排列组合的21种例题.
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 06:01
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高考数学复习
解排列组合应用题的
21
种策略
排列组合问 题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不
易掌握，实践证明，掌握题型和解 题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用
题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题 策略
.
1.
相邻问题捆绑法
:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一 个组，当作一个大元素参与排
列
.
例
1.
A
,
B
,
C
,
D
,
E
五人并排站成一排，如果
A
,
B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的
排法种数有
A
、
60
种
B
、
48
种
C
、
36
种
D
、
24
种
2.
相离问题插空排
:
元素 相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
再把规定的相离的几个元素插入上述几个 元素的空位和两端
.
例
2.
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A
、
1440
种
B
、
3600
种
C
、
4820
种
D
、
4800
种
3.
定序问题缩倍法
:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数
的方法
.
例
3.
A
,
B
,
C
,
D
,
E五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A
,< br>B
可以不相邻）那
么不同的排法种数是
A
、
24
种
B
、
60
种
C
、
90
种
D
、
120
种
4.
标号排位问题分步法
:
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步
再排另一个元素，如此继续下去，依次即 可完成
.
例
4.
将数字
1
，
2
，
3
，
4
填入标号为
1
，
2
，
3
，
4
的四个方格里，每格填一个数，则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有< br>
A
、
6
种
B
、
9
种
C
、
11
种
D
、
23
种
5.
有序分配问题逐分法
:
有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法
.
例
5.
（
1
）有甲乙丙三项任务，甲需
2
人承担，乙丙各需一人承担，从
10
人中选出
4
人承担这三项任务，不同的选法种数是
A
、
1260
种
B
、
2025
种
C
、
2520
种
D
、
5040
种
（
2
）
12
名 同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口
4
人，则不同的分
配方案有< br>
4
4
C
12
C
8
4
C
4
A
、
C
C
C
种
B
、
3
C
C
C
种
C
、
C
C
A
种
D
、
种
3
A
3
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
4
4
4
12
4
83
3
6.
全员分配问题分组法
:
例
6.
（< br>1
）
4
名优秀学生全部保送到
3
所学校去，每所学校至少去一 名，则不同的保送
方案有多少种？
（
2
）
5
本不 同的书，全部分给
4
个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
A
、
480
种
B
、
240
种
C
、
120
种
D
、
96
种
7.
名额分配问题隔板法
:
例
7.10
个三好学生名额分到
7
个班级，每个班级至少一个名额，有多少 种不同分配方
案？
8.
限制条件的分配问题分类法
:
例
8.
某高校从某系的
10
名优秀毕业生中选
4
人分别到西部 四城市参加中国西部经济开
发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
9.
多元问题分类法：
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的 几类情况
分别计数，最后总计
.
例
9.
（
1
）由 数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十
位数字的共有
A
、
210
种
B
、
300
种
C
、
464
种
D
、
600
种
（
2
）从
1
，< br>2
，
3
…，
100
这
100
个数中，任取两 个数，使它们的乘积能被
7
整除，这两
个数的取法（不计顺序）共有多少种？
（
3
）从
1
，
2
，
3
，…，100
这
100
个数中任取两个数，使其和能被
4
整除的取法（ 不计
顺序）有多少种？
10.
交叉问题集合法：
某些排列组合问题 几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公
式
n
(
A
B
)
n
(
A
)
n
(
B
)
n
(
A
B
)
.
例
10.从
6
名运动员中选出
4
人参加
4
×
100米接力赛，
如果甲不跑第一棒，
乙不跑第四
棒，共有多少种不同的参赛方案？
11.
定位问题优先法：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排
其它的元素。
例
11.1
名老师和
4
名 获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有
多少种？
12.多排问题单排法
:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理
. 例
12.
（
1
）
6
个不同的元素排成前后两排，每排< br>3
个元素，那么不同的排法种数是
A
、
36
种
B
、
120
种
C
、
720
种
D
、
1440
种
（
2
）
8
个不 同的元素排成前后两排，每排
4
个元素，其中某
2
个元素要排在前排，某1
个元素排在后排，有多少种不同排法？
13.
“至少”
“至 多”问题用间接排除法或分类法
:
抽取两类混合元素不能分步抽
.
例
13.
从
4
台甲型和
5
台乙型电视机中任取
3< br>台，
其中至少要甲型和乙型电视机各一台，
则不同的取法共有
A
、
140
种
B
、
80
种
C
、
70
种
D
、
35
种
14.
选排问题先取后排
:
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置
上，可用先取后排法
.
例
14.
（
1
）四个不同球放入编号为
1
，
2，
3
，
4
的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有
多少种？
（
2
）
9
名乒乓球运动员，其中男
5
名，女< br>4
名，现在要进行混合双打训练，有多少种不
同的分组方法？
15.
部分合条件问题排除法
:
在选取的总数中，
只有一部分合条件，
可以 从总数中减去不
符合条件数，即为所求
.
例
15.
（
1
）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A
、
70
种
B
、
64
种
C
、
58
种
D
、
52
种
（
2
）四面体的顶点和各棱中点共< br>10
点，在其中取
4
个不共面的点，不同的取法共有
A
、
150
种
B
、
147
种
C
、
144
种
D
、
141
种
16.
圆排问题线排法
:
把
n
个不同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列，顺序（例如按
顺 时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认
为是相同的，
它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、
末位之分，
下列
n
个普通排列：
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
n
;
a
2
,
a
3
,
a
4
,
,
a
n
,
;
a
n
,
a
1
,
,
a
n
1
在圆排列中只 算一种，因为旋转后可以重
n
!
种
.
因此可将某个元素固定展成线排 ，其它
n
合，故认为相同，
n
个元素的圆排列数有
的
n
1
元素全排列
.
例
16.5
对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
17.
可重复的排列求幂法
:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置
的约束，
可逐一安排元素的位置，
一般地
n
个不同 元素排在
m
个不同位置的排列数有
m
n
种方法
.
例
17.
把
6
名实习生分配到
7
个车间实习共有多少种不同 方法？
18.
复杂排列组合问题构造模型法
:
例
18.
马路上有编号为
1
，
2
，
3
…，
9
九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻
的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件 的关灯方案有多少种？
19.
元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法
:
例
19.< br>设有编号为
1
，
2
，
3
，
4
，5
的五个球和编号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的盒子现将这
5
个
球投入
5
个盒子要 求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问
有多少种不同的方法？
20.
复杂的排列组合问题也可用分解与合成法
:
例
20.
（
1
）
30030
能被多少个不同偶数整除？
（
2
）正方体
8
个顶点可连成多少队异面直线？
21.
利用对应思想转化法
:
对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，
它可以将复杂
的问题转化为简单问题处理
.
例
21.
（
1
）圆周上有
10
点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？
（
2
）某城市的街区有
12
个全等的矩形组成，其中实线表示马路， 从
A
到
B
的最短路径
有多少种？
B
A
答案
4
1.
解析：
把
A< br>,
B
视为一人，
且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于
4
人的全排列，
A
4
24
种， 答案：
D
.
5
2
2.
解析：除甲乙外，其余
5< br>个排列数为
A
5
种，再用甲乙去插
6
个空位有
A6
种，不同的
5
2
排法种数是
A
5
A
6
3600
种，选
B
.
3.
解析：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设 的排法只是
5
个元素全排
1
5
60
种，选
B
.
列数的一半，即
A
5
2
4.
解析：先把< br>1
填入方格中，符合条件的有
3
种方法，第二步把被填入方格的对应数字
填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有
3
×3
×
1=9
种填法，选
B
.