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整数问题（好题选）1

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整数问题（好题选）1


一．解答题（共30小题）
1．求方程2x
2
﹣7xy+3y
3
=0的正整数解．

2．若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数．

3．有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50，求这个数．

4．满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是？

5．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余 数为
4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有哪些？

6．设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．

7．证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．

8．已知n是正整数，且n﹣16n+100是质数，求n的值．

9．p是质数，p
4
+3仍是质数，求p
5
+3的值．

10．设n是大于1的正整数，求证：n
4
+4是合数．

2
11．是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px﹣qx+p=O有有理数根？

12．设a，b，c，d为正整数，并且ab=cd，试问a+b+c+d能不为质数？

13．试证明：形如111111+9×10
n
（n为自然数）的正整数必为合数．

14．求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．

15． 令a，b，c为整数，并且满足a+b+c=0．假设d=a
1999
+b
1999< br>+c
1999
．请问：
（a）有没有可能d=2？
（b）有没有可能d是个质数？
（大于1的整数，如果只有1及本身的因子，称它为质数．）

16．求所有的素数对（p，q），使得pq|5
p
+5
q
．

17．小于10且分母为36的最简分数有多少个？

18．已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程
（1）求a的最小值；
（2）当a达到最小时，解这个方程．

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42
有两个相等的实数根．

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19．已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．

20．自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有 _________
个．

21．求336与1260的最大公约数和最小公倍数．

22．甲、乙、丙三人 到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他
们三人在李 老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？

23．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：
①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；
②对于点（a，b），如 果a＞b，则能从（a，b）跳到（a﹣b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b﹣a）．
例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．
请你思考：这只青蛙按照规定的两种方 式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定
点的路径；如果不能，请说 明理由．
（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．

24．如图，一个圆圈上有n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆 时针方向将一枚棋子跳动，每步
跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能 跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，
结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆 圈上一共有多少个孔？


25．已知x、y为正整数，且满足xy﹣（ x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求
所有这样的数对（x，y ） （x≥y ）．

26．有很多种方法可以将2001写成25个自然数之和，对于每一种 写法，这25个自然数均有相应的最大公约数，
那么这个最大公约数的最大值是多少？

27．两个正整数最大公约数是7，最小公倍数是105．求这两个数．

28．已知两个数的和是45，他们的最小公倍数是168，求这两个数．

29．1到100中，与100互质的所有自然数之和是多少？（配对）

30．三个自然数的最大公约数是10，最小公倍数是100，满足要求的三数组共有多少组？

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整数问题（好题选）1

参考答案与试题解析


一．解答题（共30小题）
1．求方程2x﹣7xy+3y=0的正整数解．

考点： 高次方程．
805188
23
专题： 计算题．
分析： 将原方程看作是关于x的一元二次方程，则△≥0，据此可以求得y的取值范围，从而求得y的正整数解；然后根据y的正整数解来求x的整数解．
23
解答：
解：∵方程2x﹣7xy+3y=0有正整数解，
∴△=49y
2
﹣24y
3
=y
2
（49﹣24y）≥0，且y＞0，
解得，0＜y≤；
∴y=1或y=2；
①当y=1时，原方程化为
2x
2
﹣7x+3=0，即（2x﹣1）（x﹣3）=0，
解得，x=（舍去），或x=3；
∴原方程的解是：

②当y=2时，原方程化为
；
2x
2
﹣14x+24=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得，x=3或x=4；
∴原方程的解是：；．
点评： 本题考查了高次方程的解 法．通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一
般要降次，即把它转化成 二次方程或一次方程．

2．若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数．

考点： 带余除法；质数与合数．
专题： 计算题．
805188
分析： 因为求n除以3 所得的余数，所以设n=3k（k是一个非负整数），然后将其代入n+3和n+7，并由n+3与n+7
都是质数对其进行论证．
解答： 解：∵n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．
①若余数为0，即n=3k（k是一个非负整数，下同），则n+3=3k+3=3（k+1），所以3|n+3 ，又3≠n+3，故n+3
不是质数，与题设矛盾．
②若余数为2，且n=3k+2，则n+ 7=3k+2+7=3（k+3），故3|n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．
所以n除以3所得的余数只能为1．
点评： 本题考查了关于质数与合数及带余数除法的题目 ．一个整数除以m后，余数可能为0，1，…，m﹣1，共m
个，将整数按除以m所得的余数分类，可以 分成m类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，
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一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余 数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可
将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的 三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想
方法，有着广泛的应用．

3．有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50，求这个数．

考点： 带余除法．
805188
分析： 根据题意，70+110+160﹣50 一定是这个整数的倍数，由于三个余数的和为50，从而可知这个整数比50要
小，可把这个整数的倍数 写成几个数的乘积的形式，其中一个数一定要小于50，列式解答即可得到答案．
解答： 解：70+110+160﹣50
=180+160﹣50，
=340﹣50，
=290，
因为：2×5×29=290，
58×5=290，
因为这个整数不能为2、5、10，只能为58或29，
110÷58=1…52，不符合题意，故舍去；
70÷29=2…12，
110÷29=3…23，
160÷29=5…15，
12+23+15=50．
答：这个数为29．
点评： 此题考查了带余除法，解答此题的关键是确定几个被除数相加再 减去余数的和是这个除数的倍数，然后再
根据余数和为50确定除数的范围即可．

4．满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是？

考点： 带余除法．
805188
分析： 从题中可以看出这个数加2就能被3，4 ，5，6整除，所以要先求3，4，5，6的最小公倍数，6是3的倍数，
求4，5，6的最小公倍数， 是60，再用这个数减2，可知最小为58．
解答： 解：∵4=2×2，6=2×3，
∴3、5、4和6的最小公倍数是2×3×2×5=60，
∴60﹣2=58．
答：满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是58．
点评： 此题主要考查应用最小公倍数的知识解决实际问题的能力，注意求最小公倍数时，把它们分解质因数后，
把公有的质因数和独有的质因数连乘所得的积就是它们的最小公倍数．

5．数119很奇 特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为
4； 当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有哪些？

考点： 带余除法．
805188
分析： 被2除余1；被3除余2；被4除余3；被5除余4；被6除余5，就是 这个数加上1能同时被2、3、4、5、
6整除，即这个数同时是2、3、4、5、6的倍数，先找出2 、3、4、5、6的最小公倍数60，设这个数为60x
﹣1，然后分析是三位数的即可．
解答： 解：这个三位数加上1，就能同时被2、3、4、5、6整除，即这个数同时是2、3、4、5、6的倍数，
而2、3、4、5、6的最小公倍数是60，设这个数为60x﹣1．
根据3位数的条件有：100≤60x﹣1≤999，
解得：2≤x≤16，
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因为这些三位数是60x﹣1，2≤x≤16，
所以这些三位数是119，179，239， 299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959． < br>故具有这种性质的三位数还有179，239，299，359，419，479，539，599，65 9，719，779，839，899，959．
点评： 此题考查了带余除法，解答本题关键是由被 2除余1；被3除余2；被4除余3；被5除余4；被6除余5，
就是这个数加上1能同时被2、3、4 、5、6整除．然后找出2、3、4、5、6的最小公倍数60，设这个数为
60x﹣1，进行分析是三 位数的一共几个．

6．设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．

考点： 质数与合数．
805188
专题： 探究型．
分析： 先根据已知条件判断出r是奇数，再根据p+q=r可判断出p，q为一奇一偶，根据在所有偶数中只有2是质< br>数可求出答案．
解答： 解：∵r=p+q，
∴r不是最小的质数，从而r是奇数，
∴p，q为一奇一偶，
∵p＜q，
∴p既是质数又是偶数，
∴p=2．
故答案为：2．
点评： 本题考查的是质数与合数、奇数与偶数的定义，解答此类题目时要注 意在所有偶数中只有2是质数这一特
点．

7．证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．

考点： 质数与合数．
805188
专题： 证明题．
分析： 用（a，b）表示自然数a，b的最大公约 数，如果（a，b）=1，那么a，b称为互质（互素），所以（n！，n！
﹣1）=1．
解答： 证明：首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为（a，a﹣1）=（a，1）=1，
于是有（n！，n！﹣1）=1，
由于不超过n的自然数都是n！的约数，
所以不 超过n的自然数都与n！﹣1互质（否则，n！与n！﹣1不互质），于是n！﹣1的质约数p一定大于
n，即n＜p≤n！﹣1＜n！，
所以，在n与n！之间一定有一个质数．
点评： 本题主要考查了质数与合数的概念，在解题时，首先要明确相邻的两个自然数是互质的．

8．已知n是正整数，且n
4
﹣16n
2
+100是质数，求n的值．

考点： 质数与合数．
专题： 探究型．
805188
分析： 从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积（也可从整除的角度看），故对原式进行恰当的分解
变形，是解本例的最自然的思路．
解答：
解：∵n
4
﹣16n
2
+100=n
4
+20n
2
+100﹣36n
2
=（n
2
+6n+10）（n
2
﹣6n+10），
∵n+6n+10≠1，而n﹣16n+100为质数，
∴n
2
﹣6n+10=1，即|（n﹣3）
2
=0，
解得n=3．
故答案为：3．
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点评： 本题考查的是质数的定义，即质数 就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，
这种整数叫做质数．

9．p是质数，p
4
+3仍是质数，求p
5
+3的值．

考点： 质数与合数．
专题： 探究型．
805188
分析：
先根据p是质数，p
4
+3为质数可判断出p
4
必为偶数，再根据所有偶数中 只有2是质数判断出p=2，代入所
求代数式即可求出p+3的值．
解答： 解：∵p是质数，
∴p
4
+3＞3
又∵p
4
+3为质数，
∴p+3必为奇数，
∴p
4
必为偶数，
∴p必为偶数．
又∵p是质数，
∴p=2，
∴p+3=2+3=35．
故答案为：35．
点评： 本题 考查的是质数与合数，奇数与偶数的相关知识，熟知所有偶数中只有2是质数这一结论是解答此题的
关键 ．

10．设n是大于1的正整数，求证：n+4是合数．

考点： 质数与合数．
805188
5
4
55
4
专题： 探究型．
分析：
先把n
4
+4进行因式分解，再由n是大于1的正整数求出两个因数 中较小的一个大于1即可．
解答：
证明：我们只需把n
4
+4写成两个大于1的整数的乘积即可，
n
4
+4=n
4
+4n
2
+4﹣4n
2
，
=（n
2
+2）
2
﹣4n
2
，
=（n
2
﹣2n+2）（n
2
+2n+2），
因为n2
+2n+2＞n
2
﹣2n+2=（n﹣1）
2
+1＞1，
所以n
4
+4是合数．
点评： 本题考查的是质数的定义，即在一个大于1 的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除
的数叫质数．

11 ．是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px
2
﹣qx+p=O有有理数根？

考点： 质数与合数；根的判别式．
805188
专题： 探究型．
222
分析：
先设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q﹣4p=n，再把 此方程化为完全平方的形式，再根据q﹣
n与q+n同为偶数列出关于n、p、q的方程组，用p表示出 q，再根据q﹣n与q+n同为偶数而p．q为质数
可知p=2，代入关于p、q的式子，求出符合条件 的p、q的对应值，代入原方程求出方程的根，再根据有理
数的概念进行解答即可．
222
解答：
解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q﹣4p=n，
规定其中n是一个非负整数．则（q﹣n）（q+n）=4p
2
．（5分）
由于1≤q﹣n≤q+n，且q﹣n与q+n同奇偶，故同为偶数，
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因此，有如下几种可能情形：、、、、
消去n，解得
对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；
对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；
对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当p=2，q=5时，方程为2x﹣5x+2=0，它的根为
2
．（10分）
，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．（15分）
点评： 本题考查的是质数与合数的概念、根的判别式、奇数与偶数，涉及面较广，难度较大．

12．设a，b，c，d为正整数，并且ab=cd，试问a+b+c+d能不为质数？

考点： 质数与合数．
805188
专题： 证明题．
分析： 证明一个数为合数时，一定要注意其因数大于1．
解答： 解：由于ab=cd，故由质因数分解定理，
存在正整数c
1
，c
2
，d
1
，d
2
，使得d=d
1
d
2
，a =c
1
d
1
，b=c
2
d
2
，
于是a+b+c+d=（c
1
+d
2
）（c
2
+d
1
）为合数．
全解2：由于a+b+c+d=a+b+c+=为整数，
从而存在整 数c
1
，c
2
，使c=c
1
c
2
，
且均为整数，
将它们分别记作k与m，由a+c＞c≥c
1
，b+c＞c≥c
2
，
得k＞1，且m＞1，从而a+b+c+d=km为合数，
即不可能为质数．
点评： 本题主要考查的质数与合数的概念，在解答此题时，首先要熟练掌握质因数分解定理．

13．试证明：形如111111+9×10
n
（n为自然数）的正整数必为合数．

考点： 质数与合数．
805188
专题： 证明题．
分析：
因为111111=3×37037，9×10
n
=3×3×10
n
，所以111111+9×10
n
=3×（37037+3×10
n
）（n为 自然数）能被3整除，
所以根据合数的定义可知形如111111+9×10
n
（n为 自然数）的正整数必为合数．
解答：
证明：∵111111=3×37037，9×10< br>n
=3×3×10
n
，
∴111111+9×10
n
=3×（37037+3×10
n
），
∴3|111111+9×10
n
（n为自然数），
n
∴形如111111+9×10（n为自然数）的正整数必为合数．
点评： 本题主要考查的是合数的定义．一个数除了1和它本身以外还有别的因数（第三个因数），这个数叫做合数．

14．求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．

考点： 质数与合数．
805188
专题： 探究型．
分析： 这是一个找符合条件的质数问题．由于质数分布无一定规律，因此从最小的质数试验起．希望能找到所求
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的质数，然后再加以逻辑的证明．
解答： 解：因为2+10=12，2+14=16，所以质数2不适合；
因为3+10=13，3+14=17，所以质数3适合；
因为5+10=15，5+14=19，所以质数5不合适；
因为7+10=17，7+14=21，所以质数7不适合；
因为11+10=21，11+14=25，所以质数11不适合；
…
把正整数按模3同余分类．即：3k﹣1，3k+1（k为正整数）．
因为（3k﹣1）+1 0=3k+9=3（k+3）是合数，（3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合数，
所以3k﹣1和3k+1这两类整数中的质数加上10和14后不能都是质数，
因此，在3k﹣1和3k+1两类整数中的质数加上10和14后当然不能都是质数．
对于3k这类整数，只有在k=1时，3k才是质数，其余均为合数．
所以所求的质数只有3．
故答案为：3．
点评： 本题考查的是质数与合数的概念，熟知质数与合数的概念是解答此题的关键．

15．令a ，b，c为整数，并且满足a+b+c=0．假设d=a
1999
+b
1999
+c
1999
．请问：
（a）有没有可能d=2？
（b）有没有可能d是个质数？
（大于1的整数，如果只有1及本身的因子，称它为质数．）

考点： 质数与合数．
专题： 探究型．
805188
分析： （1）若a、b、c中有一个正数大于等于2，则d将超过2，再由a+b+c=0可知，a+b=﹣c，由于a ，b，c为
整数，若d=2，则a、b、c中必有一正一负两个数，由于a、b、c为整数，故d=2不 成立；
（2）若d为质数，则a
1999
、b
1999
、c
1999
的和为质数，若a为正数，则b+c为负数；若a为0，则b、c互
为相反数．
解答： 解：（1）∵a+b+c=0，
∴a+b=﹣c，
∵若d=2，则a、b、c中必有一正一负两个数，
∵a，b，c为整数，
∴a< br>1999
+b
1999
+c
1999
=2不可能成立． （2）在d=a
1999
+b
1999
+c
1999
中 ，
a为0，则b、c互为相反数时，
d=0，不是质数；
a为正数，则b+c为负数，
d可能为质数．
点评： 此题考查了关于质数的相关运算，要分类讨论，不要漏解．

16．求所有的素数对（p，q），使得pq|5
p
+5
q
．

考质数与合数．
805188
点：
专证明题．
题：
分注意素数即是质数，可以从小到大，利用列举法求解即可．首先设p为2，可得（2，3），（2，5 ）合乎要求；
析： p为大于2的数时，可知pq为奇数，分析可得符合条件的素数对有（5，5）当、 （5，313）合乎要求，因为是有
序数对，所以（3，2），（5，2），（313，5）也符合要求 ．
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解< br>解：若2|pq，不妨设p=2，则2q|5
2
+5
q
，故q|5q
+25．
q
答：
∵q|5﹣5，
∴q|30，即q=2 ，3，5．易验证素数对（2，2）不合要求，（2，3），（2，5）合乎要求．
若pq为奇数且5 |pq，不妨设p=5，则5q|5
5
+5
q
，故q|5
q1
+625．
﹣
当q=5时素数对（5，5）合乎要求，当q≠5时，由Fermat小定理 有q|5
q1
﹣1，故q|626．由于q为奇素数，而
626的奇素因子只有313 ，所以q=313．经检验素数对（5，313）合乎要求．
﹣﹣﹣﹣
若p，q都不等于2和 5，则有pq|5
p1
+5
q1
，故5
p1
+5
q 1
≡0（bmodp）．①
﹣
由Fermat小定理，得5
故由①，②得5
k
q
﹣
1
p
﹣
1
≡1（bmodp），②
l
≡﹣1（bmodp）．③
设p﹣1=2（2r﹣1），q﹣1=2（2s﹣1），其中k，l，r，s为正整数．
若k≤l，则由②，③易知
，
这与p≠2矛盾！所以k＞l．
同理有k＜l，两结论矛盾，即此时不存在合乎要求的（p，q）．
综上所述，所有满足题目要求的素数对（p，q）为：
（2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（5，5），（5，313）及（313，5）．
点此题考查了学生对质数意义的理解，还有对有序数对含义的理解．解此题的关键是分类讨论思想的应用 ，注意
评： 要不重不漏的表示出所有答案．

17．小于10且分母为36的最简分数有多少个？

考点： 质数与合数．
分析：
最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此先在0～1内找，最简 分数有：
805188
、、、
、、、、、、、、，共有12个，然后乘以10即可找出 小于10且分母为36的最
简分数有多少个，据此解答．
解答：
解：0～1中分母是36的最简分数有：
12个，
1～2中分母是36的最简分数有：（即1+
1+）、
（即1+
…
以此类推，可得小于10且分母为36的最简分数有12×10=120个．
答：小于10且分母为36的最简分数有120个．
点评： 本题考查了质数与合数的知识及 最简分数的定义，解答本题的关键是先找出0～1中分母是36的最简分数，
然后数出个数乘以10即可 ．

18．已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程
（1）求a的最小值；
（2）当a达到最小时，解这个方程．
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、、 、、、、、、、、、，共有
）、
（即1+
（即1+
）、
）、
（即1+
（即1+
）、
）、
（即1+
（即1+
）、
）、
（即1+
（即
）、（即1+）、（即1+）、
），共有12个，
有两个相等的实数根．

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考点： 质数与合数；根的判别式．
分析：
（1）首先由方程
805188
有两个 相等的实数根，可得：△=5（a+1）﹣900（b+c）
2
=0，即可得到：（a+1）< br>2
=2
2
×3
2
×5（b+c），则可求得a+1的最小值， 得到a的最小值；
（2）将最小值代入方程，求解即可．
解答：
解：（1）∵方程
∴△=5（a+1）﹣900（b+c）=0，
∴（a+1）=2×3×5（b+c），
∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为5
2
×2
2
，
∴a+1的最小值为60，
∴a的最小值为59；

（2）∵a=59时，b+c=20，
则原方程为：20x
2
+60
解得：x=﹣．
x+225=0，
222
2
有两个相等的实数根，
点评： 此题考查了一元二次方程的判别式和质数的意义．解此题的关键是抓住判别式△=0．

19．已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．

考点： 质数与合数；勾股定理．
805188
专题： 计算题．
分析：
首先假设存在，设另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数，然后根据题 意可得：p
2
+x
2
=y
2
，即
可得：（y+x） （y﹣x）=p
2
，又由p为素数，讨论分析即可求得．
解答： 解：假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．
由勾股定理得p
2
+x
2
=y
2
．
化为（y+x）（y﹣x）=p
2
．
因为p为素数（也称质数），且y+x＞y﹣x，
所以只有
从而．
若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；
若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．
综上所述，可知：p为偶素数2时，满 足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且
另一条直角边长为．
点评： 此题考查了素数的意义和勾股定理等知识．难度较大，要注意分类讨论思想的应用．

20．自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有 4 个．
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考点： 质数与合数．
专题： 计算题．
805188
分析： 根据个位数字与十位数字都是质数，可得这个两位质数的个位数字和十位数字只能是：2、3、5、7．
解答： 解：因为N是质数，且其个位数字和十位数字都是质数，那么十位数字和个位数字只能是：2、3、5、7，
所以符合题意的两位数质数有：23，37，53，73，有4个；
答：这样的自然数有4个．
故答案为：4．
点评： 此题考查了质数的灵活应用， 理解十位数字与个位数字都是质数的两位质数是由：2、3、5、7组成的是本
题的关键．

21．求336与1260的最大公约数和最小公倍数．

考点： 约数与倍数．
805188
专题： 计算题．
分析： 利用分解质因数法来解答．把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫做分解质因数．
解答： 解：∵336=2
4
×3×7，1260=2
2
×3
2
×5×7，
∴336和1260的最大公约数为：2×3×7=84；
336和1260的 最小公倍数为：2
4
×3
2
×5×7=5040．
点评： 本题主 要考查了最大公约数与最小公倍数的求法．①求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，
即 ：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数． ②在计算多个数的
最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下．最后把所有约数
和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数．

22．甲、乙、丙三人到李老师那里求 学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他
们三人在李老师处见面，那 么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？

考点： 约数与倍数．
805188
2
专题： 应用题．
分析： 根据已知条件先求出他们再等多少天才能重逢，然后根据所求的数据推算它是几月几日．
解答： 解：∵甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，
∴他们下一次见面需隔的天数是6、8、9，
又∵6、8、9的最小公倍数是72，
∴他们再在72后相见，即在10月28日再次见面．
点评： 本题考查的是最大公约数与最 小公倍数的应用题．最小公倍数的性质：①两个自然数的最大公约数与最小公
倍数的乘积等于这两个数的 乘积，且最小公倍数是最大公约数的倍数，即：如果（a，b）=d，[a，b]=m，
那么，dm=a b，且d|m；②如果一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公
倍数 整除，或者说，一些数的公倍数一定是这些的最小公倍数的倍数，即：若[a
1
，a
2
，a
3
，…．a]=m，而a
1
|N，
a
2
|N，…a
n
，那么m|N．

23．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：
①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；
②对于点（a，b），如 果a＞b，则能从（a，b）跳到（a﹣b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b﹣a）．
例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．
请你思考：这只青蛙按照规定的两种方 式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定
点的路径；如果不能，请说 明理由．
（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．
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考点： 约数与倍数．
专题： 推理填空题．
805188
分析： 根据题目要求及两个规则，可以得到，a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数．
所以由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．
又由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．
所以而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．
由此可排除不能到达的点．
解答： 解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．
从（1，1）出发到（3，5）的路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）
→（3，4）→（3，8）→（3，5）．
从（1，1）出发到（200，6）的路径为：
（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）
→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）
→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）；

（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．
理由如下：
∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，
∴由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．
∵如果a＞b，a和b的最大公约数=（a﹣b）和b的最大公约数，
如果a＜b，a和b的最大公约数=（b﹣a）和b的最大公约数，
∴由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．
从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．
∵1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．
∴从（1，1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．
点评： 此题主要 考查了学生对公约数及公约奇数的理解和掌握，此题解题的关键是着重分析规则运用公约数解
答．此题较 难，是好题，能培养学生的分析判断能力．

24．如图，一个圆圈上有n （n＜100 =个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步
跨过若干个孔，希望跳一圈 后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，
结果还是跳到B；最 后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？


考点： 约数与倍数．
专题： 应用题．
805188
分析： 根据题意知，n是3、5、7的倍数，所以问题就转化为求3、5、7的最小公倍数的问题．
解答： 解：依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3|n﹣1；
每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因 此，有5|n﹣1；
又每步跳过6个孔时，可回到A孔，这表明7|n．
因（3，5）=1 ，故15|n﹣1．因n＜100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍 数，
故n=91，即圆圈上有91个孔．
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点评： 本题主要考查了关于最小公倍数的应用题．提取公 因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是：
（1）先提取出这几个数的最大公因数，可以分 次提取（此时所得的商互质，但不一定两两互质）；（2）再
在不互质的商中提取公因数，其他商照写下 来，直到各商两两互质为止；（3）最后把提取出的各数及各商
数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公 倍数．

25．已知x、y为正整数，且满足xy﹣（ x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求
所有这样的数对（x，y ） （x≥y ）．

考点： 约数与倍数．
专题： 计算题．
805188
分析： 此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）．解 方程k（y﹣2）=3；②当x不是y的倍数
时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp． 解方程abp﹣1=（a﹣1）（b﹣1）即可．
解答： 解：①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）．
则由原方程，得
ky•y﹣（ky+y）=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky﹣（k+1）=2+k，
∴k（y﹣2）=3，
当k=1时，x=5，y=5；
当k=3时，x=9，y=3；
∴，；

②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式
得：abp﹣（ap+bp）=2p+abp，即abp﹣1=（a+1）（b+1）
当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件；
当p＞1时，abp≥2ab﹣1=ab+（ab﹣1）≥ab＞（a﹣1）（b﹣1）
此时，abp﹣1=（a﹣1）（b+1）不满足条件；
综上所述，满足条件的数对有：，．
2
点评： 本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数．由于两个数的乘积等于这两个数的最大 公约数与最小公倍数
的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以 先求出它们的最大公约数，然后用
上述公式求出它们的最小公倍数．

26．有很 多种方法可以将2001写成25个自然数之和，对于每一种写法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这个最大公约数的最大值是多少？

考点： 约数与倍数．
分析： 根据 2001=3×23×29=69×（1×24+5），即2001可写成：24个69、1个69×5=345 的和，或23个69、1个69×2=138，
805188
1个69×4=276的和，或2 3个69、2个69×3=207的和，或22个69、2个69×2=138，1个69×3=207的和，< br>或21个69、4个69×2=138的和，这25个自然数的最大公因数必定能整除3×23×29．这 些公因数中的最大
值不可能超过3×29=87，否则这25个之和必定大于2001，所以最大值是3 ×23=69，它们的最大公因数都是
69．
解答： 解：因为2001=3×23×29=69×（1×24+5），
从 69×（1×24+5）可以看题目需要分多少份（本题是25份），
可以是：24个69、1个69 ×5=345的和，或23个69、1个69×2=138，1个69×4=276的和，
或23个6 9、2个69×3=207的和，或22个69、2个69×2=138，1个69×3=207的和，或21个 69、4个69×2=138
的和，
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不管是那种情况，25个数中要么是69，要么是69的倍数，
所以他们的最大公因数都是69．
答：这个最大公因数的最大值是69．
点评： 此题主要考查公因数和公倍数问题，注意根据分解质因数情况确定多个数的最大公因数情况．

27．两个正整数最大公约数是7，最小公倍数是105．求这两个数．

考点： 约数与倍数．
805188
分析： 用最小公倍数除以最大公约数即105÷7=15，就是 说15是里含有两个数各自含有的质因数，因此把15分解
质因数：15=3×5，就是这两个数一个里 含有质因数3，一个里含有质因数5，再用它们的最大公约数7乘以
3得到一个数，用7×5得到另一个 数，据此解答．
解答： 解：∵105÷7=15；15=3×5；
∴这两个数一个里含有质因数3，一个里含有质因数5，
∵两个正整数最大公约数是7，
∴7×3=21；7×5=35．
答：这两个数是21和35．
点评： 此题主要 考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是理解：最大公约数是两个数的公有的质因数的乘积，
最小公倍 数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积．

28．已知两个数的和是45，他们的最小公倍数是168，求这两个数．

考点： 约数与倍数．
分析： 最小公倍数是168，则这两个数都能整除168，168的因数有：1，2， 3，4，6，7，8，12，14，21，24，28，
805188
42，56，84，16 8．在这些因数中，找出和是45的两个数即可．
解答： 解：168的因数有：1，2，3，4，6 ，7，8，12，14，21，24，28，42，56，84，168．
其中21+24=45，
所以这两个数是21与24．
点评： 解答此题的关键是找出168的所有因数，从因数中找出和是45的两个数．

29．1到100中，与100互质的所有自然数之和是多少？（配对）

考点： 约数与倍数．
805188
专题： 规律型．
分析： 因为100=2×2×5× 5，所以1到100中，与100互质的所有自然数应是除5的倍数之外的所有奇数，因此根据
高斯求和 公式求出1～100的所有奇数之和之后，再减去1～100所有5的倍数的和即是1到100中，与100互质的所有自然数之和．
解答： 解：因为100=2×2×5×5，所以1到100中，与10 0互质的所有自然数应是除5的倍数之外的所有奇数；
从1到99的连续奇数（包括5的倍数）一共有50个，这50个连续奇数的和是：
1+3+5+7+…+93+95+97+99
=（1+99）×50÷2，
=2500．
100以内的奇数中，5的倍数有5的1倍、3倍、5倍…17倍、19倍，共10个数，这十个数的各 是：
5×（1+3+5+…+17+19）
=5×（1+19）×10÷2，
=500；
所以，符合条件的各个数的和是：2500﹣500=2000．
答：1到100中，与100互质的所有自然数之和是2000．
点评： 本题考查了约数与 倍数将100分解质因数得出1到100中，与100互质的所有自然数应是除5的倍数之外
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的所有奇数是完成本题的关键．

30．三个自然数的最大公约数是10，最小公倍数是100，满足要求的三数组共有多少组？

考点： 约数与倍数．
805188
分析： 设三个数是10a，10b ，10c，则abc三数互质，且最小公倍数是10，则a，b，c都是10的约数，10的约数
是1， 2，5，10，若有2个1，则还有一个一定是10，若只有一个1，则另两个可能是，2，5或2，10或5，
10或10，10，若没有1，则若有2个2，则另一个必须是5，若只有1个2，则另两个可能是，5 ，5或5，
10，若1和2都没有，则只有5和10，这样不符合abc三数互质，所以10a，10b ，10c分别是：10，10，
100；10，20，50；10，20，100；10，50，100 ；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100，
有8组．
解答： 解：10=2×5，100=2×2×5×5，
所以三个数中，质因数2有出现1次 也有出现2次的，可能是2，2，2×2或2，2×2，2×2，同理，5也是，
若是2，2，2×2和5，5，5×5搭配，有2种情况，
所以共有2×4=8种情况， < br>10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，1 00；20，20，50，；20，50，50；20，
50，100，有8组．
答：满足要 求的三数组共有8组：10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；1 0，100，100；
20，20，50，；20，50，50；20，50，100．
点评： 此题主要考查公约数与公倍数问题，根据最大公约数和最小公倍数确定原来三数是多少．

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