短除法求最大公约数、最小公倍数
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2021年01月28日 15:46
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文远教育
__
奥数
__
学科教师辅导教案（第
8
讲）
教师姓名：
__
沈军
__
学生< br>__
王姿匀
__
时间
_2012_
年
_4_
月
3_
日
_8-_10
时段
课
题
教学目标
个性化重点、难点
考点及考试要求
最大公约数和最小公倍数（一）
1< br>、通过练习法巩固行程问题的综合应用；
2
、理解质因数、最大公约数和最小公倍数；< br>3
、
比较排列法和短除法求公约数、公倍数；
4
、理解并熟练掌握短除 法；
5
、了解辗转相除法；
6
、通过分析公约数、公倍数解决实际问题
重点：
1
、理解质因数、最大公约数和最小公倍数；
2
、理解并 熟练掌握短除法
难点：
通过分析公约数、公倍数解决实际问题
1
、求公约数、公倍数；
2
、判断说法对错；
3
、同余、分组问题
教学内容：
一、奥数风采展示：
1
、
一
辆客车和一辆货车分别从
A
、
B
两地相对开出，
6
小时后相遇，
又经过
4
小时客车到达
B
地时，
货车离终点还 有
188
千米。
AB
两地相距多少千米？
2
、甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟
60
米、
80
米、
100
米。甲、乙二人从
B
地同时同向出
发，丙从
A
地同时同向去追甲和乙。丙追上甲后又经过
10
分钟才追上乙。求
A
、
B
两地的路程。
3
、老师和小英为班级剪五角星，教师每分钟剪
10
个，剪了几分钟后小英接 着剪，小英每分钟剪
6
个，两人共用
8
分钟，共剪了
60
个 。小英剪了多少个五角星？
4
、在100
到
200
之间找出两个整数，使它的乘积等于
30030
。
二
、最大公约数
一）分解质因数
想一想：
28
和
60
可以写成哪几个质数相乘的形式
? < br>28
4
×
7
2
×
2
×
7
2 8
＝
2
X
2
X
7
60
6
×
10
2
×
3
×
2
×
5
60
＝
2
X
3
X
2
X
5
每个合数都可以写成几个
( )
数相乘的形式
,
其中每个质数都是这个合数的
( )
数
,
叫做这个合
数的质因数。
注意
:
质因数
一定是一个质数。
练习：
13
×
4=52,13
和
4
都 是
52
的因数吗？
13
和
4
都是
52
的质 因数吗？
什么是分解质因数呢
?
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
用短除法把下面各数分解质因数
.
55 60
5
55
11
2
2
60
30
3
15
55 =
5
×
1 1
5
60=
2
×
2
×
3
×
5
（
1
）我是小判官
①把
35
分解质因数是
35=1
×
5
×
7
（
）
②把
49
分解质因数是
7
×
7=49 ( )
③把
30
分解质因数是
30=2
×
3
×
5 ( )
④
51
不能分解质因数
. ( )
（
2
）能用短除法把下面各数分解质因数
.
80 72 57
二）最大公约数与最小公倍数
区分：最大公因数，最大公约数，最小公倍数
1< br>、用排列因数的方法求
18
和
24
的最大公因数。
2
、用排列因数的方法求两个数的最大公约数方便吗？有没有 比它简便的方法求最大公约数呢？现
在我们就来研究求两个数的最大公因数简便方法。
把
18
和
24
分解质因数。
如下：
2
1 8
2
2
4
3
9
2
1
2
3
2
6
3
18
＝
2
×
3
×
3
24
＝
2
×
2
×
2
×
3
所以最大公因数为
2
×
3
=6
练习：先把
36
和
54
分解质因数，再求出它们的最大公约数。
3
、每道题都这样写麻烦吗？能不能简化一下呢？ 怎样简化？怎样把两个短除法算式合并成一个除法算式呢？
2
1 8
2 4
用公有质因数
2
除，
3
9
1 2
用公有质因数
3
除，
3
4
3
和
4
互质不除了。
18
和
24
最大公约数是：
2
×
3
＝6
。
注意：
如果（
a
、
b
）
=1
， 则
a
和
b
互质。
用短除法求几个数的最大公因数
⑴
45
和
60
⑵
36
和
60
⑶
27
和
72
⑷
76
和
80
用短除法求最小公倍数
现在我们求这两个数的最小公倍数，能不能也来尝试一下这种方法？
把
6
和
4
分解质因数。
2
6
2
4
3
2
6
＝
2
×
3
4
＝
2
×
2
提问：
6
包含有哪些质因数？
4
呢？
6
和
4
的质因数有什么特点？
那么我们刚才找 出来的最小公倍数
12
，包含有哪些质因数？【
12
＝
2
×
2
×
3
】
12
的质因数和
6
、
4
的质因数之间有什么联系？
得出：
12
的质因数里面包含有
6
和
4
公有的质因数，还有各自独有的质因数。
思考：
什么是公有的质因数，什么是独有的质因数？
6
和
4
的最小公倍数它是由哪些质因数相乘得到的？
我是小判官
（
1
）
16
＝
2
×
2
×
2
×
2
20
＝
2
×
2
×
5
16
和
20
的最小公倍数是
2×
2
×
2
×
2
×
2
×
5＝
160
（
2
）
3
30
45
5
10
15
2
3
30
和
45
的最小 公倍数是
3
×
5
＝
15
（
3
）
2
24
32
2
12
16
6
8
24
和
32
的最小公倍数是
2
×
2
×
6
×
8
＝
192
同步练习：
1
、用短除法求下面每组数的最小公倍数。
12
和
30
36
和
54
2
、用短除法求几个数的最大公因数与最小公倍数。
（
1
）
6
、
12
和
24
（
2
）
7
、
21
和
49
（
3
）
8
、
12
和
36
3
、一个数除
200
余
4
；除
300
余
6
；除
500
余
10
。求这个数最大是多少
？
提高练习：
1
、甲数的质因数里有
2
个
2
，乙数的质因数里有
3
个
2
，它们的最大公因数里应该有
(
)
。
①
2
个
2
②
3
个
2
③
5
个
2
2
、
a
和
b
是互质数，
a
和
b< br>的最大公因数是
(
)
；最小公倍数是
(
)
。
①
a
②
b
③
1
④
ab
3
、
30
＝（
）×
（
）×
（
）
18
＝（
）×
（
）×
（
）
30
和
18
的最小公倍
数是（
）×（
）×（
）×（
）＝（
）
4
、甲数除以乙数的商是
15
，甲乙两数的最大公因数是
(
)
；最小公倍数是
(
)
。
5
、从
0
、
2
、
3
、
5
、
7
五个数中，选四个数组成一个同时能被
2
、
3
、
5
整除的最小的四位数
(
)
。
6
、已知
A
＝
2
×
5
×
5
，
B
＝
2
×
5
×
7
。
A和
B
全部公有的质因数有（
）
，各自独有的质因数有
（
）
，
A
和
B
的最小公倍数是（
）
。