三个数的均值不等式
温柔似野鬼°
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2021年01月28日 03:32
最佳经验
本文由作者推荐
工程部文员岗位职责-组织生活方面存在的问题
高二数学组
编写人
郭
伟
平均值不等式导学案
2
☆学习目标
：
1.
理解并掌握重要的基本不等式
;
2.
理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广
;
3.
初步掌握不等式证明和应用
一、课前准备
（请在上课之前自主完成）
1
．定理
1
如果
a
,
b
R
,
那么
a
b
2
ab
.
当且仅当
a
b
时
,
等号成立
.
2.
定理
2(
基本不等式
)
如果
a
,
b
R
,
那么
.
2
2
当且仅当
时
,
等号成立
.
利用基本不等式求最值的三个条件
推论
1
0
.
两个正数的算术平均数
,
几何平均数
,
平
方平均数
,
调和平均数
，
从小到大的排列是
:
☆课前热身
：
(1)
某汽车运输 公司
,
购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的
总利
润
y
（单位：
10
万元）与营运年数
x
的函数关系为
y
(
x
6
)
2
11
(
x
N
),
则每辆 客车
营运多少年，其运
营的
年平均利润
最大（
）
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
(2)
在算式
“
4
1
30
”
中的△，
〇中，
分别填入两个正整数，
使它们的倒数 和最步，
则这两个数构成的数对（△，〇）应为
.
2
y
2
(3)
设
x
R< br>且
x
1
，求
x
1
y
的最大值
.
2
二、新课导学
2
请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式：
如果
a
,
b
R
a
b
,
那么
2
ab
.
当且仅当
a
b
时
,
等号成立
.
如果
a
,
b
,
c
R
,
那么
.
当且仅当
时
,
等号成立
.
☻
建构新知：
问题：已知
a
,
b
,
c
R
,
求证
：
a
b
c
3
abc
.
当且仅当
a
b
c
时
,
等号成立
.
3
3
3
证明
: ∵
a
b
c
3
abc
定理
3
如果
a
,
b
,
c
R
,
那么
3
3
3
a
b
c3
abc
,
当且仅当
a
b
c
时
,
等号成立
.
3
语言表述：
3
个数的
平均数不小于它们的
平均数
推论
对于< br>n
个正数
a
1
,
a
2
,
,
a
n
,
它们的
- 1 -
高二数学组
编写人
郭
伟
即
当且仅当
a
b
c
时
,
等号成立
.
语言表述：
n
个数的
平均数不小于它们的
平均数
☆案例学习：
例
1
已知
x
,
y
,
z
R
,
求证
：
x
y
z
y
z
x
( 1)
(
x
y
z
)
3
27
xyz
;
(2)
(
)(< br>
)
9
;
(3)
(
x
y
z
)(
x
2
y2
z
2
)
9
xyz
．
y
z
x
x
y
z
例
2
用一块边长为
a
的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖
的盒子
．
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？
例
3
求函数y
2
x
解一
:
y
2< br>x
2
2
3
,
(
x
0< br>)
的最大值，指出下列解法的错误
,
并给出正确解法
.
x< br>3
1
1
1
2
3
2
x
2< br>
3
3
2
x
2
< br>
3
3
4
.
∴
y
min
3
4
．
x
x
x
x
x
3
3
12
3
3
12< br>2
3
2
解二
:
y
2
x
2
2
x
2
6
x
当
2
x
即
x
时
,
y
min
2
6
2
3
3
12< br>
2
6
324
．
x
x
x
2
2
2
正解
:
例
4
、已知
0
x
取何值时，
x
²
(9-2x)
的值最大？最大值是多少？
三、当堂检测
1
、已知
a
、
b
、
c
都是正数，求证：
(a+b+c)(ab+b c+ca)
≥
9abc
2
、已知
a
、
b
、
c
都是正数，且
abc=1.
求证：
a³
+b
³
+c
³≥
3
- 2 -