飘柔的广告词-八年级下册数学练习册

2021年1月28日发(作者：厦门灵玲国际马戏城)
北师版七年级数学单元讲解和提高练习

知识全面设计合理含答案教师必备

勾股定理（基础）

【学习目标】

1
．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2
．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）
；

3
．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

【高清课堂

勾股定理

知识要点】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别
为
a
，
b
，斜边长 为
c
，那么
a

b

c
．
要点诠释：
（
1
）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．


（
2
）
利用勾股定理，
当设定一条直角边长为未 知数后，
根据题目已知的线段长可
以建立方程求解，
这样就将数与形有机地结合起来，
达到了解决问题的目的．

（
3
）理解勾股定理的一些变式：

2
2
2
a
2

c
2

b
2
，
b
2

c
2

a
2
，

c
2


a

b


2
ab．

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（
1
）所示的正方形．





图（
1
）中
，所以
．

2









方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（
2
）所示的正方形．







图（
2
）中
，所以
．








方法三：如图（
3
）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．














要点三、勾股定理的作用

1.

已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.

用于解决带有平方关系的证明问题；

3
．

与勾股定理有关的面积计算；

4
．勾股定理在实际生活中的应用．

【典型例题】

，所以
．

类

型
一
、
勾
股
定
理
的
直
接
应
用

1
、在△
ABC
中，∠
C
＝
90< br>°，∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别为
a、
b
、
c
．

（
1
）若
a< br>＝
5
，
b
＝
12
，求
c
；

（
2
）若
c
＝
26
，
b
＝
24
，求
a
．

【思路点拨】
利用勾股定理
a< br>
b

c
来求未知边长．

【答案与解析】

解：
（
1
）因为△
ABC
中，∠
C
＝90
°，
a

b

c
，
a
＝
5
，
b
＝
12
，

所以
c

a

b

5

12

25< br>
144

169
．所以
c
＝
13
．

（
2
）因为△
ABC
中，∠
C
＝90
°，
a

b

c
，
c
＝
26
，
b
＝
24
，

所以
a< br>
c

b

26

24

676

576

100
．所以
a
＝
10
．

【总结升华】
已知直角三角形的两边长，
求第三边长，
关键是先弄清楚所求边是直角边还是
斜边，再决定用勾股原式还是变式．

举一反三：

【变式】在△
ABC
中，∠
C
＝90
°，∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别为a
、
b
、
c
．

（
1
）已知
b
＝
6
，
c
＝
10
，求
a
；

（
2
）已知
a
:
c

3: 5
，
b
＝
32
，求
a
、
c
．
【答案】

解：
（
1
）∵

∠< br>C
＝
90
°，
b
＝
6
，
c
＝
10
，

∴

a

c
b

10

6

64
，

∴

a
＝
8
．

（
2
）设
a

3
k
，
c

5
k
，

∵

∠
C
＝
90
°，
b
＝
32
，

∴

a

b

c
．

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
即
(3
k
)

32

(5
k
)
．

解得
k
＝
8
．

∴

a

3
k

3

8

24
，c

5
k

5

8

40< br>．

2
2
2
类

型
二
、< br>与
勾
股
定
理
有
关
的
证
明< br>
2
、
（
2015
•
丰台区一模）阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定
理的方法． 先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为
a
，
b
，斜边为c
，然
后按图
1
的方法将它们摆成正方形．

由图1
可以得到（
a+b
）
2
=4
×
，

整理，得
a
2
+2ab+b
2
=2ab+c
2．

所以
a
2
+b
2
=c
2
．
如果把图
1
中的四个全等的直角三角形摆成图
2
所示的正方形，请你参照 上述证明勾股定
理的方法，完成下面的填空：

由图
2
可以得到


























，

整理，得


























，

所以
























．


【答案与解析】

证明：
∵
S
大正方形
=c
2
，
S
大正方形
=4S
∵
+S
小正方形
=4
×
ab+
（
b
﹣
a
）
2
，< br>
∵
c
2
=4
×
ab+
（
b
﹣
a
）
2
，

整理，得

2ab+b< br>2
﹣
2ab+a
2
=c
2
，

∵
c
2
=a
2
+b
2
．

故答案是：
；
2ab+b
2
﹣
2ab+a
2
=c
2
；
a
2
+b
2
=c
2
．


【总结升华】
本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，
解题关键是 利用三角形和正方形
边长的关系进行组合图形．

举一反三：

【变 式】如图，在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
D为
BC
边的中点，
DE
⊥
AB
于
E
， 则
AE
2
-BE
2
等于（

）











A
．
AC
2
B
．
BD
2




C
．
BC
2
D
．
DE
2


【答案】
连接
AD
构造直角三角形，得

，选
A
．

类型三、与勾股定理有关的线段长

【高清课堂

勾股定理

例
3
】

3
、如图，长方形纸片
ABCD
中，已知
AD
＝
8
，折叠纸片使
AB
边与对角线
AC
重合，点
B
落在点F
处，折痕为
AE
，且
EF
＝
3
，则
AB
的长为（

）

A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6

【答案】
D
；

【解析】

解：设
AB
＝
x
，则
AF＝
x
，

∵

△
ABE
折叠后的图形为△
AFE
，

∴

△
ABE
≌△
AFE
．
BE
＝
EF
，

EC
＝
BC
－
BE
＝
8
－
3
＝
5
，

在
Rt
△
EFC
中，

由勾股定理解得
FC
＝
4
，

在
Rt△
ABC
中，
x

8


x

4

，解得
x

6
．

22
2
【总结升华】
折叠问题包括“全等形”
、
“勾股定理”两大 问题，最后通过勾股定理求解．

类型四、与勾股定理有关的面积计算

4< br>、如图，直线
l
上有三个正方形
a
，
b
，
c
，若
a
，
c
的面积分别为
5
和
11
，则
b
的面
积为（


）


A
．
6 B
．
5 C
．
11 D
．
16
【思路点拨】
本 题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由
b
是正方形，可求△
ABC
≌△
CDE
．由勾股定理可求
b
的面积
=a
的面积
+c
的面积．

【答案】
D
【解析】

解：∵ ∠
ACB+
∠ECD=90°，∠
DEC+
∠ECD=90°，

∴∠
ACB=
∠
DEC
，

在△
ABC
和△
CDE
中，



ABC


CDE

∵


ACB

DEC


AC

CE

∴△
ABC
≌△
CDE
∴
BC=DE
∵
AB

BC

AC

∴
AB

DE

AC

∴
b
的面积为
5+11=16
，故选
D
．

【总结升华】
此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，
考查了对勾股定理几何意义 的理
解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】
（
2015•
东莞模拟）
如图，所有三角形都是直角三角形 ，所有四边形都是正方
2
2
2
2
2
2
形，已知S
1
=4
，
S
2
=9
，
S
3
=8
，
S
4
=10
，则
S=
（


）



A.25



B.31



C.32




D.40


【答案】
解：如图，由题意得：

AB
2
=S
1
+S
2
=13
，

AC
2
=S
3
+S
4
=18
，

∵
BC
2
=AB
2
+AC
2
=31
，

∵
S=BC
2
=31
，

故选
B
．


类型五、利用勾股定理解决实际问题

5
、一圆形饭盒，底面半径为
8
cm
，高为
12
c m
，若往里面放双筷子（精细不计）
，那
么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？< br>

【答案与解析】

解：如图所示，因为饭盒底面半径为
8
cm
，所以底面直径
DC
长为
16
cm
．

则在
Rt
△
BCD
中，
BD
2

DC
2

BC
2
=16
2
+12
2
=400
，

所以
BD

20

(
cm
)
．

答：筷子最长不超过
20
cm
，可正好盖上盒盖．

【总结 升华】
本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，
其最大距离是以饭盒两底面的一
对 平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．

举一反三：

【变式】 如图所示，一旗杆在离地面
5
m
处断裂，旗杆顶部落在离底部
12
m
处，则旗杆折
断前有多高？


【答案】

解：因 为旗杆是垂直于地面的，所以∠
C
＝
90
°，
BC
＝
5
m
，
AC
＝
12
m
，

∴

AB

BC

AC

5< br>
12

169
．

∴

AB

13
(
m
)
．

∴
BC
＋
AB
＝
5
＋
13
＝
18(
m
)
．

∴

旗杆折断前的高度为
18
m
．

2
2
2
2
2
勾股定理（提高）

【学习目标】

1
．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2
．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）
；

3
．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

【高清课堂

勾股定理

知识要点】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别
为
a
，
b
，斜边长 为
c
，那么
a

b

c
．
要点诠释：
（
1
）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．

2
2
2

（
2
）
利用勾股定理，
当设定一条直角边长为未知数后，
根据题目已知的线段长可
以建立方程求解，
这样就将数与形有机地结合起来，
达到了解决问题的目的．

（
3
）理解勾股定理的一些变式：

a
2

c
2

b
2
，
b
2

c
2

a
2
，

c
2


a

b

2

2
ab
．

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（
1
）所示的正方形．





图（
1
）中
，所以
．










方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（
2
）所示的正方形．







图（
2
）中
，所以
．








方法三：如图（
3
）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．














，所以
．

要点三、勾股定理的作用

1.

已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.

用于解决带有平方关系的证明问题；

3
．

与勾股定理有关的面积计算；

4
．勾股定理在实际生活中的应用．

【典型例题】

类
型
一
、
与
勾
股
定
理
有
关
的
证

1
、在△
ABC
中，
AB=AC
，
D
是
BC
延长线上的点 ，求证：
【答案与解析】


明

证明：作等腰三角形底边上的高
AE



∵
AB=AC
，
AE
⊥
BC
∴
BE=E C,
∠
AEB=
∠
AEC=90
°

∴
A D

AB

(
AE

DE
)
< br>(
AE

BE
)



AE

DE

AE

BE


DE
2

BE
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

(
DE

BE
)(
DE

BE
)


BD
CD

【总结升华】
解决带有平方关系的问题，关键 是找出直角三角形，利用勾股定理进行转
化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利 用勾股定理解题．

类型二、与勾股定理有关的线段长

2
、如图， 在等腰直角三角形
ABC
中，∠
ABC=90
°
，
D
为
AC
边上中点，过
D
点作
DE
丄
DF
，交
AB
于
E
，交
BC
于
F
，若
AE=4
，
FC=3
，求
EF
长．


【答案与解析】

解：连接
BD
，

∵等腰直角三 角形
ABC
中，
D
为
AC
边上中点，

∴
BD
⊥
AC
（三线合一）
，
BD=CD=AD
，∠
ABD=45
°
，

∴∠
C=45
°
，

∴∠
ABD=
∠
C
，

又∵
DE
丄
DF
，

∴∠
FDC+
∠
BDF=
∠
EDB+
∠
BDF
，

∴∠
FDC=
∠
EDB
，

在
△
EDB
与
△
FDC
中，

∵
，

∴△
EDB
≌△
FDC
（
ASA
）
，

∴
BE=FC=3
，

∴
AB=7
，则
BC=7
，

∴
BF=4
，

在
Rt
△
EBF
中，

EF
2
= BE
2
+BF
2
=3
2
+4
2
，

∴
EF=5
．

【总结升华】
此题考查的知识点是勾股定理 及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角
形全等，求得
BE
和
BF
，再由勾股定理求出
EF
的长．

举一反三：

【变式】
（
2015
春
•
天津校级期中）如图，
∵
C=30
°
，
PA
∵
OA
于
A
，
PB∵
OB
于
B
，
PA=2
，
PB=11
，求
OP
的长．


【答案】

解：
∵< br>PA
∵
OA
，
∵
C=30
°
，

∵
PC=2PA=4
，

∵
BC=BP+PC=11+4=15
，

∵
PB
∵
OB
，
∵
C=30
°
，

设
OB=x
，则
OC=2x
，

在
Rt
△
BOC
中，由勾股定理得：

x
+15
=
（
2x
）
，

解得，
x=5
3
，

即
OB=5
3
，

∵
OP=
=
=14
．

2
2
2
类型三、与勾股定理有关的面积计算

3
、
（
2015
•
丰台区二模）问题背景：
在
∵
ABC
中，
AB
，
BC
，
AC< br>三边的长分别为
，
3
，
，求这个三角形的面积．

小 军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为
1
）
，再在 网
格中画出格点
∵
ABC
（即
∵
ABC
三个顶点都 在小正方形的顶点处）
，如图
1
所示．这样不需
要求出
∵
A BC
的高，借用网格就能计算出它的面积．

（
1
）请你直接写出
∵
ABC
的面积








；

思维拓展：

（
2
）如果
∵
MNP
三边的 长分别为
，
2
，
，请利用图
2
的正方形网格（每个小正方形的边长为
1
）画出相应的格点
∵
MNP
，并直接写出
∵
MNP
的面积．


【思路点拨】
（
1
）根据图形得出
S
△
ABC
=S
矩形
MONC
﹣
S
△
CMA
﹣
S
△
AOB
﹣
S< br>△
BNC
，根据面积公
式求出即可；
（
2
）先画出符 合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．

【答案与解析】

解：（
1
）
∵
ABC
的面积是
4.5
，理由是：< br>

S
∵
ABC
=S
矩形
MONC
﹣
S
∵
CMA
﹣
S
∵
AOB
﹣
S
∵
BNC

=4
×
3
﹣
×
4×
1
﹣
×
2
×
1
﹣
×
3×
3

=4.5
，

故答案为：
4.5
；


（
2
）如图
2
的
∵
MNP
，


S
∵
MNP
=S
矩形
MOAB
﹣
S
∵
MON
﹣
S
∵
PAN
﹣
S
∵
MBP

=5
×
3
﹣
×
5
×< br>1
﹣
×
2
×
4
﹣
×
3
×< br>1

=7
，

即
△MNP
的面积是
7
．

【总结升华】
本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，
解此题的关键是能正确画出
格点三角形，难度 不是很大．

举一反三：

【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形．若正方形
A
、
B
、
C
、
D
的边长分别是
4
、
6
、
3
、
4
，则最大正方形
E
的面积是
（


）


A
．


1
7

【答案】
C


B
．

3
6

C
．

7
7

D
．

9
4

类型四、利用勾股定理解决实际问题

4
、
如图所示，
在一 棵树的
10
m
高的
B
处有两只猴子，
一只爬下树走到离树< br>20
m
处的
池塘
A
处，
另外一只爬到树顶
D
后直接跃到
A
处，
距离的直线计算，
如果两只猴子所经过的
距离相等，试问这棵树有多高？


【思路点拨】
其中一只猴子从
B
→
C
→
A
共走了
(
10+20
)=
30
m
，另一只猴子从
B
→
D
→
A
也< br>共走了
30
m
，
并且树垂直于地面，
于是这个问题可化归到直 角三角形中利用勾股定理解决．

【答案与解析】

解：设树高
CD
为
x
，则
BD
＝
x
－
10
，AD
＝
30
－
(
x
－
10)
＝
40
－
x
，

在
Rt
△
ACD
中，
20

x

(40

x
)
，

解得：
x
＝
15
．

答：这棵树高
15
m
．

【总结升华】
本题利用距 离相等用未知数来表示出
DC
和
DA
，
然后利用勾股定理作等量关系
列方程求解．

举一反三：

【变式】如图①，有一个圆柱，它的高 等于
12
cm
，底面半径等于
3
cm
，在圆柱的底面
A
点有一只蚂蚁，
它想吃到上底面上与
A
点相对的
B
点的 食物，
需要爬行的最短路程是多少
?(
π
取
3)
2
2
2

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