新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1
绝世美人儿
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2021年01月28日 12:42
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新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题
一、基础知识点：
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为
a
，
b
，斜边为
c
，那么
a
2
b
2
c
2
勾股定理的由来：
勾股定理也叫商高定理，
在西方称为毕达哥拉斯定理．
我国古代把直
角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
斜边称为弦．< br>早在三千多年前，
周
朝数学家商高就提出了
“
勾三，
股四，< br>弦五
”
形式的勾股定理，
后来人们进一步发现并证明了
直角三角形的三 边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２
.
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①
图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②
根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
A
D
H
E
F
b
c
G
a
B
C
方法一：
4
S
< br>S
正
方
形
EFGH
S
正
方
形
ABCD
，
4
方法二：
12
ab
(
b
a
)
c< br>2
2
，化简可证．
a
b
c
a
b< br>c
b
c
c
b
四个直角三角形的面积与小正方形面积 的和等于大正方形的面积．
四个直角三
角形的面积与小正方形面积的和为
S
4
2
积
为
S
(
a
b
)
a
a
A
a
1
2
D
b
ab
c
2
ab
c
2
2
2
大正方形面
c
a
2
2
a
b
b
所
以
a
b
1
2
a b
1
2
c
2
2
2
c
方
法
三
：
B
2
c
b
E
a
C
S
梯
形
1
2
(
a
b
)
(
a
，
b
)
S
梯
形
2S
ADE
S
ABE
2
，化简得证
３
.
勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所 存在的数量关系，
它只适用于直角三角形，
对于锐
角三角形和钝角三角形的三边就不具 有这一特征，
因而在应用勾股定理时，
必须明了所考察
的对象是直角三角形
４
.
勾股定理的应用
①
已知直角三角形的任意两边长，求第三边在< br>
A
B
C
中，
C
90
，则
c
a
b
，
b
2
2
c
a
，
a
2
2
c
b
②
知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量
2
2
关系③
可运用勾股定理解决一些实际问题
５
.
勾股定理的逆定理
如果三角形三边长
a< br>，
b
，
c
满足
a
2
b
2
c
2
，那么这个三角形是直角三角形，其中
c
为
斜边
①
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要 方法，它通过
“
数转
化为形
”
来确定三角形的可能形状，在运用这一 定理时，可用两小边的平方和
a
2
b
2
与较长
边 的平方
c
2
作比较，若它们相等
时，以
a
，
b，
c
为三边的三角形是直角三角形
；若
2
2
2
2
2
2
a
b
c
，
时，
以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是钝角三角形；
若
a
b
c
，
时，
以
a
，
b
，
c
为三边的三角形是锐角三角形；
②
定理 中
a
，
b
，
c
及
a
2
b
2
c
2
只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三< br>边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
c
2
b
2
，那么以
a
，
b< br>，
c
为三边的三角形是直角三角形，但是
b
为
斜边
③
勾股定理的逆定理在用问题描述时，
不能说成：
当斜边的平方等 于两条直角边的平方和
时，这个三角形是直角三角形
６
.
勾股数
①
能够构成直角三角形的三边长的 三个正整数称为勾股数，
即
a
2
b
2
c
2
中，
a
，
b
，
c
为
正整数时 ，称
a
，
b
，
c
为一组勾股数
②
记住常见的勾股数可以提高解题速度，如
3,
4,
5
；
6,8,1 0
；
5,12,13
；
7,
24,
25
等
③
用含字母的代数式表示
n
组勾股数：
n2
1,
2
n
,
n
2
1< br>（
n
2,
n
为正整数）
；
2
n
1,
2
n
2
2
n
,
2
n
2
2
n
1
（
n
为正整数）
m
2
n
2
,
2
mn
,
m
2
n
2
（
m
n
,
m
，
n
为正整数）
７．勾股定理 的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系 的
证明问题．
在使用勾股定理时，
必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中 ，
斜边
和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造
直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
８
.
．勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三 角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角
三角形，
在具体推算过程中，
应用 两短边的平方和与最长边的平方进行比较，
切不可不加思
考的用两边的平方和与第三边的平方比 较而得到错误的结论．
９
.
勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不
可分的一个整体．通常既要通过逆 定理判定一个三角形是直角三角形，
又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常
见
图
形
：
C
C
B
D
A
C
C
30°
A
B
A
D
B
B
DA
10
、互逆命题的概念
如果一个命 题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，
这样的两个命题叫做互逆
命题。如果把其中一 个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
二、
经典例题精讲
题型一：直接考查勾股定理
例１
.
在
A
B
C
中，
C
90
．
⑴已知
AC
6
，
B
C
8
．求
AB
的长
⑵已知
AB
17
，
A
C
15
，求
BC
的长分析：直接应 用勾股定理
a
2
b
2
c
2
解：⑴
AB
AC
BC
2
2
10
⑵
BC
AB
AC
2< br>2
8
题型二：利用勾股定理测量长度
例题
1
如果梯子的底端离建筑物
9
米，
那么15
米长的梯子可以到达建筑
物的高度是多少米？
解析：
这是 一道大家熟知的典型的
“知二求一”
的题。
把实物模型转化为数学模型后，
.
已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！
根据勾股定理
AC
2
+BC
2
=AB
2
,
即
AC
2
+9
2
=15
2
,
所以
AC
2
=144,
所以
AC=12.
例题
2
如图
（
8
），水池中离岸边
D
点
1.5
米的
C
处，直立长着一根芦苇，出水部分
B
C
的长是
0.5
米，把芦苇拉到岸边，它的顶端
B
恰好落到
D
点，并求水池的深度
AC.
解析：
同例题
1
一样，先将实物模型转化为数学模型，如图
2. < br>由题意可知△
ACD
中
,
∠
ACD=90
°
,
在
Rt
△
ACD
中，
只知道
CD=1.5
，
这是典型的利用勾股定理
“知二求一”
的类型。
标准解题步骤如下（仅供参考）：
解：
如图
2
，根据勾股 定理，
AC
2
+CD
2
=AD
2
设水深
AC=
x
米，那么
AD=AB=AC+CB=
x
+0.5
x
2
+1.5
2
=
（
x
+0.5
）
2
解之得
x
=2.
故水深为
2
米
.
题型三
：
勾股定理和逆定理并用——
例题
3
如图
3
，正方形
ABCD
中，
E
是
BC< br>边上的中点，
F
是
AB
上一点，
且
FB
< br>1
4
AB
那么△
DEF
是直角三角形吗？为什么？
解析：
这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题
会意可以发现规 律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由
FB
1
4
AB
可以设
AB
=4
a
，那么
BE=CE=2
a
,AF=3
a
,BF=
a
,
那么在
Rt
△
AFD
、
Rt
△
BEF
和
Rt
△
CDE
中，分
别利用勾股定理求出
DF,EF
和
DE
的长，反过来再利用 勾股定理逆定理去判断△
DEF
是否是直角三角形。
详细解题步骤如下：
解：
设正方形
ABCD
的边长为4
a
,
则
BE=CE=2
a
,AF=3
a
,BF=
a
在Rt
△
CDE
中，
DE
2
=CD
2
+ CE
2
=(4
a
)
2
+(
2
a)
2
=20
a
2
同理
EF
=
5a
, DF
=
25a
2
2
2
2
在△
DEF
中，
EF
2
+ DE
2
=
5a
2
+
20a
2
=
25a
2
=DF
2
∴△
DEF
是直角三角形，且∠
DEF=90
°
.
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四
：
利用勾股定理求线段长度——
例题
4
如图
4
，已知长方形
ABCD
中
AB=8cm,BC=10cm,< br>在边
CD
上取一点
E
，将△
ADE
折
叠使点
D
恰好落在
BC
边上的点
F
，求
CE
的长
.
解析：
解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是
详细解题过程如下：
解：
根据题意得
Rt
△
ADE
≌
Rt
△< br>AEF
∴∠
AFE=90
°
, AF=10cm, EF=DE
设
CE=
x
cm
，
则
DE=EF=CD
－
CE=8
－
x
在
Rt
△
ABF
中由勾股定理得：
AB
2
+BF
2
=AF
2
，即
8
2
+BF2
=10
2
，
∴
BF=6cm
∴
CF=BC
－
BF=10
－
6=4(cm)
在
Rt
△
ECF
中由勾股定理可得：
EF
=CE
+CF
，即
(8
－
x
)
=
x+4
∴
64
－
16
x
+
x
2
=2+16
∴
x
=3(cm),
即
CE=3 cm
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——
例题
5
如图
5
，
王师傅想要检测桌子的表面
AD
边是否垂直与
AB
边和
C
D
边，他测得
AD=80cm
，
AB=60cm
，
BD=100cm
，
AD
边与
AB
边垂直吗？怎样去验证
AD
边与
CD
边是否垂直？
2
2
2
2
2
2
关键。