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2021年01月28日 11:49
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三孔导游词-监理员实习报告
第一章极限与连续
第一节
数列的极限
一、数列极限的概念
按照某一法则，对于每一个
n
N< br>
，对应一个确定的实数
x
n
，将这些实数按下标
n
从小到大排列，
得到一个序列
x
1
,
x
2
,
,
x
n
,
称为数列，简记为数列
{
x
n
}
，
x
n
称为数列的一般项。例如：
1
2
1
2
,
2
3
1
4
1
2
,
3
4
1
8
4
3
,
,
n
n
1
1
2
6
5
n
,
2
,
4
,
8
,
,
2
n
,
,
,
,
,
,
n
1
1
,
1
,
1
,
,
(
1
)
2
,
一般项分别为
,
,
3
4
,
n
,
n
(
1
)
n
n
1
n
1
,
,
,
n
n
1
，
2
，
1
2
n
，
(
1
)
，
n
(
1
)
n
n
1
数列
{
x
n
}
可看成自变 量取正整数
n
的函数，即
x
n
f
(
n< br>)
，
n
N
设数列
x
n
n
(
1
)
n
1
1
1
为
使
|
x
n
1
|
，
只
需
要
n
100
，即
从
101
项
以
后
各
项
都
满
足
1
n
n
1
0
0
1
，
|
x
n
1
|
1
0
0
n
1
n
(
1
)
1
1
为使
|
x
n
1
|
，
只需要
n
100000
，即从
100001
项以后各项都满足
1
n
n
100000
1
，
|
x
n
1
|
100000
n
1
n
(
1
)
1
1
1
为使
|
x
n
1
|
，
只需要
n
< br>，
即当
n
以后，
1
（
是任意给定的小正数）
n
n
各项都满足
|
x
n
1
|
。
n
n
1
n
(
1
)
，来说明数列
{
x
n
}
以
1
为 极限。
令
N
[
]
，
当
n
N
时，
因此有
|
x
n
1
|
，
即任意给定小正数
，
总存在正整数N
[
]
，
n
，
当
n
N
时的一切
x
n
都满足|
x
n
1
|
，则
< br>定义
：设
{
x
n
}
为一数列，如果存在常数
a
，对于任意给定的正数
（不论它多么小）
，总存在正整数
N，使得当
n
N
时的一切
x
n
都满足不等式< br>
1
1
1
|
x
n
a
|
则说常数
a
是数列
{
x
n
}
的极限，或者 说数列
{
x
n
}
收敛于
a
，记为
lim
x
n
a
或
x
n
a
(
n
)
n
如果不存在这样的常数
a
，则说数列
{x
n
}
没有极限，或者说数列
{
x
n
}
发散。
1
数列
{
x
n
}
以
a
为极限的几何意义：任意给定的正数
，总存在正整数
N
，当
n
N
时的一切
x
n
，有
|
x
n
a
|
即
a
x
n
a
或
x
n
(
a
,
a
)
也就是当
n
N
的一切
x
n
都落在
a
的
邻域
U
(
a
,
)
内，在
U
(
a
,
)
的 外边至多有
N
项（图）
x
1
x
N
a
x
N
1
a
x
N
2
a
例
1
证明数列
12
,
2
3
,
3
4
,
,n
n
1
,
的极限为
1
。
证明：①分析：为使
|
x
n
a
|
n
n
1
1
n
1
1
，只需要
1
n< br>
1
，或
n
1
1
②证明：任意给定小正数
，取
N
[
|
x
n
1
|
因此，
lim< br>n
n
1
n
1
，即
n
1
1
n
n
1
1
1
]
，当
n
N
时的一切
x
n
满足
1
例
2
已知
x
n
(
1
)
n
2
1
1
1
1
，只需要
，由于
，
0
2
2
2
2
n
1
(
n
1
)
(
n
1
)
(
n
1
)
(
n
1
)
1
1
1
故
时，即
n
< br>1
，或
n
1
时
n
1
1
。
2
(
n
1
)
1
证明：任意给定小正数< br>
，取
N
[
1
]
，当
n
N
时的一切
x
n
满足
n
(
1
)
1
1
|
x
n
0
|
0
2
(
n
1
)
n
1
(
n
1
)
n
(
1
)
因此，
lim
0
n
< br>
(
n
1
)
2
例
3
设
|
q
|
1
，证明等比数列
(
n
1
)
，证明数列
{
x
n
}
的极限是
0
。
(
1
)
n分析：为使
|
x
n
a
|
1
,
q
,
q
,
,
q
的极限是
0
。
2
n
1
,
证明：任给
0
（设
0
）
，由于
|
x
n
0
|
|
q
n
1
0
|
|
q
|
n
1
ln
ln
|
q
|
为使
|
x
n
0
|
，只需
|
q
0
|
|
q
|
ln
N
[
1
]
，当
n
N
时，有
ln
|
q
|
|
x
n
0
|
|
q
n
1
n
1
n
1
，解得
(
n
1
)
ln|
q
|
ln
，或
n
1
。故取
0
|
|
q
|
n
1
因此，
lim
q
n
n
1
0
。
二、收敛数列的性质
2
定理
1
（极限的唯一 性）如果数列
{
x
n
}
收敛，则它的极限是唯一的。
证明：反证法：如果
x
n
a
，
x
n
b
，不妨设
a
b
。取
由 于
x
n
a
，存在
N
1
，当
n< br>
N
1
时，
|
x
n
a
|
又由于
x
n
b
，存在
N
2< br>，当
n
N
2
时，
|
x
n
b
|
|
x
n
a
|
b
a
2
b
a
2
b
a
b
a
2
b
a
2
b
a
2
。
；
。取
N
max{
N
1
,
N
2
}
，则当
n
N
时，
a
b
2，
|
x
n
b
|
得
xn
由
|
x
n
a
|
2
a
b
2
n
1
，
b
a
2
，由
|
x
n
b< br>|
得
x
n
，矛盾，故必须
a
b
。
例
4
证明数列
x
n
< br>(
1
)
（
n
1
,
2< br>,
）是发散的。
对于数列
{
x
n
}
，
如果存在正数
M
，
使得对于一切
x
n
，
有
|
x
n
|
M
，
则说数列
{
x
n
}
是有界的；
否则，
则说数列
{< br>x
n
}
是无界的。
定理
2
（收敛数列的有 界性）如果数列
{
x
n
}
有极限，则数列
{
xn
}
一定有界。
证明：注意到
|
x
n
|
|
x
n
a
a
|
|
x
n
a
|
|
a
|
，可证明定理
2
。
定理
3
（收敛数列的保号 性）如果
lim
x
n
a
，且
a
0
（或
a
0
）
，则存在正整数
N
，当
n
N
时
n
的一切
x
n
，有
x
n
0
（或
x
n
< br>0
）
。
证明：取
a
2
即可证明定理。
n
推论
如果数列
{
x
n< br>}
从某项起有
x
n
0
（或
x
n< br>
0
）
，且
lim
x
n
a
，则
a
0
（或
a
0
）
。< br>
对于数列
{
x
n
}
，从中抽取
x
n
，
x
n
，
，
x
n
，
1
2
k
称为数列
{
x
n
}
的一个子数列。
定理
4
如果数列
{
x
n
}
收敛于
a
，则数列
{
x
n
}
的任何子数列都收敛，且收敛于a
。
第二节
函数的极限
一、函数极限的定义
1
．自变量趋向于无穷大时函数的极限
数
列
是
特
殊的
函
数，
如
x
n
f
(
n
)
y
f
(
x
)
x
x
1
n
n
1
，是否有
x
时，
f
(
x< br>)
1
？
x
x
1
，< br>n
1
,
2
,
，
且
n< br>
时
，
x
n
1
，
考< br>虑函
数
1
x
1
1
任
意
给
定
小
正
数
，
为
使
|
f
(
x
)
1
|
|
|
x
1
|
|
x
|
1
， 即
|
x
|
1
1
|
，
只
要
|
|
，
即
|
x
1
|
1
即可。
1
任给
0
，存在正数
X
1
，当
|
x
|
X
时，对应的函数 值
f
(
x
)
满足
x
|
f
(
x
)
1
|
|
1
|
x
1
。
由
于
即当
x
时，
f
(
x
)
以
1
为极限。
定义
1
设函数
f
(
x
)当
|
x
|
大于某一正数时有定义。如果存在常数
A
，对 于任意给定的正数
（不论
3
它多么小）
，总存在正数
X
，使得
x
满足不等式
|
x
|
X
时，对应函数值
f
(
x
)
满足
|
f
(
x
)
A
|
则说常数
A
为函数
f
(
x
)
当
x
时的极限，记为
lim
f
(
x
)
A
或
f
(
x
)
A
（当
x
）
x
lim
f(
x
)
A
：
0，
X
0
，当
|
x
|
< br>X
时，
|
f
(
x
)
A
|
。
x
例
1
证明
lim
分析：为使
|
3
x
x
0
。
3
x
|
，即
3
，或
|
x
|
< br>3
x
|
x
|
3
3
证明：
0
，
X
，当
|
x
|
X
时，
|
0
|
，因此
x
|
x
|
3
l im
0
。
x
x
3
0
|
，只要
|
3
。
l
i
m
f
(
x
)
A
的几何解释：
0
，
X
0
，当
|
x
|
X
时，
x
|
f
(
x
)
A
|
即
f
(
x
)
A
或
A
f
(
x
)
A
如图所示：
如果
0
，
X
0
，当
x
X
时，
|
f
(
x
)
A
|
，则说
x
时，
f
(
x
)
A
，记为
x
< br>lim
f
(
x
)
A
；
如果
0
，
X
0
，当
x
X
时，
|
f
(
x< br>)
A
|
，则说
x
时，
f
(
x
)
A
，记为
x
lim
f
(
x
)
A
显然，
lim
f
(
x
)
A
lim
f
(
x
)
A
，
li m
f
(
x
)
A
x
x
x
例如：
f
(
x
)
|
x
|
x
，有
limf
(
x
)
1
，
lim
f
(
x
)
1
。
x
x
2
．自变量趋向于有限值时函数的极限
例
1
，
f
(
x
)
2
x
1
，
x
2
时，
f
(
x)
5
；
例
2
：
f
(x
)
x
1
x
1
2，定义域为
x
1
，但
x
1
时，< br>f
(
x
)
2
；
任
意< br>给
定
小
正
数
，
为
使
|< br>f
(
x
)
A
|
|
2< br>x
1
5
|
|
2
x< br>
4
|
，
只
要
2
|< br>x
2
|
，
即
|< br>x
2
|
即可。
2
任意给定小正数
，为使
|
f
(x
)
A
|
|
x
1x
1
2
2
|
|
(x
1
)(
x
1
)
x
< br>1
2
|
只要
|
x
1
|
，即
0
|
x
1
|
即可。
定义
2
设函数
f
(
x
)
在点
x
0
的某一去心邻域内有定义。
如果存在常数
A
，
对于任意给 定的正数
（不
论它多么小）
，总存在正数
，使得
x
满足不等式
0
|
x
x
0
|
时，对应函数值
f
(
x
)
满足
|
f
(
x
)
A
|
4
则说常数< br>A
为函数
f
(
x
)
当
x
x
0
时的极限，记为
x
x
0
lim< br>f
(
x
)
A
或
f< br>(
x
)
A
（当
x
x
0
）
x
x
0
lim
f
(
x
)
A
：
0
，
0
，当
0
|
x
x
0
|
时，
|
f
(
x< br>)
A
|
。
例
2
证明
lim
(
3
x
1
)
8
。
x
3
分析：为使
|
(
3
x
1
)
8
|
|
3
x
9
|
，只要< br>3
|
x
3
|
，即
|
x
3
|
证
明
：
0
，
当
0
|
x
3
|
3
|
f
(
x
)
8
|
|
(
3
x
1
)
8
|
3
|
x
3
|
，
取
3
。
时
，
对
应
函
数
值
满
足
因此，
lim
(
3
x
1
)
8
。< br>
x
3
lim
f
(
x
)
A
的几何解释：
0
，
0
，当
0
|
x
x
0
|
时，
x
x
0
|
f
(
x
)
A
|
即
f
(
x
)
A
或
A
f
(
x
)
A
0
即
x
U
(
x
0
,
)
时，
f
(
x
)
U
(
A
,
)
如图所示：
如果
0
，
0
，当
x
x
0
时，
|
f
(
x
)
A|
，则说
x
从
x
0
的右侧趋向于
x
0
（记为
x
x
0
）时，
f< br>(
x
)
A
，记为
lim
f(
x
)
A
，或
f
(
x
0< br>)
A
；
x
x
0
< br>
如果
0
，
0
，当
x
0
x
时，
|
f
(
x
)
A
|
，则说
x
从
x
0
的左侧趋向于
x
0
（记 为
x
x
0
）时，
f
(
x
)
A
，记为
lim
f
(
x
)
A
，或
f
(
x
0
)
A；
x
x
0
显然，
l im
f
(
x
)
A
lim
f< br>(
x
)
A
，
lim
f
(
x
)
A
x
x
0
x
x
0
x
x
0
x
1
,
x
0
f
(
x
)
0
,
x
0
x
1
,
x
0
当
x
0
时，
f
(
x
)
的极限不存在。
例
3
设函数
例
4
证明
lim
c
c
x
x
0
例
5
证明
lim
x
x
0
x
x
0
例
6
证明
lim< br>x
4
x
2
sin
x
x
2
x
2
4
例
7
证明
lim
x
0
二、函数极限的性质
定理
1
（函数极限的唯一性）如果
lim
f
(
x
)
存在，则极限是唯一的。
x
x
0
定理
2
（函数极限的局部有界性）如果
lim
f
(
x
)
A
，
则存在正数
M
和
，
使得当
0
|
x
x
0
|
x
x
0
时，有
|
f
(
x
)
|
M< br>。
证明：
|
f
(
x
)
|
|
f
(
x
)
A
A
|
|
f
(
x
)
A
|
|
A
|
|
A
|
5
定理
3
（函数极限的局部保号性） 如果
lim
f
(
x
)
A
，且
A
0
（或
A
0
）
，则存在常数
0
，
x
x
0
使得当
0
|
x
x
0
|
时，有
f
(
x
)
0
（或
f
(
x
)
0
）
。
0
推论
如果在
x
0
的某去心邻域
U
(
x
0
,< br>
)
内，
f
(
x
)
0
（ 或
f
(
x
)
0
）
，
且
lim
f
(
x
)
A
，
则
A
0
（或
x
x
0
。
A
0
）
定理
4
（
函数极限与数列极限 的关系）
如果极限
lim
f
(
x
)
A< br>，
{
x
n
}
为函数
f
(
x
)
定义域内一收敛
x
0
x
x
0
的数列， 且
x
n
x
0
（
n
N
）
，则对应的函数值数列
{
f
(
x
n
)}
也收敛，且
lim
f
(
x
n
)
lim< br>f
(
x
)
A
。
n
< br>
x
x
0
证明：由于
lim
f
(
x
)
A
，则
0
，
0
，当
0
|
x
x
0
|
时，有
|
f< br>(
x
)
A
|
；
< br>x
x
0
又由于
lim
x
n
x
0
，
故对于上面的
0
，
当n
N
时，
有
|
x
n
x< br>0
|
，
当然有
0
|
x
n
x
0
|
；
N
，
n
因此，
0
，
N
，当
n
N
时，有
0
|
x
n
x
0
|
，故
|
f
(
x
n
)
A
|
，即
l
i
m
f
(
x
n
)
A
。
n
第三节
无穷小与无穷大
一、无穷小
定义
1
如果函数
f
(
x
)
当
x
x
0
（ 或
x
）时的极限为零，则函数
f
(
x
)
称为当
x
x
0
（或
x
< br>）时的无穷小。
1
x
1
x
例如：
lim< br>(
x
1
)
0
，
因此
(
x
1
)
为
x
1
时的无穷小；
lim
n
1
n
x
0
n
0
，
因此
为
x
时的无穷小。
f
(
x
)
为
x
x
0
时
的
无
穷
小
lim
f
(
x
)
0
0
，
0
，
当
0
|
x
x
0
|
时
，
|
f
(
x
)
|
；
f
(
x
)
为
x
时的无穷小
< br>lim
f
(
x
)
0
0
，
X
0
，当
|
x
|
X
时，
|
f
(
x
)|
；
n
定理
1
在自变量的同一变化过程
x
x
0
（或
x
）中，函数
f
(
x
)
以
A
为 极限的充分必要条件是
f
(
x
)
A
，其中
是无穷小。
证明：必要性：设
lim
f
(
x
)
A
，则
0
，
0
，当
0
|
x
x
0
|
时，
|
f(
x
)
A
|
。
n
x
0
令
f
(
x)
A
，则
是
x
x
0< br>时的无穷小，且
f
(
x
)
A
。
充分性：设
f
(
x
)
A< br>
，其中
A
为常数，
是
x
< br>x
0
时的无穷小。于是，
0
，
0
，
当
0
|
x
x
0
|
时
，
|
|
，
即
|
f
(
x
)
A
|
，
因
此
，
A
为
f
(
x
)
当
x
x
0
时
的
极
限
，
或
n
x
0
lim
f
(
x
)
A
。
二、无穷大
如果当
x
x
0
（或
x
）
时，
对应的函数值的绝对值
|
f
(
x
)
|
无限增大，
则称函数
f
(
x< br>)
为
x
x
0
（或
x
）时的无穷大。
定义
2
设函数
f
(
x
)
在
x
0
的某一去心邻域内有定义
（或
|
x
|
大于某一正数时有定义）
如果对于任意给
定的正数
M
（ 不论它多么大）
，总存在正数
（或正数
X
）
，当
x
满足
0
|
x
x
0
|
（或
|
x
|
X
）时，
对 应函数值
f
(
x
)
满足
|
f
(
x
)
|
M
6
则说函数
f
(
x
)
为
x
< br>x
0
（或
x
）时的无穷大。
如果函数
f
(
x
)
为
x
x
0< br>（或
x
）时的无穷大，也可记为
lim
f
(
x
)
（或
lim
f
(
x
)
）
n
x
0
n
例如：
n
x
0
1
x
1
为
x
1
时的无穷大；
2
x
1
为
x
时的无穷大。
lim
f
(
x
)< br>
：
M
0
，
0
，当
0
|
x
x
0
|
时，
f
(
x
)
M
；
lim
f
(
x
)
：
M
0
，
X
0
，当
|
x
|
X
时，
f
(
x
)
M
。
n
如果
lim
f
(
x
)
，则直线x
x
0
是函数
y
f
(
x
)
的图形的铅直渐近线；
n
x
0
如果
lim
f
(
x
)
A
，则直线
y
A
是函数
y
f
(
x
)
的图形的水平渐近线。
n
定理
2
在自变量的同一变化过程中，如果
f
(
x
)
为无穷大，则
穷小，且
f
(
x
)
0< br>，则
第四节
极限运算法则
定理
1
有限个无穷小的和也是无穷小。
证明：以两个无穷小的和为例：
设
及
是
x
x
0
时的两个无 穷小，令
。
1
f< br>(
x
)
1
f
(
x
)
为无穷小；反之 ，如果
f
(
x
)
为无
为无穷大。
由于< br>
是
x
x
0
时无穷小：
0
，
1
0
，当
0< br>
|
x
x
0
|
1< br>时，
|
|
2
；
又 由于
是
x
x
0
时无穷小：对于
0
，
2
0
，当
0< br>
|
x
x
0
|
2< br>时，
|
|
2
；
取
min{
1
,
2}
，
则当
0
|
x
x
0< br>|
时，
故
|
|
0
|
x
x
0
|
1
与
0
|
x
x
0
|
2
都成立，
2
与
|
|
同时满足，因此
2
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
即
为
x
x
0
时的无穷小。
定理
2
有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论
1
常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论
2
有限个无穷小的乘积也是无穷小。
定理
3
如果
lim< br>f
(
x
)
A
，
lim
g
(
x
)
B
，则
(1)
lim[f
(
x
)
g
(
x
)]
< br>lim
f
(
x
)
lim
g
(x
)
A
B
(2)
lim[< br>f
(
x
)
g
(
x
)]
lim
f
(
x
)
lim
g
(< br>x
)
A
B
(3)
lim< br>f
(
x
)
g
(
x
)
li m
f
(
x
)
lim
g
(
x
)
A
B
(
B
0
)
证明 ：以
(2)
为例，由于
lim
f
(
x
)
A
，得
f
(
x
)
A
，
为无穷小；又由于
lim
g
(
x
)
B
，得
g
(
x
)
B
，
也为无穷小，因此
7
f< br>(
x
)
g
(
x
)
(< br>A
)
(
B
)< br>
AB
A
B
由定理与推论，得
A
B
为无穷小，故
A
B
为
f
(
x< br>)
g
(
x
)
的极限。
定理3
中的
(1)
和
(2)
可推广到有限个的情况，即
< br>lim[
f
(
x
)
g
(
x
)
h
(
x
)]
lim
f
(
x
)
lim
g
(
x
)
lim
h
(
x
)
lim[
f
(
x
)
g
(
x
)
h
(
x
)]
lim
f
(
x
)
l im
g
(
x
)
lim
h
(
x< br>)
推论
1
如果
lim
f
(
x< br>)
存在，
c
为常数，则
lim[
c
f
(x
)]
c
lim
f
(
x
)
推论
2
如果
lim
f
(
x
)
存 在，
n
为正整数，则
lim[
f
(
x
)]< br>n
[lim
f
(
x
)]
n
将定理
3
应用于数列的情况，得
定理
4
如果< br>lim
x
n
A
，
lim
y
n
B
，则
n
n
(1)
lim
(
x
n
y
n
)
A
B
n
(2)
lim
(
x
n
y
n
)
A
B
n
(3)
lim
x
n
y
n
n
A
B
(
y
n
0
,
n
1
,
2
,
,
且
B
0
)
2
例
1
求
lim
(
2
x
3
x
2
)
x
2
例
2
求
lim
x
1
x
5
x
3
2
3
x
2
对于多项式函数
f
(
x
)
a
0
x
a
1
x
有
x
x
0
x
x
0
n
n
1
a
n
1
x
a
n
n
1
lim
f
(
x
)
lim
(
a< br>0
x
a
1
x
n
x
x< br>0
n
n
a
n
1< br>x
a
n
)
n
1
a
0
(
lim
x
)
a
1
(
lim
x
)
x
x0
a
n
1
lim
x
a
n
x
x
0
对于有理分式函数
a
0
x
0
a
1
x
0
n
1
a
n
1
x
0
a
n
f(
x
0
)
P
(
x
)
F
(
x
)
Q
(
x
)
其中
P
(
x
)
，
Q
(
x
)
都是多项式，于是有
li m
P
(
x
)
P
(
x
0
)
，
lim
Q
(
x
)
Q
(x
0
)
x
x
0
x
x
0
因此，当
Q
(
x
0
)
0
时
limF
(
x
)
lim
x
x
0
P
(
x
)
Q
(
x
)
例
3
求
lim
例
4
求
lim
2
x
3
2
x
x
0
x
x
0
lim
P
(
x
)
P
(
x
0
)
Q
(
x
0
)
x
1
x
2
5
x
4
x
6
x
8
2
x
x
0
lim
Q
(
x
)
F< br>(
x
0
)
x
4
例
5
求
lim
x
3
5
x
2
4
3
x
6
x
8
7
x
5
x
4
3
2
x
8