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2021年1月22日发(作者：老歌精选)
等差数列求和公式


Sn=n(a1+an)/2
或
Sn=a1*n+n(n-1)d/2
注：
an=a1+(n-1)d


转换过程：
Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1 )d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2


应
该
是
对
于
任
一
N
均
成
立
吧
（
一
定
）
,
那
么
S n-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)* an-1]/2= an


化简得
(n-1)an-1-(n-2)an =a1,
这对于任一
N
均成立




当
n
取
n-1
时式子变为
,(n-3)an-1-(n-2)an-2 =a1=(n-2)an-(n-1)an-1


得




2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)



当
n
大于
2
时得
2an-1=an+an-2
显然证得它是
等差数列



和＝（首项＋末项）
×
项数
÷
2



项数＝（末项
-
首项）
÷
公差＋
1



首项
=2
和
÷
项数
-
末项



末项
=2
和
÷
项数
-
首项



末项
=
首项
+
（项数
-1
）
×
公差



性质：等差数列求是求数列中所有项的和


若

m
、
n
、
p
、
q
∈
N


①若
m
＋
n=p
＋
q
，则
am +an=ap+aq


②若
m+n=2q
，则
am+an=2aq



























二、例题

例
1
用一 个数去除
30
、
60
、
75
，都能整除，这个数最大是多少 ？

分析

∵要求的数去除
30
、
60
、
75
都能整除，



∴要求的数是
30
、
60
、
75
的公约数。



又∵要求符合条件的最大的数，



∴就是求
30
、
60
、
75
的最大公约数。



解：∵



（
30
，
60
，< br>75
）
=5×
3=15


这个数最大是
15
。

例
2
一个数用
3
、
4
、
5
除都能整除，这个数最小是多少？

分析

由题意可知，要求的数是
3
、
4
、
5
的公倍数，且是最小的公倍
数。



解：∵［
3
，
4
，
5
］
=3×
4×
5=60
，



∴用
3
、
4
、
5除都能整除的最小的数是
60
。

例
3
有三根铁丝， 长度分别是
120
厘米、
180
厘米和
300
厘米
.
现在
要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘
米？一共可以 截成多少段？

分析

∵要截成相等的小段，且无剩余，



∴每段长度必是
120
、
180
和
300
的公约数。






又∵每段要尽可能长，



∴要求的每段长度就是
120
、
180
和
300
的最大公约数
.


（
120
，
180
，
300
）
=30×< br>2=60


∴每小段最长
60
厘米。



120÷
60+180÷
60+300÷
60


=2
＋
3
＋
5=10
（段）



答：每段最长
60
厘米，一共可以截成
10
段。

例
4
加工某种机器零件，要经过三道工序
.
第一道工序每个工人每 小
时可完成
3
个零件，第二道工序每个工人每小时可完成
10
个，第 三
道工序每个工人每小时可完成
5
个，
要使加工生产均衡，
三道工序 至
少各分配几个工人？

分析

要使加工生产均衡，各道工序生产的 零件总数应是
3
、
10
和
5
的公倍数
.
要 求三道工序
“
至少
”
要多少工人，
要先求
3
、10
和
5
的最小
公倍数。






［
3
，
10
，
5
］
=5×
3×
2=30


∴各道工序均应加
130
个零件。



30÷
3=10
（人）



30÷
10=3
（人）



30÷
5=6
（人）



答：
第一道工 序至少要分配
10
人，
第二道工序至少要分配
3
人，
第三道 工序至少要分配
6
人。

例
5
一次会餐供有三种饮料.
餐后统计，
三种饮料共用了
65
瓶；
平均
每
2
个人饮用一瓶
A
饮料，每
3
人饮用一瓶
B
饮料， 每
4
人饮用一
瓶
C
饮料
.
问参加会餐的人数是多少 人？

分析

由题意可知，参加会餐人数应是
2
、
3
、
4
的公倍数。



解：∵
[2
，
3
，
4]=12


∴参加会餐人数应是
12
的倍数。



又∵
12÷
2+12÷
3+12÷
4


=6+4+3=13
（瓶），



∴可见
12< br>个人要用
6
瓶
A
饮料，
4
瓶
B
饮料 ，
3
瓶
C
饮料，共
用
13
瓶饮料。



又∵
65÷
13=5
，



∴参加会餐的总人数应是
12
的
5
倍，



12×
5=60
（人）。

答：参加会餐的总人数是
60
人。

例
3
某年的 十月里有
5
个星期六，
4
个星期日，问这年的
10
月
1
日是星期几？



解：十月份共有
31
天，每周共有
7
天，



∵
31=7×
4+3
，



∴根据题意可知：有
5
天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。



∴这年的
10
月
1
日是星期四。

例
4
3
月
18
日是星期日，
从
3
月
17
日作为第一天开始往回数
（即
3
月
16
日
（第
二天），
15
日（第三天），
…
）的第
199 3
天是星期几？



解：每周有
7
天，
1993÷
7=284
（周）
…5
（天），



从星期日往回数
5
天是星期二，所以第
1993
天必是星期二
.

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