三角形的概念
焊条电弧焊-青岛中山公园
三角形的概念（复习）
重 点 难 点 分 析
一、三角形的概念
三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成
的图形叫做三角形。
如图：△有三个顶点：点，点，点，
有三条边：， ，。
有三个内角：∠，∠，
∠。
还有三个外角：分别延长、、。所得∠、∠、
∠叫做三角形的外角。
三角形中边与角的位置关
系：如图，边叫做∠的对边，边
叫做∠的对边，边叫做∠的对边。、边叫做∠的邻边，、
边叫做
∠的邻边，、边叫做∠的邻边。
二、三角形的三条重要线段
.三角形的角平分线
三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与这个角
对边相交，这个角的顶点和交
点之间的线段叫做三角形的角平分线。
每一个三角形都有三条角平分线。且三条角平分线相交
于
一点，这点叫做三角形的内心，如图，如果、、
是△的角平分线，那么有：
分别
. 三角形的中线
三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶
点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线。
每一个三角形都有三条中线，且三条中线相交
于一点，这点叫做三角形的重心，如图。如果、、
分别是△的中线，那么有：
.三角形的高
三角形的高定义：从三角形的一个顶点向
它的对边画垂线，顶点和
垂足间的线段叫做三角形的高。
每一个三角形都有三条高线，三条高
线或延长线也
相交于一点，这点叫做三角形的垂心，如图，当△为锐
- 1 - 7
角三角形时，三条高都在三角形内部。如果、、是三角形的三条高，那
么有：⊥于
⊥于 ⊥于。
当△为直角三角形时，有两条高恰好是它的两条边，那边上的高是
边，边
上的高是边，边上的高是。
当△为钝角三角形时，有两条高在三角形的外部与两条边的延长线
相交，即：边上的高，边上的高为，边上的高是。
注意：三角形的角平分线，中线和高都是线段，在画图时不能画成
直线，射线。
三、三角形三条边的关系
.三角形按边分类：
不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形。等腰三角
形：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等边三角形： 三条边
都相等的三角形叫做等边三角形。
三角形按边的相等关系分类：
.三角形三边的关系：
对于任何一个三角形，如果把
任意两个顶点看作定点，联结这两个
定点的线有两条，一条是线段，另一条是折线，由公理“联接两点的
所
有线中，线段最短”得出：
如图
由此得出：
定理：三角形两边之和大于第三边。
推理：三角形两边之差小于第三边。
- 2 - 7
说明：定理及推论是指任意三角形三条边所具有的性质，同
时又说明只
有具有“两条线段之和大于第三条线段”或“两条线段之差小于第三条
线段”的三条
线段才能组成三角形图形，否则是组不成三角形的。例如：
三条线段的长分别为和，就不能组成三角形图
形，不信你自己动手试试。
四、三角形的内角和
.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于°。
此定理对任意三角形都成立，证明方法很
多，可用已学过的平行线
的性质，介绍几种添加辅助线的方法。
方法一：
如图，过△中的顶点作，由平行线的性质，可推出∠∠，
∠∠。因为∠∠∠°，所以∠∠∠°。
方法二：
，延长△中的到，过点作，由平行线的性质可推出∠∠，∠∠，因为
∠∠∠°，所以∠∠∠°。
方法三，如图，在△中边上任取一点，过点作交于，过点作交于，由平
行线的性质可推出：∠∠
， ∠∠，∠∠∠，因为∠∠∠°， 所
求∠∠∠°此定理是我们求三角形内角度数的重要途径。
.三角形按角分类
说明：
三角形有两种分类方法，一种是按边分类，另一种是按角分类，两种分
类方法分辩清楚。
.三角形内角和定理的推论
推论.直角三角形的两个锐角互余即：如图在△中，∠°那么∠∠°
推论.三角形的一个外角
等于和它不相邻的两个内角的和。即：如图∠是
△的一个外角，那么∠∠∠。
推论.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
即
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：如图∠是△的一个外角，那么∠>∠，∠>∠。
注意：三角形的任何一个
外角与相邻内角是邻补角，与不相邻的两个内
角和相等且大于任何一个不相邻的内角。应用时要搞清楚外
角与内角的
位置关系，正确运用。
五、应用举例
例.填空题：已知△中，则边的取值范围是。
分析：根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边、两边之差小于第
三边列出不等式。
解：∵<< ∴<<为所求
例.填空题：已知一个等腰三角形的两边分别是和，则它的周长是。
分析：若这个等腰三角形
的腰长为,则三边分别为，满足两边之和大于第
三边，若腰长为,则三边分别为，，也成立。
解：这个等腰三角形的周长为或。
例．已知一个等腰三角形的周长为，且三边长都是整数，求三边长．
思路分析：在△中，设，则
，即
∴
10BC
2
∵三边长都为整数，∴必为偶数
∴只能取，，，
对应()为，，，
∵，时，＜
与定理三角形两边之和大于第三边矛盾
∴此时△不存在
同理：，时，△也不存在
故△的三边长可能取值为：4cm，4cm，2cm或3cm，3cm，4cm
本例在求解过程中，
未告知哪两边相等，必须假设两边相等，将三个未知量转化为二
个，得出一个不定方程，进而根据正整数
性质分别得出四组解，然后再结合三角形三边关
系定理，把不合题意两组解除去．解题过程中，将矛盾不
断转化，分类进行求解，做到了
不重不漏．
例．如图，△的三条内角平分线相交于，⊥于，求证：∠
∠
思路分析：从题设及观察图形可知
∠°－∠（直角三角形两锐角互余）
°－
1
∠（角平分线定义）
2
∵∠∠∠°（三角形内角和定理）
∴∠°－∠－∠（移项）
∴∠°－
1
（°－∠－∠）（等量代换）
2
- 4 - 7
°－°
11
∠∠（去括号）
22
11
∠∠（合并同类项）
22
11
∵∠∠，∠∠（角平分线定义）
22
∴∠∠∠（等量代换）
∵∠∠∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
∴∠∠（等量代换）
本例从未知入手，结合图形及题设变换关系式，步
步变换，推理有据，一步步向预定
的目标推进，终于达到目的．这种思路是执果索因，沿着要什么，找什
么的思路去求索，
在求索的道路上，要观察图形，结合题设，联想定理，综合分析，有的放矢，求索道路
愈
来愈明朗化，趋近于要证的结论．这是我们求索几何思路十分有效的方法之一．同学们在
今后
学习与研究几何问题时，要有意识的这样求索，将会使你的数学素养不断提高，证题
能力达到一个新的层
次．
学习时应注意的问题
（）三角形的角平分线、中线和高是线段，而不是射线，也不是直线。
（）三角形两边的和大
于第三边。当>>>都能成立时，以、、为三边，可
以构成三角形。若是最长的线段，且有>，则以、、
为三边，可以构成三
角形。若是最短线段，且有>时，以、、为三边，可以构成三角形。
（）三角形的一个外角大于任一个与它不相邻的内角而不是三角形的外
角大于它的每一个内角。
专题测试
一、填空题
1.如图1-1-13，是△的角平分线，
那么有∠
1
∠ .
2
1
.
2
如图1-1-14，已知、、是三角形的三条中线，那 么
有
，
，
AF
2.如图1-1-15，已知∥，∠°，∠°，那么∠
.
3.在△中，，，那么 << .
4.如图1-1-16，已知在△中，、是、边上的高，、交于，图中
有
个直角三角形，它们是 .
- 5 - 7
图1-1-14 图 1-1-16图
5.在上题中，如果∠°，∠°，那么∠ ，∠ ，
∠
.
6.如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这种三角形有 个，
它们的周长分别是 .
7.已知在△中，∠∠∠，∠∠°，那么∠
，∠ .
二、选择题
.三角形的角平分线是（ ）
（）直线 （）线段 （）射线 （）垂线段
.在锐角三角形中，任意两个锐有的和一定大于（ ）.
（）° （）°
（）° （）°
.在△中，∠∠∠，那么这个三角形是（ ）.
（A）△ ()钝角△ （）锐角△ （）不能确定
.如图1-1-17，在△中，∠°，、分别是∠、∠的平分线，那么∠
的度数为（
）.
（）° （）° （）° （）°
.已知三角形三边长分别是、2a、，那么，实数的取值范 图1-1-17
围是（ ）.
（）<< （）<< ()<<
（）<<
.一个三角形的两边长分别是和，而第三边长为奇数，那么第三边长是（ ）.
（）或 （）或 （）或 （）
.下列说法中，正确的是（ ）.
A、 个锐角△，一定不是等腰△
、个等腰△，一定是锐角△
C、 直角△，一定不是等腰△
、个等边△，一定不是钝角△
.任意一个三角形的三个内角中，至少有（ ）.
（）一个锐角 （）一个钝角 （）两个锐角 （）一个直角
.三角形的一个角等于其它两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）.
（）等腰三角形（）锐角三角形 （）直角三角形（）钝角三角形
.如图1-1-18，已知△中，∠和∠的外角平分线交于，那么，
∠（ ）.
1
（°∠） （）°∠
2
1
（）（°∠）
（）°∠
2
（）
图1-1-118
三、解答、证明题
1.已知一个等腰三角形的周长是，腰长是底边长的三倍.求各边的
长.
- 6 -
7
2.如图1-1-19，已知在△中，是上一点，是上一点，、相交于点，∠°，∠
°，∠°.
求：∠和∠的度数.
图1-1-19
、如图1-1-20，已知在△中，∠°，∠°，平分∠，为边上的高.求∠的度数.
4、 图1-1-21，已知在△中，∠°，∠°，∠的平分线交于，
∠的平分线交于.
求证∥
图1-1-20
专题测试
一、填空题
.∠、∠ 、，
1
2
° << 、△、
△、△、△ °、°、° 、 °、° .<
二、选择题
1.； ； ； ； ； ； ； ； ；
三、解答、证明题
1.3cm、9cm、9cm
°、°
°
.【证】由已知可得出∠°，由∠∠°再得出∠°.
又∠∠°，
∴
∠∠，则∥
- 7 - 7
图