导数的几何意义教案(后附教学反思)
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2021年01月28日 03:18
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导数的几何意义教案
（后附教学反思）
永嘉中学
【教学目标】
知识与技能目标：
（
1
）使学生掌握函数
f
（
x
）
在
x X
o
处的导数
f
/
X
0
的几何意义就是函数
f
（
x
）
的
图像在
X X
o
处的切线的斜率。（数形结合），即：
数学组
周瑛
08413
f
/
X
o
lim 4
—
0
X
x f
（
Xo
）
二切线的斜率
x
（
2
）
会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方
法。
过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问
题，解决
问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力
的目的。
情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与
形的结
合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，
用数学的意识。
【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有
效提高教学效率和教学质量。
【课型】探究课
【教学重点与难点】
重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义
【教学过程】
（一）课题引入，类比探讨：
让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。
师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学
案”
中写：
导数
f
/
（
X
o< br>）
的本质是函数
f
（
x
）
在
X X
o
处的瞬时变化率，即：
f X
o
x
f(X
o
)
f
X
o
/
X
（注记：教师不能代替学生的思维活动，
学生将大脑中已有的经验、认识转换成
数学符
号，有利于学生思维能力的有
效提高，为学生“发现”
感知导数的几何意
义奠定基础）
师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角
度来探究
导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？
（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”自然要结合“数”）
生
1
:
研究导数的代数表达式。
1
师：那必然就要回忆求导数
f
/
（
X
。
）
的步骤了。
生（齐）：分三步：
第一步：求
y
第二步：求平均变化率」；
x
第三步：当
X
趋近于
0
时，平均变化率丄©—
x
）
f
（
Xo
）
X
无限趋近于的常
数就是
f
/
（
X
o
）
。（回归本质，数形结合）
教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导
数的几何
意义，类比地，也可以分三个步骤：
师：第一步：
y
的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出）
生：当
X
o
X
与
X
o
所对应的函数值的差量。
师：很好，那么第二步：平均变化率
—
X
）
f
（
X0
）
X
的几何意义是什么？
（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。
生
2
:
平均变化率
—
X
）
f
（
Xo
）
X
的几何意义是割线
AB
的斜率。其中
A
（
X
o
, f
（
X
o
））
, B
（
X
o
X
, f
（
X
o
X
））
。（提醒学生< br>A
、
B
两点的坐标必须写清楚。）
师：第二步：
x o
时，割线
AB
有什么变化？请用你的笔描绘出来。
（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能
力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在
x
o
x
与
x
o
之间。）
教师让生
3
用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，
由此引导同伴观察到：
x o
，
B
（
x
o
x, f
（
x
o
x
））
A
（
X
o
, f
（
X
o
））
,
师（趁胜追击）：很好，那么当
x 0
,
于是
A
，
B
之间的差距越来越小，
B
一直，一直这样靠近
A
，最后会
-
--------
生
（
齐
）：
重合。
师：那么直线
AB
？
2
生（齐）：变成一条切线了。
师：大家真不错，确实，当
X
0
,
割线
AB
有一个无限趋近的确定位置
,
这个确定位置上的直线叫做曲线在
x X
o
处
的切线，下面请把它画出来。
等学生化出切线
AD
后，教师用
Flash
展示动态过程，引导学生回顾过程。
结论：
（形）
x 0
,
割线
AB
切线
AD
，
则割线
AB
的斜率
切线
AD
的斜率。（口述）
由数形结合，得
f
/
X
o
lim
丄出一
X
—二切线
AD
的斜率。（板书）
x 0
x
所以，函数
f
（
x
）
在
x X
o
处的导数
f
/
x
o
的几何意义就是函数
f
（
x
）
的图像在
x X
o
处的切线
AD
的斜率。（数形结合）。
（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获
得理智
和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解
“导数
的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）
（二）深入研究，知识拓展
师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线
很关键，但
是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见
P77
的探究问题。
生
4
:
初中平面几何中，如 圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，
叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。
师：讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。
（展示如下动画，
A
点—直线
I i
—
B
—
直线
I
2
）
o
学生们发现生
4
讲的初中切线的定义已不适合这里了。
y
j
/
1
1
1
7
^
2
k
I
x
C
y
P7
[/
3