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2021年1月28日发(作者：黄玫瑰歌曲)

义务教育基础课程小学教学资料

祝福您及家人身
体健康
、万事
如意、
阖家欢
乐！祝
福您及
家人身
体健康
、 万事
如意、
阖
家欢乐！
祝福您
及家人
身体健
康、万
事如意
、阖家
欢乐！
祝福您
及家人
身体健
康、万< br>事如意
、阖家
欢乐！
祝福您
及家人
身体健
康、万事如意
、阖家
欢乐！
祝福您
及家人
身体健
康、万
事如意
、阖家
欢乐！
祝福您
及家人
身体健
康、万
事如意
、阖家
欢乐！
祝福您
及家人
身体健
康、万
事
如意、阖
家欢乐
！祝福
您及家
人身体
健康、
万事如
意、阖
家欢乐
！
第七讲

一题多解


教学目标






学奥数 的本意是开发智力，整合知识。我们通过一题多解的训练形式，要努力形成举一反三、融会
贯通的能力， 常见的解题方法主要是算术方法和方程等，算术方法是我们解小学奥数题的主力，方程作
为一种数学工具 也是我们解题时经常依赖的，除了这些以外，我们还有很多非常规、非典型的解题方法，
如（
1
）

特殊值法；
（
2
）

利用图形解题；
（
3
）

取特殊情形、极限考虑
.








一个正三角形中内接一个圆，


圆中又内接一个小三角形，问小


想
三角形的面积是大三角形面积的


挑
几分之几？


战
吗




？


祝福您及家人身体
健康、
万事如
意、阖
家欢乐
！祝福
同学们
快乐成
长，能
够取得
好 成绩，
为祖国
奉献力
量
祝福您
及家人
身体健
康、万
事如意
、阖家
欢乐！
祝福同
学们快
乐成长
，能够< br>取得好
成绩，
为祖国
奉献力
量






分析：转动小三角形使小三角形和大三角形相反方向，容易看出小三角形的

面积是大三角形的四分之一
.



专题精讲



Ⅰ

考虑特殊情况与特殊值


1

特殊情况与特殊值的方法一般只适合用于巧解填空题，
利用特殊情况和特殊值的原则 ，
主要
有：
1
）不违背题目条件；

2
）特殊情况或特殊值代入原题后不会产生逻辑或数值上的矛盾；

3
）特殊情况或特殊值有利于题目的解决
.
由于特殊情况和特殊值的特殊性 ，
建议大家不要在解答题或证明题中使用这种方法，
这种方
法仅仅作为一种应试技巧和 参考
.



【例
1
】

如图 ，在一个边长为
6
正方形中，放入一个边长为
2
的正方形，保持与原长正形的 边平行，现
在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部 分的面积
为
.

D
C
B
A



分析：
（方法一）对于任意一个梯形（如图）
，上底和下底分别为
a
和
b
时，阴影部分的面积可以表示为
a
s
1
s
2
s
4
b
s
3

s1
、
s2
、
s3
的和，而
s3
：
s4 =s1
：
s2=
（
s1+s3
）
：
（
s2 +s4
）
=a
：
b
，同理
s1
：
s3=s 2
：
s4=a
：
b
，所以：
s1
：
a2

2
ab
s2
：
s3
：
s4=a2
：
ab
：
ab
：
b2
，所以阴影部分的面积等于< br>2
.
2
a

2
ab

b
连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，每个梯形中阴影部分的面积都占到
7
2
2

2

2

6
7

了
2
，所以阴影部分面积是两个正方形之间的面积的
，阴影部分的面积为16
2

2

2

6

6< br>2
16
7

(6
2

2
2
)

14
,
16

（方法二）取特殊情况，使得两个正方 形的中心相互重合，由上右图可知，
A
、
B
、
C
、
D
均为相邻两格
点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为
1.5
，因此空 白处的总面积为
6

1
.
5


2

4

2

2

22
，阴影部分的面积 是
6

6

22

14
.

【例
2
】

（★★★★人大附中入学测试题）如图，有三个正方形< br>ABCD
、
BEFG
和
CHIJ
，其中正方形
ABC D
的边长是
10
，正方形
BEFG
的边长是
6
，那 么三角形
DFI
的面积是

．


2

A
G
F
E
D
J
C
I
H

B
分析：
（法一）
S
△
DIF
＝
S
ABCD
+S
CHIJ
+S
△
DIJ
－
S
BEFG
－
S
ADFG
－
S
ADFG
－
S
EHIF
＝
100+a
+
2
1
1
1< br>a(10
－
a)
－
36
－
(10
－
6)(10+6)
－
(6+a)(4+a)
＝
20
。
2
2
2
（法二）还可以利用三角形
DFI
面积
=DFC
的面积

（法三）极限考虑，令正方形
JCHI
边长为
0< br>，这样
I
就变成
C
点，所以三角形
DFI
面积
=DFC
的面积
.

[
前铺
]
如下图，
ABCD
、
CEFG
均为正方形，已知
ABCD
的边长是
12
，试求三角形
BFD
的面积。

A
B
G
F
D
C
E

分析：

（法一）设小正方形
CEFG
的边长为
a
，则

S
BFD

S
ABCD

S
BCEF
S
ABD

S
DEF


12< br>
12

(
12

a
)

a

2

12

12

2
(
12

a
)

a

2
< br>
12

12

12

12
2

72
（法二）直线
BD
与
CF
平行，所以 三角形
BFD
与三角形
BCD
面积相等，则


S
BFD

S
BCD

12

1 2

2

72
。

[
点评
]
利用五大模型中的梯形两腰上的三角形相等。


（法三）取极限情况，令小正方形
CEFG
的边长为零（如下左图）
，则点
F
经线段
FC
滑至点
C
，所求三角
形即为
BCF；
令小正方形
CEFG
的边长与大正方形的边长相等
（如下右图）
，
则三角形
BFD
的面积即为大正
方形的一半。

AB
F
A
B
D
C(F
、
E)
D

C
E

[
点评
]
可以先让学生随便先设一些数据来 算，再用方法一，再讲方法三，这样最能体现一个老师讲这道
题的能力。




3












【例
3
】

甲班与乙班 学生同时从学校出发去公园，
两班步行的速度均为每小时
5
千米。
学校有一辆 汽车，
空车行驶的速度是每小时
60
千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，搭载学生 时的行驶速度是每小时
50
千米。为了使两班学生在最短时间内到达公园，甲班学生步行了全程 的几分之几？


分析：
（法一）运用比例结合图形解
.









设甲班先步行 ，则甲班由
C
至
B
的时间与汽车由
C
经
A
至
B
的时间相等。假设汽车的速度一直都是
50
千米
/
时， 则
CA+AB=
（
50

5
）
CB=10CB。但实际上汽车在
BA
段的速度变为
60
，则相应的等量关系
5 0
54
54
76

2
）
CB=

AB=10CB
，整理得
AB=
CB
；又
CB=AD，所以
CD=
（
CB
，
60
11
11
11
11
即甲班学生步行了全程的
。

76
应变为
CB+AB+

（法二）设全程为
s
千 米，甲班学生步行了
x
千米，根据甲班上车前的步行时间与汽车的行驶时间相等，
可得 方程：
s

x
s

2
x
x


50
60
5
6
(
s

x
)

5
(
s

2
x
)

60
x

11
s

16
x

60
x

11
s

76
x

11
x

s

76

(
法三)
运用特殊值的方法：
设汽车行驶了
1
个单位的路程后返回去接乙班学生 ，
掉头时乙班学生们已走了
1
1
5
9

个单位的路 程，因此汽车和乙班学生相遇时，学生分别又走了
(1

)

，汽车 走了
10
10
60

5
130
1
60108
9
108
9
(1

)



个单位路程，
汽车要追上甲班学生还
，
这时候汽车距离甲班 学生
10
60

5
130
130
130
1 0
9
1
9
152

(50

5)

50

1
个单位路程
.
因此总路程为


1

需要行驶
，其中甲班学生走了
10
10
13 0
130

4

1
9
22
22
152
11




个单位的路程
.
因此 甲班学生走的路程是全程的
.
10
130
130
130
130
76









Ⅱ

从不同角度思考问题

【例
4
】

（★★★奥数网 精选试题）汽车甲和乙分别以每小时
100
千米和
120
千米的速度从Ａ城开 往
B
城。甲车比乙车早
l
小时离开Ａ城，但同时到达
B
城。 求两城间的路程。


分析：

（法一）因为甲车先走了
1 00
千米，乙车每小时能追上甲车
(120
—
100)=20(
千米
)
，追
100
千米要用
(100÷20)=5(小时
)，乙车
5
小时共走
120×5=600(千米
)
就是
A
、
B
两城间的路程。列算式为



12 0
×［100÷(120—
100)]
＝
600(
千米
)

（法二）由于甲、乙两车行的路程相同，根据甲、乙两车速度的比是
(100
：
120)=5
：
6
可以知道，甲、
乙两车所用时间的比为
6
：
5
，从而求出乙车用的时间为

1

(
1)


5
（小时）
.
故
A
、
B
两城间的路程
5
为
120
×
5=600（千米）
.
列算式为
120


1

(

（法三）两车各走一千米所需的时间差：
所以两车各走
1


6




120


1)


600
（千米）
.
100
< br>1
1
1


（小时）
，由于两车所用的时间差为1
小时，
100
120
600
1
=600
千米
.
600


【例
5
】

（★ ★★北京市迎春杯试题）一项工程，甲、乙合作
8
天完成。如果让甲先独做
6
天，然后乙
再独做
9
天完成任务。乙独做这项工程要多少天完成
?
分析：


（法一）用“分干合想”的思路，据题意可知甲先做
6< br>天、乙再做
9
天完成任务，可以看成是甲、乙合
作
6
天，然后乙独做
3
天。
乙
3
天的工作量是
1

6

即（
9-6
）÷（
1-6
×
1 /8
）
=12
（天）


(
法二
)
根据法一的分析，
乙独做
3
天的工作量为
1


6


5
1
8
1
1
，
则乙独做 这项工程的时间是
3
÷
=12(
天
)
。
4
4
1
8
1
1
1
，
乙的工作效率为

3

，
乙独做这项
4
4
12

工程需用的时间为
l÷

1
=12(
天
)
。即
1
÷
[
（
1-6
×
1/8
）÷（9-6
）
]=12
12
1
8
9
9
1
，超过工作总量
1
；

1

就是超过的工作量，< br>8
8
8
1
1
1
实际上就是甲
9
—< br>6=3(
天
)
的工作量。那么，甲的工作效率就是
÷3=
。乙 完成全工程所用的时间
8
8
24
1
1
)
=12(< br>天
)
。即
1
÷
[1/8-
（
9
×< br>1/8-1
）÷（
9-6
）
]=12

为
1 ÷
(

8
24
（法三）假设甲、乙合作
9
天，工作 量就是

9



【例
6
】


（★★★迎春杯试题）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中
P
点为半圆 周的中点，
Q
点为
正方形一边的中点。已知正方形的边长为
10
，那 么阴影部分面积是多少？（
π
取
3.14.
）


分析：
（法一）阴影面积的“加减法”
。因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减 去空白部
分面积来求解。过
P
点向
AB
作垂线，这样空白部分面积分 成上面的三角形和下面的梯形，这样

阴影面积
=
整个面积
-
空白面积
=
（正方形
ABCD+
半圆）—（三角形
+
梯形 ）

=
（
10
×
10+
π
×
5
×
5
÷
2
）
-[15
×
5
÷
2+
（
5+15
）×
5
÷
2]
=51.75

[
总

结
]
这种方法是小升初中最常用的方法，一定要学会这种处理思路。


（法二）面积的“加减法”和“切割法”综合运用，思路出现正方形，出现弧线时，注意两个 考点：
1.
半叶形
2
。
1/4
圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积

S1=
正方形
-1/4
圆
=5
×
5-1/4
×π
×
5
×
5
上面阴影面积
=
三角形
APE-S1=15
×
5
÷
2-5
×
5-1/4
×
π
×
5
×
5
下面阴影面积
=
三角形
QPF-S2=
所以阴影面积
=< br>（
15
×
5
÷
2-5
×
5-1/4
×
π
×
5
×
5
）
+
（
10
×
5
÷
2-5
×
5-1/4
×
π
×5
×
5
）
=51.75

6

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