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全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例

《等差数列的前n项和公式》教案设计















设计者：关璐全
单位：广东佛山市顺德区养正西山学校
联系电话：

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选
《等差数列的前n项和公式》
教案设计

高中数学人教版必修五

一、 教案背景
1，面向学生： 高中 2，学科：数学
2，课时：1个课时
3，学生课前准备：
（1） 了解高斯相关故事，（2）复习等差数列的通项公式和应用。
. 1、在等差数列{
a
n
}中,已知
a
1
1a
2
a
4
2. 2、已知{
a
n
}为等差数列,且
a
72a
4
二、 教学课题
10a
n
39
则n等于_________
1a
3
0
则公差d等于____________
教学目标
1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和 公
式；了解倒序相加法的原理；
2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法， 渗透函数思想与方程（组）
思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作 交流、
独立思考等良好的个性品质．
教学重点和难点
本节教学重点是探索并掌握等 差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问
题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．

三、 教材分析

“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研 究如何应用倒序相加法求
等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见， 因此
等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和
也是数 列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的
研究问题方法．
现行的高中数学教材在引入等差数列的前项和这一节课中大都采用了高斯计算
作为引例.n起初,笔者觉 得从高斯求和引入,趣味性强、富有启发性,且学生通俗易懂,
容易把学生注意力和思维引入到首末凑配 上，但也有缺陷。教学时，应该引导学生
改进高斯的算法，为公式的获得埋下伏笔．


教学方法与学法

教法：讲授法.、探究法和讨论法
学法：自主、合作、迁移类比学习法
教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑.

四、 教学过程
（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验
高斯，德国著名数学家，不仅被誉为“数学王子”。
还是物理学家，天文学家大地测量学家
【百度搜索】http:
200多年前，高斯的算术教师提出了下面
的问题：1＋2＋3＋„+100＝？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项
相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅
速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋„„＋（50＋51）
＝101×50＝5050.
【设计意图】让学生了解到勤学多才，学习数学重要方法之一是善于观察，
[学情预设]高 斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性。教学时，应给学生
提供充裕的时间和空间，让学生自 己去观察、探索发现这种数列的内在规律。学生对
高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和 ，但估计学生对这种方法的认
识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下 三道由易
到难的问题．
（二）由易到难，在自主探究与合作中学习
问1：S
121
= 1+2+ ······ +120+121=？
可能出现的方法有
(1)S
121
= (1+2+ ······ +120)+121=(1+120)+(2+119)+·····+(60+61)+121
(2)S
121
= 1+2+ ······ +120+121=(1+121)+(2+120)+·····+(60+62）+61
以上方法 实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应
进行充分肯定与表扬． 【设计意图]】这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部
配对的问题，借 此渗透化归思想．
[学情预设] 学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇 数、
偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．
问题2：如图：表示堆放的钢管，共堆放了8层。请你计算钢管的总数。
问：你是怎么计算的？如果有100层呢？ 还是直接把各层钢管数加起来吗？
有没有更好的方法？（学生思考）

【设计意图】从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，
让学生领会从 特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改
进．借助几何图形的直观性，能启 迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加
法的出现提供了一个直接的模型．启发：（多媒体演示 ）
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
∵Sn=1 + 2 + 3 +„+120 +121
Sn=121 + 120 + 119 +„ +2 + 1
_____________________________________ __________________________
2Sn=(1+121) + (2+120) + (3+119) +„ +(120+2) + (121+1)
∴Sn=1+2+3+„+121= 61

121=7381
问题3： 在公差为
d
的等差数列{
a
n
}中，
定义前
n< br>项和
S
n
a
1
a
2
a
n
，如何求
S
n
？
由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：
S
n
a
1
a
2
a
n
(1)
S
n
a
n
a
n1

a
1
(2),但是学生要得到下面两个过程比较困难，特别是第（4）个式
子， 要引导学生从等差数列的定义出发而得到．
∵
S
n
a
1
(a
1
d)(a
1
2d)[a
1
(n1 )d]
（3）
∴
S
n
a
n
(a
n
d)(a
n
2d)[a
n
(n1)d]
（4 ） ∴（3）+（4）得
2S
n
(a
1
a
n
)(a
1
a
n
)

(a
1
a
n
)S
n


n
n(a
1
a
n
)
(公式一)
2
在（公示一）中利用梯形的面积公式
帮助我们记忆等差数列的公式

a
1
a
n

n



a
1
a
n



组织学生讨论：
在公式一中若将
a
n
a
1
(n1)d
代入又可得出 哪个表达式?即：
S
n
a
1
n
（公式二），并用梯形割 补法帮助记忆和理解。（即公式的几何意义）
如果把公式二整理得
S
n


n(n1)
d

2
d
2
1
n(a1
d)n
（公式三），在这里简单提及，我们
22

< br>可以在后面加深的练习题中来具体的介绍这个公式的模型实际上是缺少常数项的二
次函数，并且自 变量为正整数集．



（三）设置典例，促进学生对公式的应用
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教
师应通过适当的例子引 导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学
生恰当地选择合适的公式．
例1：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛
a
n
｝的Sn
（1）
a
1
5,a
n
95,n10
；（2）
a
1
1,a
n
120,d1
（3）
a
3
2,a
n
98,d2

【设计意 图】熟练选择和应用两个公式，（1）直接用公式（一）求解，（2）和（3）
结合通项公式求项数和首 项。再选择公式（一）或者公式（二）．

例2 为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计
划（单位：m）如下表：

问这个同学7天一共将跑多长的距离？
[设计意图] 学生可以从首项、末项、 项数出发，选用公式一；也可以从首项、公差、
项数出发，选用公式二，通过两种方法的比较，引导学生 在解题时注意选择适当的公
式，以便于计算．
例3 等差数列－10，－6，－2，2，„？
求(1)数列｛
a
n
｝的通项公式；
(2)数列｛
a
n
｝的前几项和为54 ？
[设计意图] 本例已 知首项，可以求出公差；并且已知前n项和、利用公式二求项数。
事实上，在两个求和公式中各包含四个 元素，从方程的角度，知三必能求余一．
例4：已知等差数列{
a
n
}
,S
n
55
,求n和d 1）
a
1
1,a< br>n
11
2)
a
1
1,S
8
172< br>，求d和
a
8

设计意图：1）可以使用公式一，先求出项数，再使用通项公式求d；
2）可以使用公式一和通项公式，联列方程组求解；
就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想．
例5：在等差数列｛
a
n
｝中，
（1）已知
a
2
a
5
a
12
a
15
36
，求S
16
。

（2）已知
S
11
66,求a
6
。
设计意图： 当已知条件不足以求首项
a
1
和公差d时，要认真观察，灵活应用性质，看
能 否用整体思想的方法求
a
1
a
n
．
（四）回顾反思，深化知识
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完 成课堂
小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．
1、从特殊到一般的研究方法；
2、体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思 想；
3、前n项和公式的函数意义；
4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式．
（五）巩固练习，实现学生对知识的掌握
1、等差数列｛
a
n
｝中，则S
20
=（ ）
A、150 B、300 C、600 D、1200
2、在等差数列{
a
n
}中，若S
12
= 8 S
4
，则
A、
a
1
（ ）
d
3 、一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角120
0
，公差为5
0
， 那 么这个
多边形的边数等于（ ）
A、12 B、16 C、9 D、 16或9
4、若数列｛
a
n
}的通项公式
a
n
=26-2n,若要使此数列的前n项和最大，则n 的值为
（ ）
A、12 B、13 C、12或13 D、14
[设计意图] 分层练习使学生在完成必修 教材基本任务的同时，拓展自主发展的空
间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学 生都可以获得成功的
喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念．

（六）布置作业
A：必做题：人教版必修5 课本46页，习题2.3A组第2题
B：选做题选做题 已知函数
f(x)
1092
B、 C、2 D、
9103
1
，求f（-5）+f（-4）+„„+f（0）+„„
x< br>22
+f（5）+f（6）的值．
教学反思
本节课以故事引课，增强学生 的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为
纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊（自然数的 100前项和）到一般（自然数
前121项和），再到一类（等差数列前几项和），循序渐进。通过类比 首尾配对求和方
法，借助几何直观，启发学生独立思考，讨论交流，对问题进行层层递进的探究，使

学生从不同的思维角度掌握了等差数列的前几项和公式，从中深刻领会推导过程所 蕴
涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培养了学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。通
过精选例 题，分层次练习，使学生既巩固了知识又形成了技能。在此基础上，通过民
主和谐的课堂氛围，培养学生 自主学习、合作学习的学习习惯，也培养了学生勇于探
索、不断创新的思维品质。必须指出的是，在用“ 首尾”配对法得到前几项和公式后，
如能对此方法做更深入分析，指出其实质是等差数列的重要性质—等 距性（即任意的
正整数m,n,p,q,若满足
mnpqa
m
an
a
p
a
q
）的应用。本节课实际应用练习
也相 对少些，若能多加些应用练习，能更好的培养学生建立数学模型的能力。提高学
生分析转化问题的能力， 本节课多公式3的应用几乎没有，应该在以后的加深拓展练
习中加以应用．

泰姬陵的故事
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃< br>所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇
迹之一。陵寝 以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成 ，共有100层（见下
图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？