第五讲 最大公约数与最小公倍数
巡山小妖精
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2021年01月28日 15:45
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第五讲
最大公约数与最小公倍数
【知识导引】
一、约数的概念与最大公约数
约数又叫因数
(
在 正整数范围内）整数
a
能被整数
b
整除，
a
叫做
b
的倍数，
b
就
叫做
a
的约数。
最大公约数
:
如果一个数既是数
a
的约数，
又是数
b
的约数，
称为
[a,b]
的约数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数
,
其中最大的一个叫做这几个数的最大
公因数。
1.
求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：
23 1
3
7
11
，
252
< br>2
2
3
2
7
，所以
(231, 252)
3
7
21
；
2 18
12
②短除法：
先找出所有共有的约数，
然后相乘。
例如：3
9
6
，
所以
(12,18)
2
3
6
；
3
2
③辗转相除法：每一次都 用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最
大公约数。
用辗转相除法求两个数的最 大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一
个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得 第二个余数；又用第二个余数
除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直 到余数是
0
为止。
那么，
最后一个除数就是所求的最大公约数
(如果最后的除数是
1
，
那么原来的两
个
数
是
互
质
的
)
。
例
如
，
求
600
和
1515
的
最
大
公
约
数
：
1 515
600
2
315
；
600< br>
315
1
285
；
315
285
1
30
；
285
3 0
9
15
；
30
15
< br>2
0
；所以
1515
和
600
的最大公约 数是
15
。
2.
最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数
乘以
n
。
3.
求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假 分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数
a
；求
b
出各个分数 的分子的最大公约数
b
；
即为所求。
a
二、倍数的概念与最小公倍数
对于整数
m
，能被
n
整除（
n/m
）
,
那么
m
就是
n的倍数。如
15
能够被
3
或
5
整除，
我们就说
15
是
3
的倍数，
也是
5
的倍数。
几个数 公有的倍数叫做这几个数的公倍数
,
其中
最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
1.
求最小公倍数的方法
①分解质因数法求最小公倍数
例如：
231
3
7
11
，
252
2
2
3
2
7
，所以
231
,252
2
2
< br>3
2
7
11
2772
；
②短除法求最小公倍数
218
12
例如：
3
9
6
，所以
18,12
2
3
3
2
36
；
3
2
③公式法：
[
a
,
b
]
a
b
(
a
,
b
)
2.
最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。
③两个数具有倍数关系，
则它们的最大公约数是其中较小的数，
最小公倍数是较大
的数。
3.
求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最 小公倍数
a
；求出各个分数分母
b
3
5
[3,5]
15
的最大公约数
b
；
即为所求。例如：
[
,
]< br>
a
4
12
(4,12)
4
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：
1
4
1,4
2
,
3
2,3
4
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1.
两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果
m
为
A
、
B
的最大公约数，
且
A
ma
，
B
mb
，
那么
a
、
b
互质 ，
所以
A
、
B
的
最小公倍数为
mab
，所 以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①
A
B
ma
mb
m
mab
，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个
数的积；
②最大公约数是A
、
B
、
A
B
、
A
B
及最小公倍数的约数。
2.
两个数的最大公约和最小公倍的乘积等 于这两个数的乘积，即
(
a
,
b
)
[
a
,
b
]
a
b
。
3.
对于任意
3
个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：
①奇偶奇，
那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：
5
6
7
210
，
210
就是
567
的最小公倍数。
②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的
2
倍，例如：
6
7
8
336
，而
6,7,8
的最小公倍数为
336
2
1 68
③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。
【例题解析】
【
A
组——基础夯实】
例
1
两个数的最大公约数是
4
，最小公倍数是
2 52
，其中一个数是
28
，另一个数是
多少？
解：由ab=[a
，
b]
×（
a
，
b
）可得：另一个 数为，
252
×
4
÷
28=36
答：另一个数是
36
。
例
2
求
437
与
323
最大公约数是多少？
解：运用 辗转相除法：
437
÷
323=1
…
114
；
32 3
÷
114=2
…
95
；
114
÷
95= 1
…
19,95
÷
19=5
，
那么（
437,323
）
=19
答：
437
与< br>323
的最大公约数是
19
。
例
3
已知两个数的最大公约数是
20
，
最小公倍数
560
，
符合条件的两个数中差最小
的两个数各是多少？
解：
由题意可得：
560
÷
20=28=1
×
28=4
×
7
，
显然
4
与
7
之间差最小，
20
×
7=140,2 0
×
4=80
答：符合条件的两个数中差最小的数是
80
和
140
。
例
4
有
336
个苹果，
252
个桔子，
210
个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样
的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？< br>
解：最多可以分成
(336,252,210)
42
（ 份）
每份中有苹果
336
÷
42=8
（个）
每份中有桔子
252
÷
42=6
（个）
每份中有梨
210
÷
42=5
（个）
答：最多可 以分成
42
份，每份中有苹果
8
个，有桔子
6
个，有梨5
个。
【
B
组——能力提升】
例
1
已知两个自然数的差为
2
，它们的最小公倍数与最大 公约数之间差为
142
，求
这两个自然数。
解：由题意可得：两个 自然数的差为
2
的自然数的最大公约数只有两种可能：一个
为
1
，一 个为
2
（
1
）当两个数互质时，
1
×（< br>1+142
）
=1
×
143=11
×
13
；
（
2
）当两个自然数最大公约数为
2
时，
2
×（
142+2
）
=2
×
144=16
×
18
，
所以这两个自然数是
11
和< br>13
或者
16
和
18
。