信号与系统第三版课后答案燕庆明
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2021年01月28日 18:59
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信号与系统第三版课后答案燕庆明
【篇一：信号与系统课后习题】
t)?tf(t?td),tf(t?t0)?yf(t?t0)?,yf(t?t0)?
(t?t0)f(t?t0)
。
(3)
令
g(t)?f(t? t0)
，
t[g(t)]?g(?t)?f(?t?t0)
，
tf(t?t0 )?
yf(t?t0)
，
yf(t?t0)?f(?t?t0)
1.2.
已知某系统输入
f(t)
与输出
y(t)
的关系 为
y(t)?f(t)
判断该系统是
否为线性时不变系统？解
:
设< br>t
为系统运算子，则
y(t)
可以表示为
y(t)?t[f(t)]? f(t),
不失一般性，设
f(t)?f1(t)?f2(t)t[f1(t)]?f1(t) ?y1(t),t[f(t)]?f1(t)?f2(t)?y(t),
显然其不相
等，即为非 线性时不变系统。
df(t)t
??f(x)dx(2):[y(t)]2?y(t)?f(t) 1.3
判断下列方程所表示系统的性
(1):y(t)?
0dt
（
3
）：
y(t)?2y(t)?3y(t)?f(t)?f(t ?2)
（
4
）：
y(t)?2ty(t)?2y(t)?3f(t)
线性
非线性时不变
线性时不变
线性时变
1.4
。试证明方程
y(t)+ay(t)=f(t)
所描述的系统为线性系统。
证明：不失一般性，设输入有两个分量，且
f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)
则有
y1(t)+ay1(t)=f1
（
t)
，
y2(t) +ay2(t)=f2(t)
相加得
y1+ay1(t)+y2(t)+ay2(t)=f1(t)+f2(t)
即
d
[y1(t)+y2(t)]+a[y1(t)+y2(t)] dt
=f1(t)+f2 (t
）可见
f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t)
即满足可加性，齐次性 是
显然的。故系统为线性的。
1.5
。证明
1.4
满足时不变性。
证明
< br>将方程中的
t
换为
t-t0,t0
为常数。即
y(t-t0) +ay(t-t0)=f(t-t0)
由
链导发则，有
dy(t?t0)
? dt
d(t?t0)dy(t?t0)d(t?t0)dy(t?t0)dy(t?t0)
?1
从而又因
t0
为常数，故所以有
??dtd(t?t0)dtdtd(t?t0)
dy(t?t0)
?ay(t?t0)?f(t?t0)
即满足时不变性
f(t-
t0)→y(t
-t0) dt
y(t)?y(t?t0)f(t)?f(t??t)?
所以
?t?t
limf(t)?f(t??t)limy(t)?f(t?t0)
既有
f(t)?y(t) ?
?t?0?t?0?t?t
1.7
若有线性时不变系统的方程为
y(t)+ay(t)=f(t)
在 非零
f(t)
作用下其
响应
y(t)=1-e-t,
试求方程
y(t)+ay(t)=2f(t)+f(t)
的响应。
解：因为f(t)→y(t)=1
-e-t,
又线性关系，则
2f(t)→2y(t)=2 (1
-e-t)
又线
性系统的微分特性，有
f(t)→y(t)=e
-t
故响应
2f(t)+f(t)→y(t)=2(1
-e-
t)+e-t=2-e-t
计算：
2.1
设有如下函数
f( t )
，试分别画出它们的波形。
(a) f( t ) =
2?( t ?1 ) ? 2?( t ?2 ) (b) f( t ) = sin?t[?( t ) ? ?( t ?6 )]
2-2
试用阶跃函数的组合表示题
2-4
图所示信号。
解
(a) f( t )
= ?( t ) ? 2?( t ?1 ) + ?( t ?2 )(b) f( t ) = ?( t ) + 2?( t ?t ) +
3?( t ?2t )
2-5
设有题
2-6
图示信号
f( t )
，对
(a)
写出
f? ( t )
的表达式，对
(b)
写
出
f? ( t )
的表达式，并分别画出它们的波形。
解
(a)
1,2
0?t?2
f? ( t ) = ?( t ? 2 )
，
t = 2?2?( t ? 4 )
，
t = 4 (b) f? ( t ) = 2?( t ) ?
2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 )
2.6.
化简下列信号：
(a)f(t )?(t?3)?f(3)?(t?3);(b)?(t)?sint??(t)??(t)(c)2e?2t? ?t??2??t?;
(d)cost???t????t?
2-7
试计算下列结果。
(1) t?( t ? 1 ) (2) ?cos(?t?)?(t)dt (3)
0?
3
?
?
0?
0?
e?3t?(?t)dt (4)
?
?
??
t?(t?1)dt (5)?
?
??
t?( t ? 1 )dt (6)
??t
?1
2
2
?t???t?3?dt(7) 2?????d?
??
t
cos(?t?)?(t)dt?cos(?)?(t)dt?
解
(1) t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 )
(2)? ?0?0?
332??0?0?0?
?3t?3t
(3)?e?(?t)dt??e?(t)dt???(t)dt?1 (4) ?t?(t?1)dt???(t?1)dt?1
?
0?0?0?
????
(5)
?
?
??
t?( t ? 1 )dt=
?
?
??
?( t ? 1 )dt=1 (6)=0(7)=2?
?t?
3-1
如图
2-1
所示系统，试以
uc( t )
为输出列出其微分方程。
解
由
图示，有
ucdu1t
?cc
又
il??(us?uc)dt
故
l0rdt
u?1
??
从而得
(us?uc)?c?cuc
lr
111??(t)??(t)?ucucuc(t)?us(t)
rclclcil?
3-3
设有二阶系统方程
y??(t )?4y?(t)?4y(t)?0
在某起始状态下的
0+
起始值为
y(0?)?1,y?(0?)?2
试求零输入响应。
解
由特征方程
?2 + 4? + 4 =0
得
?1 = ?2 = ?2
则零输入响应形式为
yzi(t)?(a1?a2t)e
由于
yzi( 0+ ) = a1 = 1 ?2a1 + a2 = 2
所以
a2 = 4
故有
yzi(t)?(1?4t)e
?2t
?2t
,t?0
3-4
如题
2-7
图一阶系统，对
(a)
求冲激响应
i
和
ul
，对
( b)
求冲激响
应
uc
和
ic
，并画出它们的波形。
解
由图
(a)
有
didir1
?us(t)?ri
即
?i?us(
t)
当
us( t ) = ?( t )
，则冲激响应
dtdtll
rr1?ltdir?lt
h(t)?i(t)?e? ?(t)
则电压冲激响应
h(t)?ul(t)?l??(t)?e??(t)
ldtll
对于图
(b)rc
电路，有方程
c
ducu11
???is?c
即
ucuc?is
当
is = ?( t )
时，则
dtrrcc
tt
duc1?rc1?rc
h(t)?uc(t)?e??(t)
同时，电流
ic?c??(t)?e??(t)
dtrcc
3-5
设有一阶系统方程
y?(t)?3y( t)?f?(t)?f(t)
试求其冲激响应
h( t )
和阶跃响应
s( t )
。
解
因方程的特征根
? = ?3
，故有
x1(t)?e?3t??(t)
当
h( t ) = ?( t )
时，则冲激响应
h(t)?x1(t)?[??(t)??(t)]??(t) ?2e?3t??(t)
阶跃响应
t1
s(t)??h(?)d??(1?2e?3t)?(t)
03
3. 6lti
系统的冲激响应如图
(a),
若输入信号
f(t)
如图（< br>b)
所示三角波，
求零状态响应？本题用图形扫描计算卷积即
y(t)?h(t )?f(t)?0(t?0),??d?,(0?t?1),
01
?
1
t?22
?d???(2??)d?,(2?t?3),??d???(2??)d?,(1?t?2),
1
1
21t
1212 1212(2??)d?,(3?t?4),0,(t?4)?0,t,?1?2t?t,?1?2t?t,8? 4t?t,0?t
?2
2222
3.10
算子法求 下列系统的冲激响应
h(t)
。
(a)y??(t)?3y?(t)?2y(t)?5 f?(t)?7f(t)(b)y?t??2y?t??y?t??2f?t??3f
?t?
解：
(a)
系统的算子方程
(p2?3p?2)y(t)?(5p ?7)f(t)
从而
h(p)?
从而
h(t)?(
5p?723
??
p2?3p?2p?1p?2
23?)?(t)?2e?t?3e?2t,t?0(b)(p2?2p?1)y(t)?(2p?3)f(t)
，
p?1p?22p?31212
h(p)?2??
从而
h(t)?
【
?
】
?(t)?te?t?2e?t,t?022
p?2p?1
（
p?1
）
p?1
（
p?1
）
p?1
3-11
试求下列卷积。
(a) ?( t + 3 ) * ?( t ? 5 )(b) ?( t ) * 2(c)
te?t??( t ) * ?? ( t )
解
(a)
按定义
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =
?
?
??
?( ? + 3 ) = 0
；
?(??3)?(t???5)d?
考虑到
? ?3
时，
? t ?5
时，
?( t ?? ? 5 ) = 0
，故
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =
?
t?5
?3
d??t?2,t?2
(b)
由
?( t )
的特点，故
?( t ) * 2 = 2 (c) te?t??( t ) * ?? ( t ) =
[te?t?( t )]? = ( e?t ? te?t )?( t )
3-12
对图示信号，求
f1( t ) * f2( t )
。
解
(a)
先借用阶跃信号表示
f1( t )
和
f2( t )
，
即
f1( t ) = 2?( t ) ?
2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )
故
f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )]
因为
t
?( t ) * ?( t ) =
?
1d?= t?( t )
故有
f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) +
2( t ? 3 )?( t ? 3 )
(b)
根据
? ( t )
的特点，则
f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 )
+ ? ( t + 2 )]= f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 )
3-13
试求下列卷积。
(a) (1?e?2t)?(t)???(t)??(t) (b) e
?3t
?(t)?
d?t
[e?(t)]
解
(a)
因为
??(t)??(t)???(t) ??(t)
，故
dt
(1?e?2t)?(t)???(t)??(t )?(1?e?2t)?(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)
(b)
因为
e?t?(t)??(t)
，故
e?3t?(t)?
d?t
[e?(t)]?e?3t?(t)???(t)??(t)?3e?3t dt
3-14
设有二阶系统方程
y??(t)?3y?(t)?2y(t)?4??(t)
试求零状 态响
应
解
因系统的特征方程为
?2 + 3? + 2 =0
解得特征根
?1 = ?1
，
?2
= ?2
故特征函数
x2(t)?e
?1t
?e?2t?(e?t?e?2t)?(t)
零状态响应
y(t)?4? ?(t)?x2(t)?4??(t)?(e?t?e?2t)?(t)=
(8e?2t?4e?t)?(t) 3-15
如图系统，已知
h1(t)??( t?1),h2(t)??(t)
试求
系统的冲激响应
h( t )
。
解
由图关系，有
x(t )?f(t)?f(t)?h1(t)??(t)??(t)??(t?1)??(t)??(t?1)
所以冲激响应
h(t)?y(t)?x(t)?h2(t)?[?(t)??(t? 1)]??(t)??(t)??(t?1)
即该系统输出一个方波。
3-16
如图系统，已知
r1 = r2 =1?
，
l = 1h
，
c = 1f
。试求冲激响应
uc( t )
。
解
由
kcl
和
kvl
，可得电路方程为
???(cuc
r1r2c1r1
??(?2)uc???(t)?2?(t) ?)uc
r1llr1lr1r1l
???2uc??2uc???(t)??(t)
代入数据得
uc
特征根
?1,2 = ?1 ? j1
故冲激响应
uc( t )
为
uc(t)?(e1?e1)*[??(t)??(t)]
?e?t (cost?sint)??(t)?e?tsint??(t)?e?tcost??(t)v
3-19
一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入
f( t ) = ?( t )
时，全响应
y1( t ) = 3e?3t??( t )
；当输入
f( t ) = ??( t )
时，全响应
y2( t ) = e?3t??( t )
，试求该系统的冲激响应
h( t )
。
【篇二：
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