女生节的由来-防溺水手抄报内容

3



三 角

1
1-1 直角三角形的边角关系



學習引導



大考資訊


本章的重点在于学习三角形的边角关系，然 本章所学的正弦定理与余弦定理的概念往往
后用于解决测 量问题。1-1由直角三角形的边角是学测与指考命题的焦点。
关系引进正弦、余弦与正切。1-2将 正弦、余弦
与正切推广到广义角上；并引进弧度与极坐标的
概念。1-3探讨正弦定理与余弦定 理。1-4探讨
正弦、余弦与正切的和、差角公式。1-5总结上
述各章节的概念，进一步应用 于解决三角测量的
问题。


學習架構




正弦、余弦与正切的定义－由直角三角形的边长比定义正弦、余弦

1-1
直角三角形
与正切

的边角关系
正弦、余弦与正切的关系－商数关系、平方关系、余角关系

正弦、余弦与正切的增减－讨论正弦、余弦与正切随锐角θ的增减

作如何的变化

广义角－介绍广义角、象限角以及同界角

1-2

广义角与
广义角的正弦、余弦与正切
推广正弦、余弦与正切的定义
透过锐角 ( 参考角 ) 求广义角的

极坐标
正弦、余弦与正切

广义角的正弦、余弦与正切的关系－商数关系、平方关系

弧度
弧度的定义

三
“度”与“弧度”的互换


角
极坐标－用距离与有向角表示平面上点的极坐标，并讨论它与直角坐标


的关系
1-3

正弦、余弦定
正弦定理－解决三角形边角关系：给定两角及一边长

理与面积公式
余弦定理－解决三角形边角关系：给定两边长及其夹角或三边长

面积公式－求三角形面积：给定两边长及其夹角，
或三边长 ( 海龙公式 )

1-4
差角、和角公式－讨论正弦、余弦与正切的差、和角公式

和角与差
倍角公式－正弦、余弦与正切的二倍角公式，以及正弦、余弦的三倍

角公式
角公式

半角公式－正弦、余弦与正切的半角公式

1-5
三角测量
一般锐角的正弦、余弦与正切之求法－查表、按电算器或利用搜寻
平面与立体测量－利用正弦、余弦定理处理有关的三角测量问题

4

高中数学(三)学习讲义



1-1
直角三角形的邊角關係


1
正弦、餘弦與正切的定義

在直角△ABC中，∠C＝90°，a是∠A的对边长 ( 即a＝
BC
)，
b是∠A的邻边长 ( 即b＝
AC
)，c是斜边长 ( 即c＝
AB
)。
(1)
A的對邊長
称为∠A的正弦，
斜邊長
记做sinA ( 读做sine A )，即sinA＝
(2)
A的鄰邊長
称为∠A的余弦，
斜邊長
BC
a
＝。
AB
c
记做cosA ( 读做cosine A )，即cosA＝
(3)
A
的
對
邊長
称为∠A的正切，
A
的
鄰
邊長
AC
b
＝。
AB
c
记做tanA ( 读做tangent A )，即tanA＝
BC
a
＝。


（南一版P.3～P.4）

AC
b
█
註
：若∠A是锐角，则0＜sin A＜1，0＜cos A＜1。
（南一版P.4）




1

锐角之正弦、余弦与正切的求法

★★☆☆☆


在△ABC中， ∠C是直角，∠A＝θ，若
AB
＝
5
，
AC
＝2，求θ的正 弦、余弦与正切。
解：
由勾股定理求另一股之长，
BC
＝
(5)
2
－2
2
＝1，
5
A
θ
2
B
1
C

在△ABC中 ，∠C是直角，∠A＝θ，若
AC
＝
3，
BC
＝4，求θ的正弦、余 弦与正切。
＜配合课本例1＞

sinθ＝

的對邊長
斜邊長

的對邊長
tanθ ＝。

的鄰邊長
，cosθ＝

的鄰邊長
斜邊長
，
于是
sinθ＝
cosθ＝
tanθ＝
BC
AB
AC
AB
BC
AC
＝
＝
＝
1
5
＝ ，
5
5
2
25
＝，
5
5
解：
由勾股定理求出斜边长，
AB
＝
3
2
+4
2
＝5，
BC
4
＝，
AB
5
AC
3
cosθ＝＝，
5
AB
BC
4
tanθ＝＝。
3< br>AC
于是sinθ＝
B
5
A
θ
3
4
C
1
。

2

1-1 直角三角形的边角关系
5


1. 如右图，直角△ABC中，
AC
：
BC
＝1：2，∠C＝90°，
CD
⊥
AB
，
∠ACD＝θ，求sinθ之值。
答
：
________

5
5
。

2. 设△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，且D是
BC
中点，试求
cos ( ∠BAD ) 与tan ( ∠BAD ) 之值。
答
：
___________ ______________________________
cos ( ∠BAD )＝
25
5
，tan ( ∠BAD )＝
1
2
。


2

由正弦、余弦与正切其中一个求其它两个

★★☆☆☆


设θ为锐角，且sinθ＝
8
设θ为锐角， tanθ＝2，求sinθ与cosθ之值。
17
，试求cosθ与tanθ
之值。 ＜配合课本例2＞
解：
作一直角三角形ABC，
B
使∠C＝90°，
AC
＝1，
BC
＝2，

此时∠A＝θ。
5
作一直角三角形，使其一内角度量为θ，斜边长为
由勾股定理知，
2
17，对边长为8。
AB
＝
1
2
2
2
＝
5
，
A
θ
1
C
解：
作一直角三角形ABC，使∠C＝90°。
B
令∠A＝θ，
AB
＝17，
BC
＝8，
所以sinθ＝
2
5
＝
25
17
5
，
则
AC
＝
AB
2
BC
2

8
cosθ＝
1
θ
＝
5
＝
172
8
2
＝15，
A
15
C
5
5
。

故cosθ＝
15
，tanθ＝
8
。


17
15


设θ为锐角，cosθ＝
40
41< br>，求sinθ与tanθ之值。
答
：

9
9
____ _____________________
sinθ＝
41
，tanθ＝
40
。


3

由正切求含有正、余弦的式子之值

★★☆☆☆


设θ为锐角，且tanθ＝
3
设 θ为锐角，且cosθ＝
2
4
，求
13
，求
sin
2cos

2sin

cos

sin

cos

之值。
1sin

＋
1cos

之值。
解：
如右图，

由cosθ＝
2
利用演练2的方法，求 出sinθ与cosθ，再代入欲
13
，
13
3
求的式子进一步求值。
可得sinθ＝
3
θ
13
，
2
解：
如右图，由tanθ＝
3
4
，
5
3
3

4
可得sinθ＝
3
故原式＝
13135
，cosθ＝
4
5
，
θ
62
＝
7
4
。

34
4
13

3
故原式＝
5
＋
5
＝
3
＋4
11
1
－
34
2
＝
2
。

5
1
－
5

6

高中数学(三)学习讲义
设θ为锐角，且






5
4
tan

2＝，求3cosθ－sinθ之值。
答
：
。
________
5
2tan

1
3


4

由已知正弦与余弦求线段长

★★★☆☆


如右图，在△ABC中，
AD
⊥
BC
，
AC
＝13，
412
sinB＝，sinC＝，
513
试求
AD
与
AB
之值。
解：
直角△ACD中，sinC＝，
AC
12
故
AD
＝
AC
sinC＝13×＝12。
13
AD
直角△ABD中，sinB＝，
AB
AD
5
故
AB
＝＝12×＝15。

sinB
4
AD

如右图，在△ABC中，
AD
⊥
BC
，
AB
＝25，
15
3
sinB＝，sinC＝，
5
17
试求下列各值：
(1)
AD
。 (2)
AC
。 (3)
BC
。
解：
(1) 直角△ABD中，sinB＝，
AB
3
故
AD
＝
AB
sinB＝25×＝15。
5
AD
(2) 直角△ACD中，sinC＝，
AC
AD
17
故
AC
＝＝15×＝17。
sinC
15
(3) 直角△ABD中，
AD
BD
＝ABAD
＝
25
2
15
2
＝20。
直角△ACD中，
CD
＝
ACAD
＝
17
2< br>15
2
＝8。
故
BC
＝
BD
＋
CD
＝28。




22
22


右图为以原点O为圆心的单位圆，已知tanθ＝
答
：

5
，求
PQ
之长。
12
12
。
_______
5

1-1 直角三角形的边角关系
7


2
特別角的正弦、餘弦與正切

1.如果一个直角三角形中，有一个锐角为30°或45°或60°，那么利用几何性质，就 可以推定其三
边长的比例关系，从而求出这些角的正弦、余弦与正切。我们把30°、45°与60°称 为特别角。
2.

θ
30° 45° 60°

sinθ
1
23
2

2

2

cosθ
32
1
2

2

2

tanθ
1
3

1
3

（南一版P.5～P.6）





5

特别角的正弦、余弦与正切

★★★☆☆



试求下列各式的值： 试求下列各式的值：
(1) cos60°sin45°＋sin30°cos45°。 (1) sin30°tan45°cos60°－cos30°tan60°。
(2)
tan45cos30
tan45sin60
。 (2)
1sin60tan45
1cos602sin30
。

解：
(1) 原式＝
1
分别以特别角的正弦、余弦与正切代入求值。
2
×1×
1
2
－
3
2
×
3

＝
13
解：
(1) 原式＝
1
2
1
2
4
－
2

2
×
2
＋
2
×
2

＝－
5
＝
22
4
。
4
＋
4

1
3
1
3
＝
2
2
。
(2) 原式＝
2
＝
2
＝
3
。
1
11
1

2
2
2
2
1
3
(2) 原式＝
2
＝
23

1
3
2+3
2
(23)
2
＝
(2+3)(23)

＝
4433
43

＝7－4
3
。


试求下列各式的值：
(1) ( 1＋2sin45°＋3tan30° ) ( 1－2cos45°＋tan60° )。
(2) sin30°cos30°tan30°＋sin60°cos60°tan60°。
答
：
_______________________
(1) 2 ( 1＋
3
)；(2) 1 。

8

高中数学(三)学习讲义


利用30°的正切表示高，再由

6

利用正切求三角形面积

★★★☆☆



设一等腰三角形底边长为4，两底角各为30°，求此等腰三角形的面积。 ＜配合课本例3＞
1
×底边长×高求三角形面积。
2
解：
设△ABC为等腰三角形，
且∠B＝∠C＝30°，
BC
＝4。
过A点作
BC
上的高
AD
，
则
BD
＝
CD
＝2，
又tan30°＝
AD
BD
A
30°
D

BC


2343
1
于是△ABC的面积＝×4×＝。

33
2
E

M
B
E
D

E
q
u
a
t
i
o
n
.
D
S
M
T
4


E
M
B
E
D

E
q
u
a
t
AD
＝

1-1 直角三角形的边角关系
9

右图是以O为圆心，以1为半径的圆。
(1) 试求圆内接正三角形ABC的面积。
(2) 试求圆外切正三角形DEF的面积。
33
答
：
(1)
；(2) 3
3
。
______________________
4




7

由余弦的关系式求值

★★★☆☆

< br>设θ为锐角，且cosθ是方程式4x
2
－8x＋3＝0
的一根，求θ与sin θ＋tanθ之值。

解二次方程式4x
2
－8x＋3＝0，满足0＜x ＜1的x才
是cosθ，由此求出θ与sinθ，tanθ之值。
解：
4x
2
－8x＋3＝0，
( 2x－3 ) ( 2x－1 )＝0，
故x＝
3
2
或 x＝
1
2
。
但0＜cosθ＜1，故cosθ＝
1
2
，得θ＝60°。
于是sinθ＋tanθ＝sin60°＋tan60°
＝
3
2
＋
3

＝
33

2
。

设θ为锐角，且sinθ是方程式6x
2
－x－1 ＝0的
一根，求θ与tan
2
θ＋cos
2
θ之值。
解：
6x
2
－x－1＝0，
( 3x＋1 ) ( 2x－1 )＝0，
故x＝－
11
3
或x＝
2
。
但0＜sinθ＜1，于是sinθ＝
1
2
，得θ＝30°。
又tan
2
θ＋cos
2
θ＝tan
2
30°＋cos
2
30°
＝(
1
3
)
2
＋(
3
2
2
)
＝
1313
3
＋
4
＝
12
。

10

高中数学(三)学习讲义

设 θ为锐角，且cosθ是方程式2x
2
＋3x＝2的一根，求sinθ＋tan

53

之值。
答
：
。
_________
6
2


8

由几何方法求
15°
的正弦、余弦与正切

★★★★☆



作一直角三角形ABC，
使得∠C＝90°，
∠A＝15°，
如右图。另作 ＜配合课本习题B2＞
∠ABD＝15°，且D点在< br>AC
上，故得∠BDC＝30°，若
BC
＝1，求：
(1)
CD
、
AD
与
AB
之长。
(2) 15°的正弦、余弦与正切。
( 即sin15°、cos15°、tan15°之值 )

(1) 利用等腰三角形与30°－60°－90°直角三角形边长的关系求
CD
与
AD
，再利用勾股定理求
AB
。
(2) 利用正弦、余弦与正切的定义求之。
解：
(1) 直角△BCD中，
BC
＝1，
故
BD
＝2，
CD
＝
3
，
又
AD
＝
BD
＝2，由勾股定理得
AB
2
＝1
2
＋( 2＋
3
)
2
＝8＋4
3
，
于是AB＝
843

＝
(62)
2

＝
6
＋
2
。
(2) sin15°＝
cos15°＝



BC
AB
A C
AB
＝
＝
1
62
23
62
＝
62
，
4

＝

E
M
B
E
D

E
q
u
a
t

1-1 直角三角形的边角关系
11


如右图，△ABC之三内角为36°、72°、72°，且
AD
是∠BAC的平分线，
若
AB
＝1，求：
(1)
BC
之长。( 提示：作∠A CB的平分线交
AB
于E点，由△CEB～△ABC，求
BC
。)
(2) sin18°之值。
答
：
__________________ ________________________
(1)
BC
＝
1551
2
；(2) sin18°＝
4
。

3
正弦、餘弦與正切的關係

设∠A是锐角，则：

12

高中数学(三)学习讲义
(1) 商数关系：tanA＝
sinA
。
cosA
(2) 平方关系：sin
2
A＋cos
2
A＝1。
1
sin ( 90°(3) 余角关系：○－A )＝cosA。
2

cos ( 90°
○－
A )
＝
sinA
。

（南一版
P.8
～
P.9
）



设θ是
锐角，
若5sin
θ－
12cos
θ＝
0，
求sin
θ＋
cosθ
之值。

由
给
定
的
条
件
，
利
用
商
数
关
系
求
出
tan
θ
，
再
藉
此
求
sin
θ
，
cos
θ
之

9

由商数关系求值

★★★☆☆



设θ是锐角，若2sinθ－cosθ＝0，
求sinθ－cosθ之值。
解：
2sinθ－cosθ＝0
5
 2sinθ＝cosθ
sin

1
 ＝，
cos

2
即t
a
n
θ
＝
θ
2
1


E
M
B
E
D

E
q
u
a
t
i
o
n
.
D
S
M
T
4

1
2
，
于
是

1-1 直角三角形的边角关系
13

值
。
解：
5
s< br>i
1312
θ
n
θ
5
－
1
2
c
o
s
θ
＝
0



5
s
i
n
θ
＝
1
2
c
o
s
θ


sin

cos

＝
12
5
，

即
t
a
n
θ
＝
12
5
，

于
是
s
i
n
θ

14

高中数学(三)学习讲义
＝
12
13
，
c
o
s
θ
＝
5
13
，

故
s
i
n
θ
＋
c
o
s
θ
＝
12
13
＋
5
13
＝
17
13
。



设θ为锐角，若tan
2
θ－tanθ－2＝0，求
7
3sin< br>
cos

之值。
答
：
－ 。
___ _____
cos

5sin

9
★★★☆☆



10

利用平方关系与余角关系化简算式



设0°＜θ＜45°，试化简下列各式：
(1) ( sinθ＋cosθ)
2
＋( sinθ－cosθ)
2
。
(2) sin
2
( 45°＋θ)＋sin
2
( 45°－θ)。

(
1
(2) 余角关系与平方关系的综合应用。
)
22
解：
(1)

原式＝( sinθ＋2sinθcosθ＋cosθ)
利
＋( sin
2
θ－2sinθcosθ＋cos
2
θ)
用
＝2 ( sin
2
θ＋cos
2
θ)＝2×1＝2。
(2)＋θ)＋( 45°－θ)＝90°，
和
因 ( 45°
差
由余角关系知
－θ)＝cos ( 45°＋θ)，故
的
sin ( 45°
2
＋θ)＋cos
2
( 45°＋θ)＝1。
平
原式＝sin ( 45°

方
公

1-1 直角三角形的边角关系
15


设θ为锐角，且sin
2
θ＋sinθ＝1，求
1
1sin

－
1
1sin

之值。
答
：_____ 2 。



11

利用平方关系求值

★★★☆☆

16

高中数学(三)学习讲义
设θ为锐角，且cosθ＝sin
2
θ，
cos

cos

求 ＋ 之值。
1cos

1cos


先
将
cos

cos

解：
＋
所
1cos

1cos

求
cos

(1cos

)cos

(1cos

)

式
＝
(1cos

)(1cos

)
通
分
＝
2cos

＝
2cos

＝
2cos

＝2。

2
cos

sin
2

整
1cos

理
，
利
用
平
方
关
系
与
已
知
式


设α、β、γ、θ皆为锐角，已知cosα＝cosθsinγ，cosβ＝sinθsinγ，试求
cos
2
α＋cos
2
β＋cos
2
γ之值。答
：_____ 1 。


12

利用平方关系求值

★★★★☆

1-1 直角三角形的边角关系
17

设θ为一锐角，若sinθ－cos θ＝
5
设θ为锐角，且sinθcosθ＝
12
5
，试求下
25
，求下列各
列各值：
值：
(1) sinθcosθ。 (2) sinθ＋cosθ。
(1) sinθ＋cosθ。

(2) sinθ－cosθ。
(1) 将已知式两边平方，会出现sinθcosθ，再利用
解：
(1) ( sinθ＋cosθ)
2
平方关系加以整理。
＝sin
2
θ＋2sinθcosθ＋cos
2
θ
(2) 先求 ( sinθ＋cosθ)
2
再开方。
＝1＋2sinθcosθ
解：
(1) 由sinθ－cosθ＝
1
＝1＋2×
1249
5
，
25
＝
25
，
因sinθ＞0，cosθ＞0  sinθ＋cosθ＞0，
得 ( sinθ－cosθ)
2
＝
1
5
，
故sinθ＋cosθ＝
7
5
。
即1－2sinθcosθ＝
1
5

(2) ( sinθ－cosθ)
2
＝sin
2
θ－2sinθcosθ＋cos
2
θ
－2sinθcosθ＝－
4
＝1－2sinθcosθ
5
 sinθcosθ＝
2
5
。
(2) ( sinθ＋cosθ)
2
＝1＋2sinθcosθ
＝1－2×
121
25
＝
25
，
＝1＋2×
29
5
＝
5
，
故sinθ－cosθ＝±
1
5
。

得sinθ＋cosθ＝
35
5
。

(θ是锐角  sinθ＞0，cosθ＞0 )

设θ为锐角，若sin
4
θ＋cos< br>4
θ＝
1
2
，求sinθ＋cosθ之值。
答
：________
2
。




4
正弦、餘弦與正切的增減

1.当锐角θ递增时，正弦、余弦与正切的递增 ( 以↗表示 ) 或递减 ( 以↘表示 )，如下表所示：


sin
θ
cos
θ
tan
θ

↗

↘

↗


2.当θ为锐角时，sinθ＜tanθ。


（南一版P.10）




13

正弦、余弦与正切大小的比较

★★★☆☆


试比较sin50°、cos50°、tan50°三数的大小。
＜配合课本随堂练习＞

用余角关系将sin50°，cos50°化成同为正弦或同为余 弦再比较；用商数关系比较sin50°与tan50°的大小。

18

高中数学(三)学习讲义
解：
cos50°＝sin40°，
因
5
0
°
＞
4
0

°
，
故
s
i
n
5
0
°
＞
s
i
n
4
0
°
，
即
s
i
n
5
0
°
＞
c
o
s
5


sin50sin50
＞＝sin50°，
cos501
所以tan50°＞sin50°＞cos50°。
又tan50°＝

1-1 直角三角形的边角关系
19


1. 试比较sin25°、cos70°、tan65°的大小。
答
：________________________ tan65°＞sin25°＞cos70° 。
2. 试比较sin10°、cos10°、tan10°、sin80°、cos80°、tan80°的大小。 < br>答
：_________________________________________ _____ tan80°＞sin80°＝cos10°＞tan10°＞sin10°＝cos80° 。

20

高中数学(三)学习讲义

1-1

基本題

1. 设直角△ABC中，∠C＝90°，
AC
＝20，
BC
＝21，求：
sinA＝
________

21
29
，cosA＝
2021
________

29
，tanA＝
________

20
。



2. 在右图中，
AD
⊥
BC
，且
AB
＝30， sinB＝
412
5
，tanC＝
5
，
则
BC＝ 28 。


3. 设θ为锐角，已知sinθ＝
3
5
，试求
3tan

45
sin

cos

＝
________

28
。




4. 如右图，
BC
⊥
AC
，D在
AC
上，
AD
＝
BD
，
若sin ( ∠BDC )＝
12
13
，求tanA＝

2
______
3
。



5. 如右图，
AB
为直径，且
AB
＝10，P、C为圆上的点，
若sinθ＝
3
5
，求
PA
＋
PB
之值为 14 。




6. 如右图，
AE
＝5，
AD
＝4，
DE
＝3，求sinB＋cosB＋tanB
的值为
________

41
15
。

1-1 直角三角形的边角关系
21

7. 试求下列各式的值：
(1)
3
tan60°＋
2
sin45°－sin30°＝

7
______
2
。
(2)
cos60sin30 tan45
3
sin60tan30
＝

________
－
2
。


8. 试求sin
2
27.5°＋sin
2
62.5°之值＝ 1 。


9. 设θ是锐角，且tanθ＝3，试求
2sin

cos

5
2sin

cos

＝

______
7
。


10. 设θ为锐角，试求cos
2
θ( 1＋tan
2
θ) 的值＝ 1 。



挑戰題

11. 设△ABC中，∠C＝120° ，
AC
＝
BC
＝6，求△ABC的面积为

________
9
3
。



12. 设△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，若其三边长成等差数列，求sinB＝

3
______
5
。



13. 如右图，圆O为一单位圆，
AT
及
BS
分别切圆O于A、B点，
P Q
与
PR
分别垂直x轴、y轴于Q、R点，若
BS
＝
15< br>8
，求
矩形PQOR的周长为
________

46
17
。



14. 设θ为锐角，且c osθ＝tanθ，试求
1sin

1
＋
sin

1
＋
sin

－
1sin

＝ －4 。

22

高中数学(三)学习讲义
1
15. 设θ是锐角，已知sinθ－cosθ＝，试求下列各式的值：
3
17
4
(1) sinθcosθ＝
。 (2) sinθ＋cosθ＝ 。
________________
3
9
51717
(3) sin
3
θ＋cos
3
θ＝
。 (4) sin
4
θ－cos
4
θ＝
。
_____________________
279


16. 设α、β、θ、γ都是锐角，若sinα＝sinθcosγ，sinβ＝cosθcosγ，则
cos
2
α＋cos
2
β＋cos
2
γ之值＝ 2 。



大考題

17. 如右图，ABCD是边长 为1的正方形，在
AB
、
BC
、
CD
、
DA

四边上依序任取一点P、Q、R、S ( 皆非顶点 )。若PQRS是长方形
但不是正方形，下列叙述何者正确：
(A) △SAP与△PBQ相似 (B) △SAP和△QCR全等
(C)
PB
＝
QB

答
：
_____________
(A)(B)(C)。

(D) △PBQ的最大可能面积为
1

2



18. 右图是由三个直角三角形堆栈而成的图形，且
OD
＝8，问：
直角三角形OAB的高
AB
为何？
(A) 1
(B)
6
－
2

(C)
7
－1
(D)
3

(E) 2
答
：
_______
(D) 。


19. 如右图所示 ( 只是示意图 )，将梯子
AB
靠在与地面垂直的墙AC上，
测得与水平地面的夹角∠ABC为60°。将在地面上的底B沿着地面向
外拉51厘米到点F ( 即
FB
＝51厘米 )，此时梯子
EF
与地面的夹角
∠EFC 之正弦值为sin∠EFC＝0.6，则梯子长
AB
＝
________
17 0厘米。