用余弦定理求解.
解： ∵
B
=45°<90°,且
b
<
a
,∴△
ABC 有两解:
由正弦定得:sin
A
=
asinB

b
3sin45
2

3
,
2
∴
A
=60°或120°.
①当
A
=60°时 ,
C
=75°

C
=
bsinC

sin B
②当
A
=120°时,
C
=15°

C
=
bsinC

sinB
故
A
=60°,
C
=75°,
c
=
2sin75

sin45
2sin 15

sin45
62
.高考资源网
2
62
.
2
62
.
2
62或
A
=120°,
C
=15°,
c
=
2
小结：因sin
A
=sin(π-
A
),故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理,关键
是将“条件”对号.

练习1. 在ΔABC中，BC=a,CA=b,AB=c,则
sin
2
ABCB
s in
2
sin
2
cos
2
成立的充
2222 要条件是( ) A. a+b=2c B. b+c=2b C. c+a=2b D. ca=b
2
解：
sin
2
ABC B
sin
2
sin
2
cos
2

2222
1-cos A+1-cos B+1-cos C=1+cos B
cos A+2cos B+2cos C=2
b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
22

2bc2ac2ab
a(b
2
c
2
a
2
)2b(a
2 c
2
b
2
)b
2
c(a
2
 b
2
c
2
)4abc

a
2
(2b ac)b
2
(ac2b)c
2
(2bac)2ac(ac 2b)0

(b
2
(ac)
2
)(ac2b)0
因为 ba-c
可得：2b=a+c

题型2：三角形面积
例6．在
ABC
中，
sinAcosA
2
nA
的值和
AB C
，
AC2
，
AB3
，求
ta
2
的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。

sinAcosA2cos(A45

)

1
cos(A45

).
2


2 ,
2

又
0A180
,
A4560,A105.


tanAtan(45

60

)
13
23
,
13
26
.

4

sinAsin1 05

sin(45

60

)sin45

cos60

cos45

sin60

 
S
ABC

11263
ACABsinA 23(26)
。
2244
解法二：由
sinAcosA
计算它的对偶关系式
sinAcosA
的值。

sinAcosA
2
①
2

(sinAcosA)
2


2sinAcosA
1
2
1

2

0

A180

,sinA0,cosA0.
2

(sinAcosA)12sinAcosA
3
,
2

sinAcosA
6
②
2
26
。
4
26
。
4
① + ② 得
sinA
① － ② 得
cosA
从而
tanA
sinA264
23
。
cosA4
26
以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算
能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
例7．（2009浙江理）（本题满分14分）在
ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，

A25

且满足
cos
，
ABAC3
．
25
（I）求
ABC
的面积；（II）若
bc6
，求
a
的值．

3 4
A25
2
A
cosA2cos1,sinA
，解（1）因为
cos
，又由
ABAC3

255
25 得
bccosA3,
bc5
，
S
ABC

1
bcsinA2

2
（2）对于
bc5
，又
bc6
，
b5,c1
或
b1,c5，由余弦定理得
a
2
b
2
c
2
2bc cosA20
，
a25

题型三 -------求取值范围，求最值
例8．（2009湖南卷文）在锐角
ABC
中，
BC1,B2A,
则
AC
的值等于，
cosA
AC
的取值范围为

.
答案 2
(2,3)

解析设
A

,B2

.
由正弦定理得
ACBCACAC
,12.

sin2

sin

2cos

cos

由锐角
ABC
得
02

900

45
，
又
01803

9030

60
，故30



45



2 3
，
cos


22
AC2cos
(2,3).

b
2
a
2
c
2
cos(AC)

例9．在斜三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
acsinAcosA
(1) 求角A;
(2) 若
sinB
2
,求角C的取值范围.
cosC
解：(1) 因为
而△ABC为斜三角形,所以cos B≠0,所以sin 2A=1.
ππ
因为A∈(0,π),所以2A=
2
,A=
4
.
3π
(2) 由(1)知B+C=
4
, 所以
3π
ππ
即tan C>1.因为04
,所以
4
2
.
例 10.在△
ABC
中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,且cos
A
=
1
.
3

(1)求
sin
2
BC
cos
2
A
的值;
2
(2)若
a3
,求
bc
的最大值. 高考资源网
分析：(1) 条件是明确的，但一时用不上，怎么办？，让目标式向条件式转化，也就是将
s in
2
BC
cos
2
A
转化成cos
A
的代数式然后求值；高考资源网
2
(2)由条件及(Ⅰ)的结论，立即想到可用余弦定理破题.
解：（1）△
ABC
中，sin
BC
=cos
A
.
22

BC
22
∴sin
2
+cos2
A
=cos
A
+cos2
A
=
1cosA
+2cosA－1
22
2
2
=2cos
A
+
1
cos
A －
1
=2×
1

1

1

1

1
.高考资源网
22
42329
22
(2 )由余弦定理：
1
=cos
A
=
bc3
,bc3
(b
2
c
2
3)
3
(2bc3) .
3
2bc22
bc
9
,当且仅当
b
=
c
,即△
ABC
为等腰三角形时，(
bc
)
ma x
=
9
.
4
4
小结：本题亦可用正弦定理解出。但解法不及用余弦定理简单：
cosA=
1
时,sinA
22
.
由正弦定理：
33

bc336

bc
(
3
6)
2
sinBsinC
,
高考资源网

2
4
si nBsinC4
2
3

2

1

=
9
6


[cos(
B
+
C
)－ cos(
B
－
C
)]
16
=
27
[c os
A
+cos(
B
－
C
)]≤
27
( 1
+1)=
9
.
1616
34
当且仅当
B
=
C
,即△
ABC
为等腰三角形时，(
bc
)max
=
9
.高
4

题型4：三角形中求值问题
例11．
ABC
的三个内角为
A、B 、C
，求当A为何值时，
cosA2cos
最大值，并求出这个最大值。
B+C
π
AB+CA
解析：由A+B+C=π，得= －，所以有cos =sin。
22222
B+CAAAA13
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin
2
+ 2sin=－2(sin － )
2
+ ；
2222222
π
A1B+C3
当sin = ，即A= 时, cosA+2cos取得最大值为。
22322
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三
角函数的性质求得结果。
例12．（2009浙江文）（本题满分14分）在
ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
BC
取得
2

A 25

且满足
cos
，
ABAC3
．
25
（I）求
ABC
的面积；（II）若
c1
，求
a
的值．
解（Ⅰ）
cosA2c os
2
A25
2
3
12()1
 255

又
A(0,

)
，
sinA 1cosA
以
bc5
，所以
ABC
的面积为：
2
43
，而
bc3
，所
55
114
bcsin A52

225
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
bc5
，而
c 1
，所以
b5

所以
ab
2
c
2
2bccosA

点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的
公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力
例13.（2009四川卷文）在
ABC
中，A、B
为锐角，角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，且
sinA
2512325

510

,sinB
510
（I）求
AB
的值；
（II）若
ab21
，求
a、b、c
的值。
510

,sinB
510
解（I）∵
A、B
为锐角，
sinA
∴
cosA1sinA
2
25310

,cosB1sin
2
B
510
253105102
.

5105102
cos(AB)cosAcosBsinAsinB
∵
0AB


∴
AB

4

（II）由（I）知
C
由
3

2
，∴
sinC

4
2
abc

得
sin AsinBsinC
5a10b2c
，即
a2b,c5b

又∵
ab
∴
21

21
∴
b1

5
2bb
∴
a2,c

题型5：三角形中的三角恒等变换问题
例14．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B 、∠C的对边长，已知a、b、c成等比
数列，且a
2
－c
2
=ac －bc，求∠A的大小及
bsinB
的值。
c
分析：因给出的是a、b、c 之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可
2
b
2
bsinB
用余弦定理。由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。
c
c
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b
2
=ac。
又a
2
－c
2
=ac－bc，∴b
2
+c
2
－a
2
=bc。
b
2
c
2
a
2 bc
1
在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。
2 bc
2bc
2
bsinA
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2
=ac，∠A=60°，
a
bsinBb
2
sin60 3

∴=sin60°=。
cac
2
解法二：在△ABC中，
11
bcsinA=acsinB。
22
∵b
2
=ac， ∠A=60°，∴bcsinA=b
2
sinB。
由面积公式得
3
bsinB
=sinA=。
2
c
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用
正弦定理。 ∴
例15．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求
tan
ACAC
tan3tantan
2222
的值。
解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
从而
AC
AC
3
.由两角和的正切公式，＝60°，故tan
2
2
AC
tan
22
3
。得
AC
1tantan
22
tan
所以
tan
A CAC
tan33tantan,

2222
tan
ACAC
tan3tantan3
。
2222
点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知
角求解，同时结合三角变换公式的逆用。

题型6：正、余弦定理判断三角形形状
例16．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinA cosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形
方向，通畅解题途径
例17 在
ABC
，B，C所对的边，且
bac
，向量
m(cos(AC), 1
a,b,c
分别是角A，
）
和
n(1,cosB）
满足
mn
2
3
。（1）求
sinAsinC
的值；（2 ）求证：
ABC
为等边三角
2
形。
[分析]按平面向量数量积的定义,把向量关系式转化成三角形中的边角关系,继而用三角函
数知识求解.
33
[解答](1) 由m·n=
2
,得cos(A-C)+cos B=
2
,
3
又B=π-(A+C),得cos(A-C)-cos(A+C)=
2
,
33
即cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)=
2
,所以sin Asin C=
4
.
(2) 由b=ac及正弦定理得sin B=sin Asin C,
22
3
2
故sin B=
4
.
3111
2
于是cos B=1-
4
=
4
,所以cos B=
2
或-
2
.
3
因为cos B=
2
-cos(A-C)>0,
1
π
所以cos B=
2
,故B=
3
.
由余弦定理得b=a+c-2accos B,即b=a+c-ac,又b=ac,所以ac=a+c-ac,得a=c.
222222222
π
因为B=
3
,所以△ABC为等边三角形.

题型7：正余弦定理的实际应用
例18．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同
与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的
灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点
点的仰角分别为
75
，
30
，于水面C处测
点和D点的仰角均为
60
，AC=0.1km。试
图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，
0
00
北
B
•
一个
两座
和D
得B
探究
然后
A
10
•C
20
求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，
2

1.414，
6

2.449）

解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，
ABAC
在△ABC中，
sinBCAsinABC
,

ACsi n60

326
,
即AB=
sin15


20
因此，BD=
326
0.33km。

20
故B，D的距离约为0.33km。。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换
要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、
概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
例19．（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机
沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），
飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测
量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的
步骤


1
,

1
解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，
N的俯角

2
,

2
；A，B的距离 d （如图所示） .
②第一步：计算AM . 由正弦定理
AM
dsin

2
；
sin(

1


2
)
第二步：计算AN . 由正弦定理
AN
dsin

2
；
sin(

2


1
)
AM
2
AN
2
2AMANcos(

1


1
)
. 第三步：计算MN. 由余弦定理
MN
方案二：①需要测量的数据有：
A点到 M，N点的俯角

1
，

1
；B点到M，N点的府角

2
，

2
；A，B的距离 d （如
图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理
BM
dsin

1
；
sin(

1


2
)
第二步：计算BN . 由正弦定理
BN
dsin

1
；
sin(

2


1
)
BM
2
BN
2
2BMBNcos(

2


2)
第三步：计算MN . 由余弦定理
MN
例20.（2009四川卷文）在
ABC
中，
A、B
为锐角，角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c
，
且
sinA
510
,sinB

510
（I）求
AB
的值；
（II）若
ab21
，求
a、b、c
的值。

解（I）∵
A、B
为锐角，
sinA
510

,sinB
510
∴
cosA1sinA
2
25310

,cosB1sin
2
B
510
253105102
.

5105102
cos(AB)cosAcosBsinAsinB
∵
0AB


∴
AB

4

（II）由（I）知
C
由
3

2
，∴
sinC

4
2
abc

得
sin AsinBsinC
5a10b2c
，即
a2b,c5b

又∵
ab
∴
21

∴
b1

21

5
2bb
∴
a2,c

点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的
语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数
f(t)t
4
，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？
t
考资
三．【思维总结】
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短
边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求
C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。
2．三角形内切圆的半径：
r
abc
斜
2S

，特别地，
r
直

；
abc
2
3．三角学中的射影定理：在△ABC 中，
bacosCccosA
，„
4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，
ABsinAsinB
，„
5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大

角定理及几何作图来帮助理解”。

四、课堂检测：
1在
ABC
中，若
a
=1,C=
60
,
c
=
3
则A的值为（
30
）
2．（20 09湖南卷文）在锐角
ABC
中，
BC1,B2A,
则
AC 的值等于，
cosA
AC
的取值范围为

.
答案：2
(2,3)

解：设
A

,B2

.
由正弦定理得高考资源网
ACBCACAC
,12.

sin2

sin

2cos

cos

由锐角
ABC
得
02

900

45
，高考资源网
 
又
01803

9030

60
，故
30



45



23
，
cos


22
AC2cos
(2,3).
高考资源网
3. 在△ABC中，
AB62, C30
0
，则
ACBC
的最大值是________
4

4．在△ABC中，若
2lgtanBlgtanAlgta nC,
则B的取值范围是_________。
[
5.在△ABC中，
AB

,)

32
3,BC2,A

2
，如果不等式
BAtBCAC
恒成立，则实
数t的取值范围是（
 
，



1
，


）
2


1


44
6.在△
ABC
中，
A
为最小角，
C
为最大角， cos(2
A
＋
C
)＝－，sin
B
＝，则cos 2(
B
＋
C
)
35
＝_________。
解析：∵
A
为最小角，
∴2
A
＋
C
＝ A
＋
A
＋
C
<
A
＋
B
＋ C
＝180°.
43
∵cos(2
A
＋
C
)＝－，∴sin(2
A
＋
C
)＝.
55
∵
C
为最大角，∴
B
为锐角．
43
又sin
B
＝，故cos
B
＝.
55

43
即sin(
A
＋
C
)＝，cos(
A
＋
C
)＝－.
55
24
2
∵cos(
B
＋
C
)＝－cos
A
＝－cos[(2
A
＋
C
)－(
A
＋
C
)]＝－，∴cos 2(
B＋
C
)＝2cos(
B
＋
25
C
)－1＝527
625
.
答案：
527
625

7. 已知△ABC的周长为6，

BC

,

CA
,

AB

成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）

BA



BC

的取值范围．高考资源网
7. 解：设
 
BC

,

CA

,
AB

依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac．
在△ABC中得
cosB
a
2
c
2
b
2
2ac
a
2
c
2
ac
2ac

2ac ac
2ac

1
2
,
故有
0B

3
．又
bac
ac
2

6b
2 ,
从而
0b2
．高考资源网
（１）
S
1
2
acsinB
11

2
b
2
sinB2
2
2
sin
3
3
，即
S
ma x
3
．
（２）

BA



BC

accosB
a
2
c
2
b
2
(ac)
2
2acb
2
2

2 高考资源网
(6b)
2
3b
2

2
 (b3)
2
27
．高考资源网
0b2,

2

BA



BC

1 8
．

五、课后基础练习 ---------三角形中的边角关系
1．在
ABC
中，
A15 ，则
3sinAcos(BC)
等于（）
2
3
A．
2
B．
2
C．
2
D．2
2．在
ABC
中，已知
sinC2sin(BC)cosB ，那么
ABC
一定是（
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
）

cosA
3．在
 ABC
中，若
tanBtanC5
，则
cos(BC)
的值为 __________．
5．已知
A
、
B
、
C
是
ABC
的三个内角，若
tanA
和
tanB
分别是关于 x
的方程
x
2
mxm10
的两个实根，则角
C
_______________；实数
m
的取值范围是
_______ ___________．
6．在
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边分别是
a
、
b
、
c
，且
cosA
4
5
．
sin
2
⑴ 求
BC
cos2A
2
的值；
⑵ 若
b2 ，
ABC
的面积
S3
，求
a
．

cosBb

2ac
． 7．在
ABC
中，角A、B、C的对边分别为
a
、
b
、
c
，且 cosC
⑴ 求角B的大小；
⑵ 若
b13
，
ac4
，求
ABC
的面积．

8．在
ABC
中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，且
bc 3a
，若向量


m(1,2sinA)
，
n (sinA,1cosA)
，且
mn
．
sin(B
⑴ 求A的大小； ⑵ 求


)
6
的值．

9．在
ABC
中，
a、
b
、
c
为角A、B、C的对边，且
sinBcosC2si nAcosB

cosBsinC
．
⑴ 求
cosB
的值； ⑵ 若
b3
，求
ac
的最大值．

10．在
AB C
中，角A、B、C的对边为
a
、
b
、
c
，且(2ac)cosBbcosC
.
⑴ 求角
B
的大小；


(k1)
m(sinA,cos2A)n(4k,1) ⑵ 设向量，，且
mn
的最大值为5，求实数
k
的值．

11．在
ABC
中，角A、 B、C所对的边分别是
a
、
b
、
c
，
⑴ 求
tanC
的值；
⑵ 若
ABC
最长的边为1，求最短边的长．

tanA
1
310
cosB
2
，
1 0
．


B
f( B)4sinBcos
2
()cos2B
42
12．在
AB C
中，
A
、
B
、
C
为三个内角，．
⑴ 若
f(B)2
，求角
B
；
⑵ 若
f(B)m2
恒成立，求实数
m
的取值范围．

六、课后基础练习答案：
1．C 2．B
211
3．
3
4．
2
，
2
5．
135
；
[1,222]

sin
2
6 ．解：⑴
59
BC1cos(BC)
1cosA
cos2Ac os2A
2cos
2
A1
22
2
==
50
43
,sinA,
55
分
113
bcsinA得:32c,解得c5.
225

4
13
5

cosA
⑵∵
由
S
ABC

由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA可得：

a
2
425225

a13
.
abc
2R
sinAsinBsinC
7．⑴ 解法一：由正弦定理得
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.

cosBbcosB sinB
得.
cosC2accosC2sinAsinC
将上式代入已知
即
2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0.

2sinAcosBsin(BC)0.

∵A+B+C= 
，
sin(BC)sinA.2sinAcosBsinA0.

1
2
sinA0,cosB.B
B

2 3
. 为三角形的内角，
a
2
c
2
b
2
b
2
c
2
a
2
cosB,cosC2ac2bc
解法二：由余弦定理得，
cosBba
2
c
2
b
2
2abb
得
222
.
cosC 2ac2acabc2ac
将上式代入
222
acbac.
整理得
2
a
2
c
2
b
2
ac1
B

c osB.B
3
.
2ac2ac2
为三角形的内角，
2
b13,ac4,B

222
3
代入余弦定理 bac2accosB
得 ⑵ 将
1
b
2
(ac)
2
2ac2accosB,13162ac(1).ac3.
2
S
ABC

13
acsinB3.
24

2
8．解：（1）由mn得
2sinA1cosA0

2
即
2cosAcosA10

cosA
1
或cosA1
2

A
A是ABC的内角,cosA1
舍去

3

（2）
bc3a

由正弦定理，
BC
sinBsinC3sinA 3
2

2

3
2
sinBsin( B)

32

3

333

3 cosBsinB即sin(B)
22262

9．解：（1）由已知得
sin(BC)2sinAcosB.

ABC180
，
(C)sinA.

sinB
sinA0,
又
sinA2sinAcosB.

cosB
1
.
2

222
bac2accosB.
（2）由余弦定理，得

9a
2
c
2
2ac
即

ac9

1
2
ac9a
2
c
2
2ac.

当且仅当
ac3
时取等号. 所以ac的最大值为9.
10．解：（I）因为
(2ac)cosBbcosC

所以
(2sinAsinC)cosBsinBcosC

整理得
2sinAcosBsinBcosCsinCcosB,

所以
2sinAcosBsin(BC)sinA
，

1 
A(0,

),所以sinA0,所以cosB,B
23 因为
2


2sin
2
A4ksinA 1,其中A(0,)
3
（2）
mn4ksinAcos2A


2
设
sinAt(0,1],则mn2t4kt1,t(0,1]


时,mn
取得最大值. 所以，当
t1
24k1 5,解得k
3
3
k
2
.
2
，符合题意.所以，依题意
cosB
11．解：（I）因为
3 10
,
10
所以B为锐角，
1
10
tanB
,
3
，
10
所以
sinB1cos
2
B
所以

1tanAtanB
tanA,所以tan(AB)1
21t anAtanB
又
所以tanC=－1.

tanC1,0C180,所以C135,
（Ⅱ）由

所以c边最大，即c=1.
又因为
tanAtanB0,所以b
边最小.

bc
,
sinBsinC
因为所以，
b
c1105
sinB.
sinC5
2
10
2

1co s(B)
2
f(B)4sinBcos2B
2
12．解：（Ⅰ）

=
2sinB(1sinB)cos2B

2

2sinB(1sinB)12sinB2sinB1

因为
f(B)2,所以2sinB12,sinB
1
,
2


又B为ABC内角,所以0B180
，所以B=30°或B=150°.
（Ⅱ）
f(B)m2恒成立,即2sinB1m恒成立,

因为0所以
1m2,m1.

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