中考考试二次函数专题复习
萌到你眼炸
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2021年01月18日 12:07
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1964年属相-永恒的回忆
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中考二次函数专题复习
知识点归纳
：
一、二次函数概念：
1
．二次函数的概念：一般地，形如
y ax
2
bx c
（
a
，
b
，
c
是常数，
a 0
）的函数，
叫做二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，
二次项系数
a 0
，而
b
，
c
可以为
零．
次函数的定义域是全体实数．
2.
二次函数
y ax
2
bx c
的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量
x
的二次式，
x
的最高次数是
2
．
⑵
a
，
b
，
c
是常数，
a
是二次项系数，
b
是一次项系数，
c
是常数项．
二、二次函数的
基本形式
1.
二次函数基本形式：
y ax
2
的性质：
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
0
，
0
y
轴
性质
x 0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x 0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x 0
时，
y
有最小值
0
．
a0
向上
a0
向下
0
，
0
y
轴
x 0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x 0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x 0
时，
y
有最大值
0
．
a
的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y ax
2
c
的性质：
上加下减。
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
0
，
c
y
轴
性质
x 0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x 0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x 0
时，
y
有最小值
c
．
a0
向上
a0
向下
0
，
c
y
轴
x 0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x 0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x 0
时，
y
有最大值
c
．
2
3. y a x h
的性质：
左加右减。
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
h
，
0
X=h
性质
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
有最小值
0
．
a0
向上
a0
向下
h
，
0
X=h
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
有最大值
0
．
4. y a x h k
的性质：
a
的符号
开口方向
向上
顶点坐标
对称轴
h
，
k
X= h
性质
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
有最小值
k
．
a0
文案大全
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a0
向下
h
，
k
X= h
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
有最大值
k
．
三、二次函数图象的平移
1.
平移步骤：
2
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
y a x h k
，确定其顶点坐标
h
，
k
；
⑵ 保持抛
物线
y ax
2
的形状不变，将其顶点平移到
y=ax
2
h
，
k
处，具体平移方法如下：
向上
(k>0)
【或向下
(k<0)
】平移
|k|
个单位
y=ax
2
+k
向右
(h>0)
【或左
(h<0)
】
平移
|k|
个单位
向右
(h>0)
【或左
(h<0)
】
平移
|k|
个单位
向上
(k>0)
【或下
(k<0)
平移
|k|
个单位
向右
(h>0)
【或左
(h<0)
】
平移
|k|
个单位
y=a (x-h)
2
向上
(k>0)
【或下
(k<0)
】平移
|k|
个单位
y=a (x-h)
2
+k
平移规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移” ．
概括成八个字“左加右减，上加下减” ．
方法二：
2.
⑴
y ax
2
bx c
沿
y
轴平移
:
向上
(
下
)
平移
m
个单位，
y ax
2
bx c
变成
y ax
2
bx c m
(
或
y ax
2
bx c m
)
⑵
y
ax
2
bx c
沿轴平移：向左
(
右
)
平移
y a(x
m)
2
b(x m) c
(
或
y a(x m)
2
m
个单位，
y
b(x m) c
)
ax
2
bx c
变成
四、二次函数
y a x h k
与
y ax
2
bx c
的比较
从解析式上看，
y a x h k
与
y ax
2
bx c
是两种不
同的表达形式，后者通过配
方可以得到前者，即
y a x
b
4ac b
，其中
h
b
，
k
4ac b
．
2a 4a 2a 4a
2
五、二次函数
y ax
2
bx c
图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数
y ax
2
bx c
化为顶点式
y a(x h)
2
k
，确定
其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
.
一般我们选取
的五点为：顶点、与
y
轴的交点
0
，
c
、以及
0
，
c
关于对称轴对称的点
2h
，
c
、与
x
轴
的交点
x
1
，
0
，
x
2
，
0
(
若与
x
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点
)
.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点
.
六、二次函数
y ax
2
bx c
的性质
2
1.
当
a 0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b
，顶点坐标为
b
，
4ac b
．
2a 2a 4a
b
2
a
当
x
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x
2
b
a
时，
y
随
x
的增大而增大；当
x
2
b
a
2
时，
y
有最小值
4ac b
．
4a
2.
当
a 0
时，抛物线开口向下，
2
对称轴为
x
b
，顶点坐标为
2a
b
，
4ac b
2
2a
4a
文案大全
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x
b
时，
y
随
x
的增大而增大；
2a
4ac b
2
有最大值
4a
x
b
时，
y
随
x
的增大而减小；当
2a
x
b
时，
y
2a
七、二次函数解析式的表示方法
一般式：
y ax
2
bx c
(
a
，
b
，
c
为常数，
a 0
)
；
2.
顶点式：
y a(x h)
2
k
(
a
，
h
，
k
为常数，
a 0
)
；
1.
(
a 0
，
x
1
，
x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标
)
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，
但并非所有的二次函数都可
以写成交点式，只有抛物线与
x
轴有交点，即
b
2
4ac 0
时，抛物线的解析式才可以用交点
式表
示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.
二次项系数
a
二次函数
y ax
2
bx c
中，
a
作为二次项系数，显然
a 0
．
⑴ 当
a 0
时，抛物线开口向上，
a
的值越大，开口越小，反之
a
的值越小，开
口越
大；
⑵ 当
a 0
时，抛物线开口向下，
a
的值越小，开口越小，反之
a
的值越大，开
口越
大．
两根式：
3.
y a(x x
1
)(x x
2
)
总结起来，
a
决定了抛物线开口的大小和方向，
a
的正负决定开口方向，
a
的大小决定
开口
的大小．
2.
一次项系数
b
在二次项系数
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在
a 0
的前提下，
当
b 0
时，
当
b 0
时，
当
b 0
时，
0
，即抛物线的对称轴在
y
轴左侧；
2a
b
0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2a
b
，即抛物线对称轴在
y
轴的右
侧．
2a
b 0
⑵ 在
a 0
的前提下，结论刚好与上述相反，即
，即抛物线的对称轴在
y
轴右侧；
b
当
b 0
时，
2
a
0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
b
2
a
0
当
b 0
时，
当
b 0
时，
b
0
，即抛物线对称轴在
y
轴的左侧．
2a
总结起来，在
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线对称轴的位置．
概括的说就是“左同右异”
总结：
ab
的符号的判定：对称轴
x
b
在
y
轴左边则
ab 0
，在
y
轴的右侧则
ab 0
，
2a
3.
常数项
c
⑴
当
c 0
时，
抛物线与
正
；
y
轴交点的纵坐标
为
y
轴交点的纵坐标
为
⑵
当
c 0
时，
抛物线与
⑶
当
c 0
时，
抛物线与
y
轴的交点在
x
轴上方，即抛物线与
y
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方，即抛物线与
0
；
负
．
文案大全
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总结起来，
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置．
总之，只要
a
，
b
，
c
都确定，那么这
条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，
通常利用待定系数法．
用待
定系数法求二次函数的
解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．
一般来
说，有如下几种情
况：
1.
已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.
已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.
已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.
已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.
关于
x
轴对称
y ax
2
bx c
关于
x
轴对称后，得到的解析式是
y ax
2
bx c
；
22
y a x h k
关于
x
轴对称后，得到的解析式是
y a x h k
；
2.
关于
y
轴对称
y ax
2
bx c
关于
y
轴对称后，得到的解析式是
y ax
2
bx c
；
22
y a x h k
关于
y
轴对称后，得到的解析式是
y a x h k
；
3.
关于原点对称
y ax
2
bx c
关于原点对称后，得到的解析式是
22
y ax
2
bx c
；
y a x h k
关于原点对称后，得到的解析式是
y a x h k
；
4.
关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转
180
°
y ax
bx c
关于顶点对称后，得到的解析式是
2
2
y ax bx c
2
b
a
y a x h k
关于顶点对称后，得到的解析式是
5.
关于点
m
，
n
对称
2
y a x h k
关
于
点
m
，
n
对
称
后
，
得
到
的
解
析
式
是
2
y a x h 2m 2n k
根据对称的性质，
显然无论作何种对称变换，
抛物线的形状一定不会发生变化，
因
此
a
永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选
择合适的形
式，
习惯上是先确定原抛物线
（或表达式已知的抛物线）
的顶点坐标及开口方向，
再确定其对
称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
x
轴交点情况）：
一元二次方程
ax
2
bx c 0
是二次函数
y ax
2
bx c
当函数值
y 0
时的特殊情况
.
图象与
x
轴的交点个数：
①
当
b
2
4ac 0
时，图象与
x
轴交于两点
A x
1
，
0
，
B x
2
，
0
（
x
1
x
2
）
，其中的
x
1
，
x
2
是一元二次方程
ax
2
bx c 0 a 0
的两根．这两点间的距离
AB
a
4ac
.
0
时，图象与
x
轴只有一个交点；
b
2
4ac x
2
x
1
b
②
当
③
当
0
时，图象与
x
轴没有交点
.
1'
当
a 0
时，图象落在
x
轴的上方，无论
x
为任何实数，都有
y 0
；
2'
当
a 0
时，图象落在
x
轴的下方，无论
x
为任何实数，都有
y 0
．
2.
抛物线
y ax
2
bx c
的图象与
y
轴一定相交，交点坐标为
（
0
，
c
）
；
3.
二次函数常用解题方法总结：
文案大全
标准实用
⑴ 求二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数
y ax
2
bx c
中
a
，
b
，
c
的符号，或由二次函数中
a
，
b
，
c
的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，
或已知
与
x
轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式
ax
2
bx c
（
a 0
）
本身就是所含字
母
x
的二次函数；下面以
a 0
时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的
内在联
系
二次三项式的值可
正、可零、可负
有两个交点
二次三项式的值为
0
抛物
线与
x
轴
非负
只有一个交点
二次三项式的值恒
0
抛物
线与
x
轴
为正
无交点
0
抛物
线与
x
轴
一元二次方程有两个不相等实
根
一元二次方程有两个相等的实
数根
一元二次方程无实数根
.
师生共同学习过程：
知识梳理：
练习：
1.
抛物线
y 3
（
x 1
）
2
2
的对称轴是（
）
A
．
x 1
B
．
x 1
C
．
x 2
D
．
x 2
2.
要得到二次函数
y x
2
2x 2
的图象，需将
y x
2
的图象（
）．
A
．向左平移
2
个单位，再向下平移
2
个单位
B
．向右平移
2
个单位，再向上平移
2
个单位
C
．向左平移
1
个单位，再向上平移
1
个单位
D
．向右平移
1
个单位，再向下平移
1
个单位
最新考题
1.
（
2009
年四川省内江市
）
抛物线
y
（
x 2
）
2
3
的顶点坐标是（
）
A
．（
2
，
3
）
B
．（－
2
，
3
）
C
．（
2
，－
3
）
D
．（－
2
，－
3
）
2.
（
2009
年泸州）在平面直角坐标系中，
将二次函数
y 2x
2
的图象向上平移
2
个单位，
所得
图象的解析式为
A
．
y 2x
2
2
22
B
．
y 2x
2
2
C
．
y 2
（
x 2
）
2
D
．
y 2
（
x 2
）
2
知识点
2
：二次函数的图形与性质
2
例
1
：如图
1
所示，二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象开口向上，
图象经过点
（－
1
，
2
）和
（
1
，
0
）且与
y
轴交于负半轴
.
文案大全
标准实用
第（
1
）问：给出四个结论：①
a>0
；②
b>0;
③
c>0
；④
a+b+c=0
，其中正确的结论的序号
是
.
第（
2
）问：给出四个结论：①
abc<0
；②
2a+b>0;
③
a+c=1;
④
a>1.
其中正确的结论的序号
是
________
.
例
2
：抛物线
y=
－
x
2
+
（
m
－
1
）
x+m
与
y
轴交于（
0
，
3
）点，（
1
）求出
m
的值并画出这条
抛物
线；（
2
）求它与
x
轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（
3
）
x
取什么值时，抛物线在
x
轴上
方
?
（
4
）
x
取什么值时，
y
的值随
x
的增大而减小？
思路点拨：由已知点（
0
，
3
）代入
y=
－
x
2
+
（
m
－
1
）
x+m
即可求得
m
的值，即可知道二
次
函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（
2
）（
3
）（
4
）
.
解：（
1
）由题意将（
0
，
3
）代入解析式可得
m=3
，
∴ 抛物线为
y=
－
x
2
+2x+3.
图象（图
2
）：
（
2
）令
y=0
，则－
x
2
+2x+3=0
，得
x
1
=
－
1
，
x
2
=3
；
∴ 抛物线与
x
轴的交点为（－
1
，
0
），（
3
，
0
）
.
22
∵
y=
－
x
2
+2x+3=
－（
x
－
1
）
2
+4
，
∴ 抛物线顶点坐标为（
1
，
4
）；
（
3
）由图象可知：当－
1
x
轴上方；
（
4
）由图象可知：当
x>1
时，
y
的
值随
x
值的增大而减小
.
练习：
1.
如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确
．．．
的是（
）
A
．
h
m
B
．
k n
C
．
k n
D
．
h 0
，
k 0
文案大全
标准实用
3.
（
2009
年台州）已知二次函数
y ax
2
bx c
的
y
与
x
的部分对应值如下表：
x
y
1
0
1
1
3
3
3
1
则下列判断中正确的是（
）
B
．抛物线与
y
轴交于负半
轴
a
≠
0
）的图象可能是
（
最新考题
1.
（
2009
深圳）二次函数
y ax
2
bx c
的图象如图所示，若点
A
（
1
，
y
1
）、
B
（
2
，
y
2
）是它图象上的两点，则
y
1
与
y
2
的大小关系是（）
A
．
B
y
1
y
2
B
．
y
1
y
2
C
．
y
1
y
2
D
．不能确定
E
2.
（
2009
北京）如图，
C
为⊙
O
直径
AB
上一动点，过点
C
的直线交
于
D
、
E
两点，且∠
ACD=45
°，
DF
⊥
AB
于点
F,EG
⊥
AB
于点
G,
当点
C
在
AB
上运动时，
设
AF=
x
，
DE=
y
，下列中图象中，
能表示
y
与
x
的函数关系式的图象大致是
（
）
A
．抛物线开口向上
C
．当
x
＝
4
时，
y
>
0
D
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