臧克家有的人-育幼师

高中数学人教A版必修5
第二章 数列
2.2等差数列
2.2.1等差数列的概念及通项公式学案

【课前自主学习】
预习课本P36～38，思考并完成以下问题
(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？


(2)等差数列的通项公式是什么？


(3)等差中项的定义是什么？


【新知梳理•夯实知识基础】
1．等差数列的定义
如果一个 数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫 做等差数列的公差，通常用字母d表示．
[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与
前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前
项”，强调了：①作差的顺序 ；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，< br>否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个

a＋b
数满足的关系式是A＝
2
.
3．等差数列的通项公式
已知等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d.
递推公式
a
n
－a
n
－
1
＝d(n≥2)

[点睛] 由等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d可得a
n
＝dn＋(a
1
－d)，如果
设p＝d，q＝a
1
－d，那么a
n
＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，a
n
是关于
n的一次函数；当p＝0时，a
n
＝q，等差数列为常数列．
通项公式
a
n
＝a
1
＋(n－1)d(n∈N
*
)
【学练结合】
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列
是等差数列( )
(2)等差数列{a
n
}的单调性与公差d有关( )
(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( )
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列( )
解析： (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数
不全相等，则这个数列就不是等差 数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．
(3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．
(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数
列．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．等差数列{a
n
}中 ，a
1
＝1，d＝3，a
n
＝298，则n的值等于( )
A．98
C．99
B．100
D．101
解析：选B a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝3n－2，令a
n
＝298，即3n－2＝298⇒n＝100.
3．在等差数列{a
n
} 中，若a
1
·a
3
＝8，a
2
＝3，则公差d＝( )
A．1

B．－1

C．±1 D．±2

a
1
a
1
＋2d＝8，
解析：选C 由已知得，

解得d＝±1.

a
1
＋d＝3，
4．若log
3
2，log
3
(2
x
－1)，log
3
(2
x
＋11)成等差数列．则x的值为________．
解析：由 log
3
(2
x
＋11)－log
3
(2
x
－1)＝log
3
(2
x
－1)－log
3
2，得：(2
x
)
2
－4·2
x
－21
＝0，∴2
x< br>＝7，∴x＝log
2
7.
答案：log
2
7


【学以致用•探究解题方法】
题型一 等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
5
＝－1，a
8
＝2，求a
1
与d；
(2)已知a
1
＋a
6
＝12，a
4
＝7，求a< br>9
.
[解] (1)∵a
5
＝－1，a
8
＝2，

a
1
＋4d＝－1，

a
1
＝－5，< br>∴

解得



a
1
＋7d＝2，

d＝1.
(2)设数列{a
n
}的公差为d.

a
1
＋a
1
＋5d＝12，

a
1
＝1 ，
由已知得，

解得



a
1
＋3d＝7，

d＝2.
∴a
n
＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴a
9
＝2×9－1＝17.


[解题规律总结]
在等差数列{a
n
}中，首项a
1
与公差d是两个最基本的元素，有 关等差数
列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a
1
，d的关系 ，
列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.

[活学活用]
1．2 016是等差数列4,6,8，…的( )
A．第1 006项
C．第1 008项
B．第1 007项
D．第1 009项
解析：选B ∵此等差数列的公差d＝2，∴a
n
＝4＋(n－1)×2， a
n
＝2n＋2，

即2 016＝2n＋2，∴n＝1 007.
2．已知等差数列{a
n
}中，a
15
＝33，a
61
＝217，试判断153是不是这个数列
的项，如果是， 是第几项？
解：设首项为a
1
，公差为d，则a
n
＝a
1
＋(n－1)d，

a
1
＋15－1d＝33，
由已知


a
1
＋61－1d＝217，

a
1
＝ －23，
解得



d＝4.
所以a
n
＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， < br>令a
n
＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N
*
，所以 153是所给数列的第
45项.



题型二 等差中项的应用
[典例] 已知等差数列{a
n
}，满足a
2
＋a
3
＋a
4
＝18，a
2
a
3
a
4
＝66. 求数列{a
n
}的
通项公式．
[解] 在等差数列{a
n
}中，
∵ a
2
＋a
3
＋a< br>4
＝18，∴3a
3
＝18，a
3
＝6.

a
2
＋a
4
＝12，

a
2
＝11，< br>
a
2
＝1，
∴

解得

或


a
4
＝11，

a
2
·

a
4
＝1

a
4
＝11.

a< br>2
＝11，
当

时，a
1
＝16，d＝－5. 
a
4
＝1
a
n
＝a
1
＋(n－1) d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.

a
2
＝1，
当

时，a
1
＝－4，d＝5.
a＝11

4< br>a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.




[解题规律总结]
三数a，b，c成 等差数列的条件是b＝
a＋c
(或2b＝a＋c)，可用来进行
2

等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{
a
n
}为等差数列，可证
2
a
n
＋1
＝
a
n< br>＋
a
n
＋2
(
n
∈N
*
).

[活学活用]
1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分 别为________，________，
________.
解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，

8＋2＝2a，
所以

a＋b＝2×2，

2＋c＝2b.


a＝5，解得

b＝－1，

c＝－4.


答案：5 －1 －4


1


2．已知数列{a
n}中，a
3
＝2，a
7
＝1，且数列

a＋1

为等差数列，则

n


a
5
＝__ ______.
7
a
5
＝
5
.

1< br>


112

解析：由数列
a＋1
为等差数列，则有＋＝，可解得
a
3
＋1a
7
＋1a
5
＋1


n

7
答案：
5


题型三 等差数列的判定与证明
41
[典例] 已知数列{a
n
}满足a
1
＝4，a
n
＝4－(n>1)，记b
n
＝.求证：数
a
n
－
1
a
n
－2
列{b
n
}是等差数列．
证明：[法一 定义法]
11a
n
∵b
n
＋
1
＝＝＝，
4

a
n
＋
1
－2

2a
n
－ 2

4－
a

－2

n

a< br>n
－2
a
n
11
∴b
n
＋
1
－b
n
＝－＝＝
2
，为常数(n∈N
*
)．
2 a
n
－2a
n
－22a
n
－2
11
又b
1
＝＝
2
，
a
1
－2
11
∴数列{b
n
}是首项为
2
，公差为
2
的等差数列．
[法二 等差中项法]

1
∵b
n
＝，
a
n
－2
11a
n
∴b
n
＋
1
＝＝＝.
4

a
n
＋
1
－2

2a
n
－2

4－
a

－2

n

a
n
＋1
a
n
－1
n
∴b
n
＋
2
＝ ＝＝.
4
2a
n
＋
1
－2

a< br>n
－2
2

4－
a
－2

n
a
n
－1
1a
n
∴b
n
＋b
n
＋
2
－2b
n
＋
1
＝＋－2×＝0.
a
n
－2a
n
－22a
n
－2
∴b
n
＋b
n
＋
2
＝2b
n
＋
1
(n ∈N
*
)，
∴数列{b
n
}是等差数列．
4
4－
a

[解题规律总结]
等差数列判定的常用的2种方法
(1)定义法：a
n
＋
1
－a
n
＝d(常数)(n∈N
*
)⇔{a
n
}为等差数列
(2)等差中项法：2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋
2
(n∈N
*
)⇔{a
n
}为等差数列

[活学活用]
111
已知
a
，
b
，< br>c
成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a
＋c)， lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
111211
解：∵
a，
b
，
c
成等差数列，∴
b
＝
a
＋< br>c
，
2
a＋c
∴
b
＝
ac
，即2ac＝b(a＋c)．
(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)
2
－2b(a＋c)＝(a＋c)
2
－2×2ac＝a
2
＋c
2
＋2ac－4ac
＝(a－c )
2
.
∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，l g[(a＋c)(a
＋c－2b)]＝lg(a－c)
2
，即lg(a＋c)＋lg( a＋c－2b)＝2lg(a－c)，
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．