导数的几何意义教学设计(教案)
巡山小妖精
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2021年01月28日 03:16
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导数的几何意义教学设计（教案）
一、
【教学目标
】
1.
知识与技能目标
：
（
1
）
使学生掌 握函数
f
(
x
)
在
x
x
0处的导数
f
图像在
x
x
0
处的切 线的斜率。
（数形结合）
，即：
/
x
0
的几何意义就是函数
f
(
x
)
的
f
/
x
0
lim
x
0
f
x
0
x
f
(
x
0
)
＝切线的斜率
x
(2)
会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方
法。
2.
过程与方法：
通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现
问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能
力的目的。
3.
情感态度与价值观：
导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数
与形的结合；
同时又是知识在几何学，
物理学方面的迁移应用。
培 养学生学数学，
用数学的意识。
【教学手段】
采用幻灯片，实物投影等多媒 体手段，增大教学容量与直观性，有
效提高教学效率和教学质量。
【课型】探究课
【教学重点与难点
】
重点
：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：
发现、理解及应用导数的几何意义
二、
【
教学过程
】
（一）
课题引入，类比探讨：
让学生回忆导数的概念及其本质。
（承上启下，自然过渡）
。
师：
导数的本质是什么？写出它的表达式。
（一位学生板书）
，
其他学生在
“学
案”中写：
导
数
f
/
(
x
0
)
的
本
质
是
函
数
f
(
x
)
在
x
x
0
处
的
瞬
．
时
．
变
．
化
．
率
．
，
即
：
f
/
x
0
lim
x< br>
0
f
x
0
x
< br>
f
(
x
0
)
x
（注 记：
教师不能代替学生的思维活动，
学生将大脑中已有的经验、
认识转换成
数 学符号，有利于学生思维能力的有
效提高，为学生“发现”
,
感知导数的几何意
义奠定基础）
师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角
1
度来探究导数的几何意义（板书课题）
，应从哪儿入手呢？
（教师引导学生 ：
数形结合是重要的思想方法。
要研究
“形”
，
自然要结合
“数”
）
生
1
：研究导数的代数表达式。
师： 那必然就要回忆求导数
f
/
(
x
0
)
的步骤了。< br>
生（齐）
：分三步：
第一步：求
y
第二步：求平均变化率
y
；
x
第三 步：当
x
趋近于
0
时，平均变化率
数就是
f/
(
x
0
)
。
（回归本质，数形结合）
f
(
x
0
x
)
f(
x
0
)
无限趋近于的常
x
教师进一步引导 学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导
数的几何意义，类比地，也可以分三个步 骤：
师：第一步：
y
的几何意义。
（并在学案的图（二 次函数）中画出）
生：当
x
0
x
与
x
0
所对应的函数值的差量。
师：
很好，
那么第 二步：
平均变化率
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
的几何意义是什么？
x
（同样请在函数图像中画出来）
；由于上节探究中做过，所以还是比较简 单。
生
2
：平均变化率
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
的几何意义是割线
AB
的斜率。其中
x
A
(
x
0
,
f
(
x
0
)),
B
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
。
（提醒学生
A
、
B
两点的坐标必须写清楚。
）
师：第二步：
x
0
时，割线
AB
有什么变化？请用你的笔描绘出来。
（有静态到 动态的过渡，
比较考察学生的观察能力，
动手能力与独立思考能
力）很快，有几个学生 又画了三条直线（其中横坐标在
x
0
x
与
x< br>0
之间。
）
教师让生
3
用投影仪展示自己的作品， 并向其它学生介绍自己作图的意图，
由此引导同伴观察到：
x
0
，
B
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
A
(
x
0
,
f
(
x
0
)),
师（趁胜追击）
：很好，那么当
x
0
，于是
A
，
B
之间的差距越来越小，
B
一直，一直这样靠近
A< br>，最后会
---------
生
(
齐
):
重合。
师：那么直线
AB
？
生（齐）
：变成一条切线了。
师：大家真不错，确实，当
x
0
，割线
AB
有一个无限趋近的确定位置，
这个确定 位置上的直线叫做曲线在
x
x
0
处的切线，下面请把它画出来。< br>
2
等学生化出切线
AD
后，教师用
Flash
展示动态过程，引导学生回顾过程。
结论：
（形）
x< br>
0
，割线
AB
切线
AD
，
< br>则割线
AB
的斜率
切线
AD
的斜率。
（口 述）
由数形结合，得
f
/
x
0
lim
x
0
f
x
0
x
f
(
x
0
)
＝切线
AD
的斜率。
（板书）
< br>
x
/
所以，函数
f
(
x
)
在x
x
0
处的导数
f
x
0
的几何意义就是函数
f
(
x
)
的图像在
x
x
0
处的切线
AD
的斜率。
（数形结合）
。< br>
（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获
得理智 和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解
“导数
的几何意义”
，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。
）
（二）深入研究，知识拓展
师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线 的斜率。其中切线
很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见
P77
的探 究问题。
生
4
：初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公 共点时，
叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。
师：讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。
（展示如下动画，< br>A
点
----
直线
l
1
----B----
直线
l
2
）
。
学生们发现生
4
讲的初中切线的定义已不适合这里了。
y
l
1
A
l
2
B
x
C
师：圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上
图中，直线
l
1
虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而
3