大学物理实验电子书
温柔似野鬼°
771次浏览
2021年01月28日 11:15
最佳经验
本文由作者推荐
学生会工作计划书-小学国旗下讲话稿
绪
论
物理实验的地位和作用
实验是人们认识自然规律、
改造客观世界的基本手段 。
借助于实验，
人们可以突破感官
的限制，扩展认识的境界，揭示事物的内在联系。< br>近代科学历史表明，
自然科学领域内的所
有研究成果都是理论和实验密切结合的结晶。< br>随着科学技术的发展，
实验的运用日益广泛和
复杂，
实验的精确程度越来越高，
实验环节在科学技术的重大突破中所起的作用也越来越大。
物理实验是科学实验的重 要组成部分之一。
物理实验本质上是一门实验科学。
在物理学
的发展中一直起着重要的 作用。
物理概念的确立、
物理规律的发展、
物理理论的建立都有赖
于物理实验 ，
并受物理实验的检验。
物理学是一切自然科学的基础，
人类文明史上的每次重
大的技术革命都是以物理学的进步为先导的，
物理实验在其中起着独特的作用。
如，
法拉第
等人进行电磁学的实验研究促使了电磁学的产生与发展，
导致了电力技术与无线电技术的 诞
生，
形成了电力与电子工业；
放射性实验的研究和发展导致原子核科学的诞生与核能 的运用，
使人类进入了原子能时代；
固体物理实验的研究和发展导致晶体管与集成电路的问世，
进而
形成了强大的微电子工业与计算机产业，使人类步入信息时代。
当今科 学技术的发展以学科互相渗透、交叉与综合为特征。物理实验作为有力的工具，
其构思、
方法和 技术与其他学科的相互结合已经取得巨大的成果。
不容置疑，
今后在探索和
开拓新的科 技领域中，物理实验仍然是有力的工具。
物理实验的任务和目的
物理实验是对工科学生进行科学实验基本训练的一门独立的必修基础课程，
是学生进入
大学 后受到系统实验方法和实验技能训练的开端，
是工科类专业对学生进行科学实验训练的
重要基础 。
本课程的具体任务是：
（
1
）通过对实验现象的观察 、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物
理学原理的理解。
（
2
）培养与提高学生的科学实验能力。其中包括：
① 能够自行阅读实验教材或资料，作好实验前的准备。
② 能够借助教材或仪器说明书正确使用常用仪器。
③ 能够运用物理学理论对实验现象进行初步分析判断。
④ 能够正确记录和处理实验数据，绘制曲线，说明实验结果，撰写合格的实验报告。
⑤ 能够完成简单的设计性实验。
（
3
）培养与提高学生的科学实验素养。要求 学生具有理论联系实际和实事求是的科学
态度，严肃认真的工作作风，主动研究的探索精神和遵守纪律、 爱护公共财产的优良品德。
物理实验课的基本程序
物理实验 多数是测量某一物理量的数值，
也有研究某一物理量随另一物理量变化的规律
性。对同一物理量 虽可用不同方法来测定，但是，
无论实验内容如何，
也不论采用哪一种实
验方法，物理 实验课的基本程序大都相同
,
一般分为如下三个阶段：
实验课前的预习
由于实验课时间有限，
而熟悉仪器和测量数据的任务比较重 ，
因此必须在实验课前认真
预习实验课本，明确实验的目的和实验的基本原理，了解实验的内容 和基本方法。预习时，
应以理解所述原理为主，
其次是明确实验目的和要求。
对于实验 过程的具体要求只作粗略了
解，以便能抓住实验的关键。为了使测量结果一目了然，
防止漏测数 据，预习时应根据实验
要求在记录纸上画好数据表格（表格的画法请参见节列表法）
。在达到预 习要求的基础上，
要求写好预习报告（统一写在实验报告纸上）
，其内容包括：
（
1
）实验名称。
（
2
）实验目的。
（
3
）实验原理（只要求写出原理摘要）
。
（
4
）实验仪器的概述。
（
5
）实验内容（概要地写出主要内容和步骤）
。
（
6
）注意事项（只写需要特别注意的事项）
。
进行实验
先对照课本了解仪器的结构原理和使用方法，
再将仪器安装调试好 ，
或开始接线，
准备
就绪后开始测量或观察。
测量时，应按有效数字规则读数和记录数据，其位数不能任意增减。
实验数据应经教师审阅认可，否则应重做或补做。
撰写报告
在原预习报告的基础上充实以下几部分内容：
（
1
）数据记录与处 理（包括记录表格、误差估算及最后结果的表示等，运算步骤应完
整，并注意有效数字）
。
（
2
）误差分析和问题讨论等。
问题讨论中，
包括 回答实验思考题，
分析实验中观察到的异常现象，
以及对实验课的意
见、建议等。
实验报告是实验工作的书面总结，
也是今后书写科研论文的基础，
应保持字迹端 正、
书
写整洁、条理清楚、内容正确和完整。
如实验报告不符合要求，教师可要求学生重写。
上
篇
1
物理实验的基础知识（上）
测量、误差、不确定度
测量与误差
1
）测量
物理实验是将物质的运动形态按人们的意愿在一定的实验条件下再 现，
以找出各物理量
间的关系，
确定它们的数值大小，
从中获取规律性认识的 过程。
而要在实验中得到这种定量
化的认识，测量是必不可少的。
测量从本 质上讲是人们对自然界中的客体获取数量概念的一种认识过程。
这一过程，
总
是通过一 定的实验者，运用一定的方法，
使用一定的仪器实现的。
在测量过程中，
为确定被测对象的测量值，首先要选定一个单位，
然后将待测量与这个单位进行比较，得到比值
（倍
数）即为测量值的数值。
显然，
数值的大小与所选的单位有关，因此表示一测量值数值 时必
须附以单位。
2
）直接测量与间接测量
所谓直接测 量就是将待测量与预先选定好的仪器、
量具比较，
直接从仪器上读出测量量
的大小。例 如，用米尺测长度，用天平测质量，用电流表测电流等。
应该指出的是，
能直接测量 的物理量并不多。
对大多数物理量来说，
没有可供直接进行
测量、
读数用的仪 器。
只能用间接的方法进行测量，
即将待测量表示成另外几个可直接测量
量的函数。< br>根据可直接测量的物理量的测量值通过一定的函数运算，
最终计算出待测量。
这
样的一类测量称为间接测量。例如，直接测量出铜柱体的高
h
和直径
d
，便可 间接测出其体
积
V
d
2
h
/
4
。如再直接测出其质量
m
，便又可间接测出其密度
3
）真值与误差
一个待测的物理量，
客观上在一定条件下都有一定的大小，< br>我们称之为“真值”。
显然，
我们测量的目的也正是为了寻求这一真值。
但具体 的测量由于总要使用一定的仪器，
通过一
定的方法，在一定的环境条件下，由一定的观测者去完 成，而仪器、方法、环境和测量者都
不可能是尽善尽美，
没有缺陷的。
因此，
得到的测量值和真值之间总不可避免地存在着或多
或少的差异．这种差异就是所谓的误差。
< br>如果用
A
表示待测量的真值，
X
表示具体的测量值，则可将测量的误差
X
表示为
m
4
m
2
。
V
d
h
X
X
A
（
1
）
测量得到的一切值，
都毫无例外地存在误差，
误差存在于一切测量之中，
而且 贯穿于测
量过程的始末。在误差无法避免的情况下，我们所做的工作应该是：
第一，尽量设法减小测量中的误差；
第二，找到在同一测量条件下，最接近于真值的最佳近似值；
第三，估计最佳值的可靠程度或者说明一个值域范围内包含真值的可能程度。
4
）误差的分类
根据误差形成的不同原因及表现出的不同特性通常将其分为 系统误差、
随机误差和过失
误差三类。
（
1
）系统误差。 在一定的实验条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的绝对值
和符号总保持不变或总按某一特定的 规律变化，这一类误差称为系统误差。
系统误差的产生原因可归结为以下几个方面：
① 仪器本身的缺陷。
如刻度不准确，
零点未校准，
仪器未按要求调到最佳测 量状态等。
② 理论与方法上的不完善。例如，用伏安法测电阻没有考虑电表内阻的影响，进 行热
学实验时有热量的散失等。
③ 外界环境因素的影响。例如，金属尺的热胀冷缩，标准电池的电动势随温度的改变
而发生变化。
④ 测量者的习惯和偏向。例如，有的测量者习惯于侧坐斜视读数，有的在记录信号时
总是偏快等。
系统误差的发现、
减小或修正是一项重要的实验课题，
对于广大学生来说，
则 是需要通
过具体的实验训练逐步培养的一种重要的实验技能。
原则上讲，
系统误差的分 析处理可以根
据具体情况在实验前、实验中或实验后进行。
例如，实验前选择合适的测量方法，
对测量仪
器进行校准；
在实验中可采取一定的方法和手段使测量中的系统误差消除或减 小；
在实验测
量后可对实验值进行理论修正等。关于系统误差知识的较详细的介绍，请参阅本教 材下篇
“物理实验的基础知识（下）”。
（
2
）随机误差。在相同 的条件下，多次测量同一物理量时误差时大时小，时正时负，
以一种不可预定的方式随机变化着，
这类误差称为随机误差。
它是由一系列随机的、
不确定
的因素所形成的。
例如：
① 人的感官判断力的随机性，在测量与读数时总难免存在时大时小的偏差。
② 外界因素的起伏不定，如温度的或高或低，电源电压的不稳定等。
③ 仪器内部存在的一些偶然因素，如零部件配合的不稳定等。
在实验过程中，上述因素往往混杂 出现，难以预知，难以控制，所以，对待随机误差，
不可能像对系统误差那样，找出原因，一一加以分析 处理。
习惯上，
随机误差又被称为“偶然误差”，
但在理解这一概念时要注 意，
所谓随机误差
（偶然误差）
仅仅是指在某一次具体的测量中，
其误差的大 小与正负带有偶然性
（随机性）
，
而不能理解为在测量过程中，
这类误差只是 偶然出现的，
也不能理解为“随机误差是完全偶
然的，随机性的，没有什么规律可循”。事实上 ，当测量次数充分多时，随机误差必然显示
出其特有的规律性。这一问题，我们将在下一节中讨论。
（
3
）
过失误差。
过失误差又称为粗大误差。
它是由 于不正确地使用仪器，
粗心大意．
观
察错误或记错数据等不正常情况引起的误差。只要实验者有严肃认真的科学态度，
一丝不苟
的工作作风，过失误差是可以避免的，即使不 小心出现了，也应能在分析后立即予以剔除。
5
）精密度、正确度和精确度
为了能正确评价实验中测量结果的好坏，可引入精密度、正确度和精确度这三个概念。
（
1
）精密度——表示重复测量所得的各测量值相互接近的程度，它描述了测量结果的
重复性的优劣，
反映了测量中随机误差的大小，
所谓测量精密度高，
就是指测量数据 的离散
性小，即随机误差小（但系统误差的大小不明确）
。
（
2< br>）正确度——表示测量结果与真值相接近的程度，它描述了测量结果的正确性的高
低，
反 映了测量中系统误差的大小程度，
所谓测量的正确度高就是指最后的测量结果与真值
的偏差小， 即系统误差小（但随机误差的大小不确定）
。
（
3
）精确度——是 对测量结果的精密性与正确性的综合评定，因而反映了总的误差情
况，
所谓测量的精确度高，< br>就是指测量值集中于真值附近，
即测量的随机误差与系统误差都
较小。
图
1
－
1
所示子弹打靶时的着弹点的分布情况可形象地说明上述三个量的意 义。
图
1
－
1
图（
a）表明数据的精密度高，但正确度低，相当于随机误差小而系统误差大；图（
b
）
则表示数据的正确度高而精密度低，即系统误差小而随机误差大；图（
c
）则代表精密度和正确度都较高，即精确度高，总误差小。
直接测量的结果及不确定度的分析
在直接对一个物理量进行测量时，
测量值 中往往同时存在系统误差和随机误差。
在本节
中，
我们将首先讨论随机误差的分析方法 ，
然后引入不确定度的概念并说明如何表示直接测
量的结果。
1
）随机误差的统计规律
如前所述，
就每一次测量而言，
其随机误差的大小和符号都是不可预知的，
具有“偶然
性”或“随机性”。但理论和实践都证明 ，如果对某一物理量在同一条件下进行多次测量，
则当测量次数足够多时，
这一组等精度测量数 据
（称为一个测量列）
其随机误差一般服从如
图
1
—
2所示的统计规律，图中横坐标表示误差
X
，纵坐标表示一个与该误差出现的几率
相关的几率密度函数
f
(
X
)
。
可以证明：
2
2
1
e
(< br>
X
)
/
2
2
这 种分布称为正态分布（高斯分布）
，其中的
为分布函数的特征量，其值为
图１
-2
f
(
X
)
(
X
i
)
2
i
1
n
n
服从正态分布的随机误差具有以下一些特征：
（
1
）
单峰性。绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的出现的概率大。
（
2
）
对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（
3
）
有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不超过一定限度。
（
4
）
抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋向于零。即
1
nlim
X
i
0
n
n
i
1
2
）测量结果的最佳值——算术平均值
在测量不可避免地存在随机误差的情况下，
每次测量值各有差异，
那么，
怎样 的测量值
是最接近于真值的最佳值呢
?
我们可以利用上面所讨论的随机误差的统计规律来分析怎样确定测量结果的最佳值。
设对某一物理量进行了
n
次等精度测量，得到的测量列为
X
1
、X
2
、
L
X
n
。设测量中的系
统误差可忽略， 每次测量的随机误差分别为
X
1
X
1
A
X
2
X
2
A
L
X
n
X
n
A
1
n
1
n
X
i
A
X
i
n
n
i
1
i
1
则
上式中的
1
X
，即
X< br>i
显然为
n
次测量值的算术平均值
n
1
n
X
X
i
n
i
1
（
3
）
1
X
i
0
，因此
X
A
，由此可见，在测量次数
n
充分多时测量列的算术平均值趋向于真值。
所以，
在相同条件下进行多次测量后，
我 们总是
取测量列的算术平均值作为测量列的最佳近似值（最佳值）
，因为，从统计上讲，测量列 的
按随机误差的抵偿性，
n
时，
算术平均值
X
比任何一个测量值
X
i
更接近于真值
A
。
此结论也适用于随机误差遵从其他分布规律的情况。
3
）多次测量的随机误差估计
当我们在相同条件下对同一物理量进行了n
次测量后，
我们已经得到了真值的最佳近似
值——算术平均值。那么，应如何表 示测量中的随机误差呢
?
目前，最通用的方法是采用与
随机误差的正态分布函数密切相 关的“标准误差”来表示随机误差。
现在让我们来分析式（
2
）中的特征量
的物理意义。
< br>图
1
－
3
表示的是不同
值时
f
(
x
)
图线。由图可见，
值小，则曲线较陡，说明这组< br>测量数据的分散性小，重复性好；而
值大，则曲线较平坦．分布较宽，说明测量数据的 重
复性差。
由此可见，这一特征量可用来反映一组测量数据的重复性的好坏（精密度 的高低）
，即
随机误差的大小，故将
定义为这组测量列的标准误差。其值为
(
X
i
)
i
1
n
n
2
(
X
i
A
)
2
i
1
n
n
（
4
）
应该指出，
标准误差
和各测量值的误差
X
i< br>有着完全不同的意义，
并不是一个具体
的测量的误差值，
而是一个统 计性的特征量。
当测量列的标准误差为
时，
该测量列中各测
量值的 误差很可能都不等于
，
但可以证明，
该测量列中任一测量值的随机误差落在
(
,
)
区间内的几率为
68
．
3%
。
还应该指出的是，
在实际测量中，
真值是无法 确知的，
我们只能用多次测量的算术平均
值
X
来近似地代表真值
A< br>。因而只能用各测量值与算术平均值之差
V
i
X
i
X
（称为残差）
来估计误差。
可以证明，在这种情况下，测量列的标准误差公式应修改为
＝
V
i
2
n
1
(
X
i
X
)
2
i
1
n
n
1
（
5
）
上式表示的是一测量列中各测量值所对应的标准误差，那么 各测量值的算术平均值
X
的随机误差如何估算呢
?
如前所述，从统计上讲X
应比每一个测量值
X
i
都更接近于真值，
应用误差理论可以证 明，算术平均值
X
的随机误差
X
为
X
n
(
X
i
X
)
2
i
1
n
n
(
n
1)
（
6
）
注意，
X
也是一个统计性的特 征量，它表示
X
在
(
A
X
,
A
X
)
区间内的几率为
%
。
由上式可知，随着测量次数
n
的增加，
X
将减小，这就是通常所 说的增加测量次数可
以减少随机误差的意义所在。但在
n
10
后，
X
变化很慢，所以，测量次数过多也没有多
少实际意义，综合各种因素考虑 ，在我们的实验中一般取
6
n
10
。
4
）单次测量的误差估计
在实际测量中，经常会遇到没有必要或不可能对某 一被测物理量进行多次测量的情况，
这时我们就对待测量进行单次测量。
单次测量没 有测量列，
没有算术平均值，
我们只能将这一测量值本身作为真值的近似值。
同时，< br>单次测量也不存在所谓数据的发散性问题，
但这绝不意味着单次测量不存在误差。
事实上，
单次测量的误差与所用仪器的精度，
测量者的实验技能等均有关系，
当作粗 略估计时
常取仪器的最大误差
仪
们作为单次测量的误差估计值。
所谓仪器的最大误差
仪
就是指在正确使用仪器的条件下，测量值的最大误差 ，它一般
同时包含着系统误差与随机误差两种成分。
一般的计量仪器上都标明了仪器 的“准确度级别”，
它通常是由制造工厂和计量机构使
图
1-3
用更精确的仪 器、
量具经过检定比较后得出的，
在测量时可根据准确度的级别推算出
仪器的最大误差
仪
（具体内容参见下一章）
。
对一些连续刻度的仪器，
仪器的最大误差常简单取作最小刻度的一半。
例如，
米尺的仪
器误差常取为< br>0
．
5mm
。
如果要较细致地分析仪器误差，
则应 注意到一般测量时仪器误差的概率分布规律呈现图
1
—
4
所示的均匀分布特征 。例如，眼睛引起的瞄准误差，机械
图
1-4
秒表在其分度值内不能分辨引起的误差都具有图示的均匀分布特征。
可以证明，服从均匀分布的仪器的最大误差所对应的标准误差为
仪
＝
仪
3
5
）直接测量量的不确定度的分析
（
7
）
（
1
）不确定度的概念。我们知道，测量 的目的是为了寻求真值。但我们通过实验无法
真正得到真值，
我们能得到的，
只是真值 的最佳近似值，
这一方面说明实验中必然存在误差，
另一方面同时说明了误差也并不能通过实验 或计算而准确得到。所以，
80
年代以来在工程
技术测量、
计量工作和实验中 等各领域已开始根据国际计量委员会
（
BIPM
）
所通过的关于“实
验不确定度表示的说明建议书”的精神，采用不确定度来评价测量的准确性。
所谓不确定度，
简单理解就是测量值不确定的程度，
是对测量误差大小取值的测度，
或
者说， 是对待测量的真值的可能范围的估计。不确定度是测量结果表述中的一个重要参数，
此参数合理地说明测 量值的分散程度和真值所在范围的可靠程度。
不确定度亦可理解为，
一
定置信概率下误 差限的绝对值，记作△。
不确定度和误差是两个不同的概念，
它们之间既有联系，< br>又有本质区别。
误差是指测量
值与真值之差，
一般来说，它是未知的，
无法确切表达的量。
而不确定度是指误差可能存在
的范围，这一范围的大小能够用数值表达。< br>
（
2
）直接测量量的不确定度计算。为综合考虑实验中的各种误差情况，通常 将不确定
度分为两类分量：
不确定度
A
类分量：指多次重复测量后 用统计方法算出的分量，用
A
表示。
不确定度
8
类分量：指不能用统计方法计算而需用其他方法估算的分量，用
B
表示。
当两类不确定度都存在时，总不确定度为它们的方和根合成。
2
2
A
B
（
8
）
① 多次测量的不确定度计算。在物理实验教学中，当对某一物理量进行多次直接测量
后，我们 约定取
A
X
（
9
）
（
10
）
B
仪
＝
仪
3
即取多次重复测量的平均值的标准误差为不确定度
A
类分量，取仪器的标准误差为不确定
度
B
类分量，则
2
x
2
A
B
(
X
i
)
2
i
1
n
2
(
仪
）
n
(
n
1)
3
（
11
）
② 单次测量的不确定度计算。对单次 测量，不存在不确定度的
A
类分量，而
B
类分量
可取为仪器的最大误 差，为
x
B
仪
（
12
）
有时，式（
12
）算出的单次测量的不确定度可能会小于用式（
11
）算出的多次测量的不
确定度，但这并非说明单次测量反而比多次测量准确。实际上，两者的“置信概率 ”不等，
即在所计算出的不确定度内包含真值的概率不等。
另外，
多次测量后如果测量 列中各数据基
本一样或完全相同。
这并不能说明测量得非常准确，
以至于不存在不确定 度的
A
类分量，
而
只说明仪器的精度太低，
多次测量已没有意义，< br>在这种情况下取
x
B
仪
是合理的选择。
6
）相对误差与相对不确定度
上面所讲 的标准误差、
仪器误差等都是以误差的绝对大小来反映误差情况的，
它们与被
测量有相 同的单位，
称为绝对误差。
但是，为了更全面地评定测量结果的优劣，还需考虑这
一绝 对误差对测量值本身的大小产生的相对影响，为此，引入相对误差的概念。
绝对误差
相对误差＝
测量值
即
E
X
X
（
13
）
当待测量有公认值或理论值时，
为衡量实验结果的优劣，
可将测量值与公认值或理论值
进行比较，用百分误差表示实验的误差情况，可写为
|
测量值－公认值
|
百分误差＝
100%
公认值
|
X
X
0
|
即
E
0
100%
X
0
与误差 情况类似，为了更全面、准确地反映实验的精度，还需考虑“相对不确定度”，
它实际上就是相对误差范 围的估计值。
不确定度
相对不确定度＝
测量值
即
E
x
X
（
14
）
间接测量的结果与不确定度的合成
1
）间接测量的结果与误差的传递
物理实验中的大部分物理量都需由间接计 算得到，
即在直接测量的基础上，
通过一定的
函数运算得到。
显然，将各直接 测量的结果（多次测量的平均值或单次测量的测量值）
代入
相应的测量公式就可得到所谓“间接 测量的结果”。用
x
、
y
、
z
、
L
表示各 独立的直接测量
量，
N
表示间接测量量，则可表示为
N
f
(
x
,
y
,
z
,
L
)
差，这就是“误差的传递”问题。
当各直接测量量的绝对误差 分别是
x
、
y
、
z
、间接测量量的误差
N
如何呢
?
为
L
时，
（
15
）
< br>由于各直接测量量都带有一定的误差，
所以在此基础上得到的间接测量量也必然带有误
回 答这一问题，可考虑对上式进行全微分，即
f
f
< br>f
dN
d
x
d
y
d
z
K
x
y
z
（
16
）
众所周知，
上式的数学意义是当
x、
y
、
z
L
分别有微小偏差
d
x
、< br>d
y
、
d
z
、
L
时，
N
有 相应
的偏差
dN
。由于一般情况下，误差远小于测量值，故可将
d
x
、
d
y
、
d
z
、
L
视为各直接测 量量
的误差
x
、
y
、
z< br>、
，而将
dN
视为间接测量的误差
N
，则有
L
，
f
f
f
N
x
y
z
L
x
y
z上式可视为误差传递的基本公式。
若先对式（
15
）取自然对数后再全微分，则
ln
N
ln
f
(
x
,
y
,
z
,< br>L
)
dN
ln
f
ln
f
ln
f
d
x
d
y
dz
L
N
x
y
z
（
17
）
同理可得
< br>N
ln
f
N
x
ln
f
x
y
ln
f
y
z
z
L
（
18
）
上式可视为相对误差的基本传递公式。
2
）间接测量量的不确定度的合成
当我们用不确定度来反映测量的误差情况 时，
上面的误差传递问题实际上也就是不确定
度的传递问题，
或者也可以说，
是不确定度的合成问题，
因为从上面讨论的公式来看，
间接
测量量的不确定度总是由各 个独立的直接测量量的不确定度合成的，
但具体的合成方法不止
一种。
（< br>1
）不确定度的绝对值合成法——不确定度合成公式之一。间接测量的不确定度就是
对间 接测量误差的一种测度，
当我们不知道各直接测量量的误差的符号时，
为避免对间接测
量的误差估算不足，最保险的办法是将式（
17
）或式（
18
）中各项取绝对 值，分别用不确定
L
替换误差
x
、
y
、
z
、
度
x
、
y
、
z
、
L
由此得到的不确定度的合成公式为
N
f
f
f
x
y
z
L
x
y
z
（
19
）
N
ln
f
ln
f
ln
f
x< br>
y
z
L
N
x
y
z
（
20
）
这种合成过程计算较简便，
但计算结果往往偏大 。
一般适用于仪器较粗糙，
实验精确度
较低，系统误差较大的实验。
（
2
）不确定度的方和根合成法——不确定度合成公式之二。对仪器精度较高，系统误
差较小的实验，
考虑不确定度的合成时，
则应注意到，
事实上各分项误差的符号总有 正有负，
它们传递给间接测量量时总会抵消一部分，
所以，
上面的不确定度合成公式夸 大了间接测量
量的不确定度。
对以随机误差为主的不确定度的传递问题，
更 合理的合成方法是方和根合成法。
即用以
下两个公式计算问接测量量的不确定度和相对不确定度 ，即
f
2
f
2
f
N
2
y
z
L
x
x
z
y
2
2
2
2
2
2
（
21
）
N
ln
f
2
ln
f
2
ln
f
2
< br>y
x
< br>z
L
N
x
< br>
z
y
（
22
）
为较科学地反映实验中的误差和不确定度情况，考虑到物 理实验是基础课程的特殊性，
L
。
建议一般采用方和根合成法计算间接测量量的不确定 度
x
、
y
、
z
、
计算过程分为三步：
L
。
① 先分析确定各直接测量量的不确定 度
x
、
y
、
z
、
② 根据函数关系
N
f
(
x
,
y
,z
、
。
L
)
写出
N
的全微分式（
16
）
③ 用式 （
21
）或式（
22
）计算
N
的不确定度
N
或相对不确定度
N
/
N
。
例
1
．
1
用不确定度的方和根合成法推导加减运算和乘除运算的不确定度的合成公式
解
2
（
1
）设
N
x
y
，则
dN
dx
dy
，应有
N
2
x
y
，而
2
2
N
x
y
N
x
y
2
（
2
）设
N
x
y
，则
dN
dx
< br>dy
，仍有
N
2
x
y
，而
2
2
N
x
y
N
x
y
2
2
2
（
3
）设
N
xy
，则
dN
(
dx
)
y
(
dy
)
x
，应有
N
2
x
y
yx
，而
2
N
< br>
x
y
< br>
N
x
y
2
或
因
ln
N
ln
x
ln
y
ln
x
1
ln
y
1
,
x
x
y
y
N
x
y
N
x
y
2
2
故
（
4
）设
N
x
1
,
则
dN
2
(
ydx
xd y
)
，应有
y
y
N
1(
x
y
)
2
(
yx
)
2
2
y
2
2
而
或
N
x
y
N
x
y
ln
N
ln
x
ln
y