爱的奉献歌谱-篮球赛口号

2021年1月28日发(作者：添酒回灯重开宴)
高等数学同步练习题

第一部分


函数

1.
求下列函数的定义域：

(1)
y

1

x

1
；

2
ln(
1

x
)
(2)
y

1
.
[
x

a
]
2.
讨论下列哪些函数相同：

2
(1)
2
ln
x
与
ln
x
；







(2)
x
2
与
x
；

(3)
x
与
x
sgn
x
.
3.
讨论下列函数奇偶性：

(1)
y

ln(
x

1

x
2
)
；





















(2)
y

x
2
e
；

4. (1)
设
f
(
x

2
)

x< br>2

2
x

5
，求
f
(
x

2
)
；

(2)
设
f
(e
x

1
)

x
，求
f
(< br>x
)
；

(3)
设
f
(
x

x
1
1
)

x
2

2
，求
f
(
x
)
.
x
x

1
5.
设
f
(
x
)


0< br>

1

x

1
x

1< br>，
g
(
x
)

e
x
，
求< br>f
[
g
(
x
)]
和
g
[
f
(
x
)]
并作出这两个函数的图形。

x

1
第二部分

一元微分学

一、求导数

1.
若函数
f
(
x
)
在
a
可导，计算

(1)
lim
h

a
f
(
h
)< br>
f
(
a
)
;

h

a





(2)
lim
h

0
f
(
a
)

f< br>(
a

h
)
;
h
(3)
lim< br>h

0
f
(
a

2
h
)< br>
f
(
a
)
;
h




(4)
lim
h

0
f
(
a< br>
2
h
)

f
(
a

h< br>)
.
2
h
2.
求导数
:
(1)
y

x
;







(2)
y

x
3
5
x
.
(3)
y

1
x








(4)
y

1
x
3
5
x

3.
求下列曲线在指定点的切线及法线方程

(1)
y

1< br>x
在
点
(
1
,
1
)
处
;




(2)
y

cos
x

1
在点
(
,
)
处
.
3
2
(3)
求
y

x
2
在点< br>(

1
,
0
)
处的切线

4. < br>若函数
f
(
x
)
在
a
处可导，计算
lim
n
[
f
(
a

n

1
)

f
(
a
)]
.
n
5.
如果
f
(
x
)
为偶函数，且f

(
x
)
存在，证明
f

(
0
)

0
.

x

1
6.
计算函数
f
(
x
)


1
e
x

0

x

0
x
0

在点
x
=
0
的左右导数
.

x
2
x

c
7.
计算函数
f
(
x
)


在
c
的右导数，
当< br>a
、
b
取何值时，
函数
f
(
x
)< br>在
c
处不


ax

b
x

c
连续、连续及可导？


sin
x
x

0
8.
已知
f
(
x
)


,
求
f

(
x
)
.
x

0

x
9.
求下列函数的导数
:
(1)
y

x

3
x

6
;
4
2

x
3

x
2

1
(2)
y

;

5

(3)
y

3
x

3
x

1
;
x
(4)
y

(
1

x
)(< br>1

2
x
)
;

3
2

x
2
(5)
y

;

1

x
2

(6)
y

x
sin
x

cos
x
;
(7)
y

x
ln
x
;
(10)
y

x
2
e
x
;
(13)
y








(8)
y

x
tan
x

cot
x
;
(11)
y

x
arcsin
x
;

(14)
y

x
2
arccos
x
;




sin
x
x
;

x
sin
x

x
;
x
4
arctan
x
(12)
y

;
x
ln
x
(15)
y

;
x
(9)
y

x

1
(16)
y

;

x

1





5
x
2

3
x

4
(17)
y

.
x
2

1
10.
求下列函数的导数
:
(1)
y

(
2
x
2

3
)
2
;



(2)
y

x
2

a
2
;


(3)
y

1

x
;
1

x
(4)
y

x

x

x
;




(5)
y

2
sin
x

cos
3
x
;

(8)
y

cot
2
5
x
;



ax

b
)
;
(6)
y

tan(
(9)
y

ln
sin
x
;
(7)
y

sin
2
x
cos
3
x
;

(10)
y

ln
cos
x
;

2


(11)
y

ln(
x

x

a
)

2
2
x
2

a
2
;
x

(12)
y

e
4
x

5
;



(13)
y

ae
(16)
y

(



x
;



(14)
y

(arcsin
x
)
2
;
(17)
y


(15)
y

arctan(
x
2

1
)
;


(18)
y

(sin
x
)
cos
x
;


x
x
)
;
1

x

x
ln
x
1

sin
x
;
.
(19)
y

1
1

x
2
11.
设函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
可 导，
且
f
2
(
x
)

g
2
(
x
)

0
，
试求函数
y

数
.
12.
设
f
(
x
),
g
(
x
)
可导，求下列函数
y
的导数
f
2
(< br>x
)

g
2
(
x
)
的导
d y

dx
2
2
(1)
y

f
(
x
)

2





(2)
y

f
(sin
x
)

g
(cos
x
)

13.
求下列各题的二阶导数
:
(1)
y

x
1

x
2
;


(2)
y

e
sin
t
;


t


(3)
y

arcsin
x
1

x
2
;
(4)
y

1
;

3
x

1





(5)
y

ln(
x

1

x
2
)

.
d
2
y
14.
设< br>f


(
x
)
存在，求下列函数
y
的二阶导数
.
dx
2
(1)
y

f
(
e
)
;


x






(2)
y

ln[
f
(
x
)]
.
15.
求下列函数的
n
阶导数的一般表达式
:
(1)
y

1
;
x
(
x

1
)







(2)
y

x
ln
x
;

(3)
y

sin
2
x
.
16.
求由下列方程所确定的隐函数
y
的导数
d
y

d
x


(2)
y

1

xe
y

(1)
y

cos(
x

y
)


(3)
x
y






y
x

0









d
2
y
17.
求由下列 方程所确定的隐函数
y
的二阶导数
2

d
x
(1)
x
2

xy

y
2

1

;

(3);
y

tan(
x

y
)
.
18 .
已知
e
xy

a
x
b
y

证明







(2);
arctan
y

ln
x
2

y
2

x
(
y

ln
a
)
y



2
(
y

)
2

0
.
19.
求由下列参数方程所确定的函数
y
的导数


x

1

1

t

(1)

t
2
)

y

(1

t








x

a
cos
3
t
(2)

3

y

b
sin
t
. d
2
y
20.
求由下列参数方程所确定的函数
y
的二阶 导数
2

d
x

x

t

ln(
1

t
)
(1)

;
3
2
y

t

t

21.
求 下列函数的微分
dy

(1)
y

x
2
sin
x


(3)
y

ln
tan
x







x

f

(
t
)
(2) 
设
f


(
t
)
存在且不等于零< br>

y

t
f
(
t
)
< br>f
(
t
)











(2)
y

x
ln
x

x

(4)
y

arcsin
1

x
2

22
．

计算下列函数
y

y
(
x
)
的导数
x
0
dy
：

dx
.




⑵

y

⑴

y


cos(
1
t
)
dt
;


2

< br>x
2
0
ln(
1

t
)
dt
;

⑶

y



1
x
te
dt
;


t







⑷

y


cos
x
sin
x
e
dt
;

t
2

x

t
(
1

cos
u
)
du

0

⑸


;
t

y


0
sin
udu






t


x


s in
u
2
du
⑹


;
0
4< br>

y

cos
t
2
⑺


y
0
e
dt


cos
tdt

0
.

0
t
xy
二、求极限


1.
计算下列各极限：

x

5
(1)
lim
；















x

3
x

1


x
2

5
x

6




(2)
；
lim
2

x

3< br>x

8
x

15
3
1

)

1

x
3
1

x
(3)
；

(
x

h
)
2

x
2
lim

h

0
h




(4)
；
lim
(
x

1
x< br>2

1
(5)
；


l
i
m
2








x


2
x

x

1
x
2

x

1











(6)
；
lim

x


x
< br>3
2
4
x
2

3
x

1< br>(7);
lim













x


7
x
3

5
x

1
(9);

lim







(8);
lim
x
sin
x

0
1

x
k












2
n


k

1
n
n










(10);
lim
(
n


1
1
1




)

1

2
2

3
n
(
n

1
)
2
计算下列各极限：

(
2
x

5
)
50
(1)
lim
;








x


(
2
x

1
)
30
(
x

3
)
20


x

1
x
2

1
sin




(2)
lim
2
;
x


x

1
x

1
(3)
li m
4
x

3
x
2

1
x


;























(4)
lim
x

0
x

1

x

1
;
x
(5)
lim
t

1
t
2

t
t

1
;























x
2

ax

b

5
，求
a
与
b
的值。

3.
如果

lim
x
1
1

x
ax
3

bx
2

1
)

2
，求
a
与
b
的值。
4

已知
lim(
x

x
1

x
2
5.
计算下列极限：

(1)
lim
sin
ax
；


x

0
x

(2)
lim
x

0
tan
3
x
；

2
x
sin
x

sin
a
；


x

a
x

a
x
n
( 5)
；

lim
2
sin
n


n


2
(3)
lim
6.
计算下列极限：

(1)
lim
(< br>n


1

cos
2
x
；

x

0
x
2
sin
x
(6)
；
lim

x


x


(4)
lim
n
n
)
；


n

1
2
x





(2)
lim
(
1

)
x
；

x


2
x
(3)
lim
(
1

3
x
)
；


x

0


(4)
lim< br>(
n


2
n

1
n
)< br>；

2
n

3
2
sin
x
(5)
；

lim
(cos
x
)
2
x< br>
0
1
sin
2
x




(6)
lim
(
1

3
x
)
x

0

7
利用极限存在准则，证明下列极限：

(1)
lim
2

n


2

2


2

2
;











n
(2)
lim
(
n


1
n

1
2

1
n

2
2



1
n

n
2
)

1
.
(3)
设
x
1< br>
1
,
x
2

1

x
x< br>1
，

,
x
n

1

n< br>
1
，证明：数列
{
x
n
}
收敛，并求其极 限

1

x
1
1

x
n

1
8
当
x

0
时，如果以
x
为 基本无穷小，指出下列各无穷小的阶，且找出等价无穷小：

(1)
sin
2
x
；



































(2)
x

x
；















(4)
2
4
(3)
1

cos
3
x
；










(5)
x2

1

1

x
2
；

1
ln(
1

3
x
2
)
.
2
9.
利用等价无穷小代换求极限：

tan
3
x
(1)
lim
；










x

0
tan
6
x



a
sin
x

1







(2)
lim
x
x

0
e

1

a

0
,
a

0

；

(3)
lim
x

0
e
x

e

x
1

cos
x
；
















(4)
；
lim
1

cos

x

x

1
(
1

x
)
2
( 5)
；

lim
x

x
cos
x




x

0
sin
x

tan
x











(6)
；
lim
x

0
1

x< br>sin
x

1
e

1
x
2

(7)
；



lim
sin(
1

x
)

x

1
ln
x







10.
下列函数在哪些点处间断；说明这些间断点的类型。若是可去间断 点，则重新定义函数
在该点的值，使之连续。

(1)
f
(
x
)

(3)
f
(
x
)

x

1
；

x
2

1
tan
x
；


x






(2)
f
(
x

(4)
f
(
x
)

|
x
|
；

x


1
1

e
x
1

x
；

1

x
2
n
x

(5)
f
(
x
)

lim
n


1
< br>x
2
n
1


x
sin
11.设
f
(
x
)


x
2

a

x
x

0
x

0，要使
f
(
x
)
在



,


内连续，应当怎样选择数
a
？

x

1

x
2

12.
确定
a
,< br>b
，使
f
(
x
)


ax

b
0

x

1

在
(

,

)
内连续。


e
x
x

0

sin
ax
x

0
,
x


2
k
(
k

N
*
)

1

cos
x

13.
设函数
f
(
x
)
< br>
，问
a
,
b
为何值时，

b
x< br>
0

1
2
x

0

x< br>[ln
x

ln(
x

x
)]
< br>
f
(
x
)
在它的定义域内的每点处连续。

14
用洛必达法则求下列极限

（
1
）

lim
sin
x

sin
a
;
x

a
x

a
x

0


（
2
）

lim

ln
tan
7
x
;
x


0< br>ln
tan
2
x
x

0
（
3
）

lim
[
1
1

]
;

x
ln(
1

x
)




（
4
）

lim
(
1
1

x
)
;

x
e

1
（
5
）

lim
(
1

x
)

e
;

x

0
x
1
1
x

（
6
）
lim
(
)
tan
x
;
x


0
1
x


sin
x
x
2
（
7
）
lim
(
)
;
x

0
x
（
8
）
lim
x
x


0
sin
x
;






（
9
）

lim
2
e
t


arcsin
1

t
2
t


0
ln(
1

t
)
.
15.
设
f
(
x
)
二阶导数存在
,
证
lim
h

0
f
(
x

h
)

f
(
x

h
)

2
f
(
x
)

f


(
x
)
.
h
2
16.
讨论函数
1

(
1

x
)
x
1
]
x
;
x

0

[

f< br>(
x
)


e


1
2< br>
x

0

e
;
在点
x

0
处的连续性
.
17
．

求下列极限：

⑴

lim
x

0

x
0
ln(cos
t
)
dt
x
3
;


3
2






⑵

lim
x

0

x
0
sin
t< br>2
dt
x
3
;

⑶

lim


x
0
x
2
0
t
dt
;






x


0

⑷

lim
x

0
x
0
(
e
x

e

x
)
dx
1

cos
x
；

t
(
t

sin
t
)
dt
三、导数的几何应 用

1
求下列曲线在指定点的切线及法线方程

(1)
y

1
x
2
在
点
(
1
,
1
)
处
;




(2)
y

cos
x

1
在点
(
,
)处
.
3
2
(3)
求
y

x在点
(

1
,
0
)
处的切线

2

研究下列函数的单调性
:
(1)
f
(
x
)

x
-
arctan
x

3
确定下列函数的单调区间
:
(1)
y

2
x
6
x

18
x

7

3
2




(2)
f
(
x
)

(
1

)
x
,
(
x

0
)

1
x





x
2
(2)
y


x< br>
1
(3)
y

ln(
x

1
x
2
)
.
4
证明下列不等式
:
(1)
当
x

0
时
,
1

1
x

1

x
;

2



x
2
(2)
当
x

4
时
,
2

x
.
(3)
当
x

0
时
,
1

x< br>ln(
x

1

x
2
)

1

x
2
;
5
．试证方程

sin
x

x

只有一个实根
.
6
求下列函数图形的凹、凸区间
.
(1)
y

ln(
1

x
2
)
;








(2)
y

e

x
.
2
7
利用函数的凹凸性
,
证明不等式
:
x
ln
x
y
ln
y

(
x

y
)< br>ln
x

y
2
(
x

0
,
y

0
,
x

y
)
.
8
试确定曲线
y

ax
3

bx
2

cx

d
中的
a
,
b
,< br>c
,
d
,
使得点
(-2,44)
为驻点
,< br>点
(1,-10)
为拐
点
.
9
已知曲线
x
2
y


x


y

0
以点
(2,2.5)
为拐点
.
试确定

,

的值
.
10
讨论方程
ln
x

ax
,
11
求下列函数的极值
:
(1)
y

x
3

3
x
2

9
x

5
;
(3)
y

2
x

3
x
;

2
3
(
a

0
)
有几个实根
.










(2)
y

x

1

x
;


12
试问
:
a
为何值时
,
函数
f
(
x
)

a
sin
x
< br>sin
3
x
在
x

极大值
?
并求此 极值
.
13
求下列函数在指定区间上的最大值
,
最小值
:
(1)
y< br>
x
4

8
x
2

2
,< br>x

[

1
,
3
]
;

14
绘下列函数的图形

（
1
）
y




1
3

处取得极值
?
它是极小值还是
3
(2)
y

x

1

x
,
x

[

5
,
1
]
;
1
2
x

1

2

（
2
）
y

(
x

1
)
2
1

x
四、导数的理论问题

1.
证明 方程
x

3
x

1
至少有一个根介于
1< br>和
2
之间。

2.
证明方程
x

a
sin
x

b
，其中
a

0
,< br>b

0
，至少有一个正根，并且它不超过
a

b.
3.
若
f
(
x
)
在闭区间
[a
,
b
]
上连续，
a

x
1

x
2



x
n

b
，则在
[
x
1
,
x
n
]
上必有

使

5
f




f
(
x
1
)

f
(
x
2
)


f
(
x
n
)
.
n
x


4.
证明若
f
(
x
)
在
(< br>
,

)
内连续，且
lim
f
(
x
)
存在，则
f
(
x
)
在
(
 
,

)
内有界。

5.
若
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连 续，且
f
(
a
)

a
,
f
(b
)

b
，证明在
(
a
,
b
)
内至少有一点

，
使
f
(

)


.
6.
设函数
f
(
x
)
在 闭区间
[
0
,
2
a
]
上连续，
且
f
(
0
)

f
(
2
a
)
，
证明在
[
0
,
a
]
上至少存在一点
< br>，
使
f
(

)

f
(
< br>
a
)
.
7.
函数
f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内连续，并且
li m
f
(
x
)


,
lim
f< br>(
x
)


.
证明
f
(
x
)
在区
x

a

0
x

b

0
间

(
a
,
b
)
内有零点。

8.
不用求出函数
f
(
x
)

(
x

1
)(
x

2
)(
x

3
)(< br>x

4
)
的导数
,
说明方程
f
< br>(
x
)

0
有几个实

根
,
并指出它们所在的区间
.
9
设
f
(
x
)
是处处可导的奇函数
,
证明
:
对任一
b

0
,
总存在
c

(

b< br>,
b
)
使得
f

(
c
)
=
10
证明恒等式
arcsin
x

arccos
x

11.
证明不等式
:
⑴

f
(
b
)
.
b

(-1
≤
x
≤
1).
2
a
a

b
a

b
＜
ln
＜

(
a

b

0
)
;

a
b
b
x
x

⑵

x

e

1

xe
.
12．若函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内具有二阶导数且
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)

f
(
x
3)
,
其中

a

x
1

x< br>2

x
3

b
，证明
:
在
(
x
1
,
x
3
)
内至少有一点

,
使得
f


(

)

0
.
13.
若函数
f
(
x
)
在
[a
,
b
]
上连续，在
(
a
,
b
)
内二阶可导，
A
(
a
,
f
(
a
))
,
B
(
b
,
f
(
b
))< br>，弦
AB
交曲线
y

f
(
x
)于点
C
，证明，在
(
a
,
b
)
内至少 有一点

,
使得
f


(

)< br>
0
.
第三部分章

一元积分学

一、不定积分

1.
单项选择题

(1)
下列等式正确的是（

）

(A)
d


f
(
x
)
dx

f(
x
)
;

f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx
;


(B)
d
f
(
x
)
dx

f< br>(
x
)

C
;
dx

d
f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx
.
dx

(C)
d


(D)
(2)
设

f
(
x
)
dx
< br>x

1

C
，则
f
(
x
)

（

）

2
x
; (C)
2
; (D)

2
.
(
x

1
)
2
(
x

1
)
2
(
x

1
)
2

2
x
x

1
(A) 1; (B)
(3)
设
f
(
x
)
的一个原函数为
e
(A) < br>
2
e

2
x
，则

f

(
x
)
dx

( )
; (B)

2
e

2
x

C
; (C)

1
e

2
x
; (D)

1
e

2
x

C
.
2
2
2.
求下列不定积分

(1)
1
dx
;

x
2


(2)

1
dx
;
x
(3)
(
x
2

3
x

1
)
dx
;







(4)

dh
（
g
是常数）
;
2
gh

x
e
)
dx
;
(5)

e
(
1

x
x







2
x
dx
;
(6)

1

x
2
2
1
2
x
(7)

2
dx
;
2
x
(
1

x
)







(8)
sec
x
(secx

tan
x
)
dx
；


(9)

1

x
2
1

x
4< br>dx
;







(10)
(
2

3
)
dx
;
x
x

2
(11)
cos
2
x

cos
2
x

sin
2
x
dx
;





(12)
sin
2

x
dx
；

2
3.
求下列不定积分

10
(1)
(
2
x

5
)
dx
;




3
x
(2)
e
dx
;

(3)
1
dx
;

1

3
x








(4)

sin
x
dx

；

x
(5)
xe


x
2
dx
;







(6)

x
dx
;
2
2

3
x
(7)
1

< br>(arcsin
x
)
2
1

x
2
d x
;




(8)
1

x
1

ln
x
dx
;
3
(9)
cos
xdx
;















(10)
(12)
1

e
x
e

x
dx
;
(11)
1

1

cos
x
dx
;


1

x
dx
;
1

4
x
2
(13)
sin
x
dx
;


cos
3
x






(14)
dx

sin
x
cos
x
;
3
x
dx
;

(15)

9

x
2











(16)
sin
2
x
cos
3
xdx
;
(18)

3
(17)
tan
x
sec
xdx
;



sin
x

cos
x
dx
;
3
sin
x

cos
x
2
(19)
sin
x
cos
x
dx
;


1

sin
4
x
arctan
x
;


x

1

x

dx





(20)
tan
1

x


x
dx
;
2
1

x
(21)





(22)

dx
;
2
3
(
1

x
)
(23)

x
2
dx
(
a

0
)
;

2
2
a

x
1
dx
;
2
1

x

x



(24)
1

x
x
2

1
dx
;
(25)

1

4.
设
f
(
x
)
的一个原函数为
e
，计算


5.
设
xf
(
x
)
dx

arcsin
x

C
，计算
6
．
求下列不定积分：


2
x

x
e
dx
;

f
(ln
x
)
dx
.
x
1
dx
.
f
(
x
)









x
sin
5
xdx
;


ln
xdx






arccos
xdx



爱的奉献歌谱-篮球赛口号

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