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2021年1月28日发(作者：等风也等你)
复数的三角形式及乘除运算




一、主要内容
:




复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义
.



二、学习要求
:




1
．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值
.



2
．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式
.



3
．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）
.



4
．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何 意义解决相关问题
.



5
．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法
.



三、重点
:




复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用
.



四、学习建议
:




1
．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得
有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的
.



前面已经学习过了复数的另两种表示
.
一是代数表示，
即
Z=a+bi(a,b
∈
R).
二是几何表示，
复数
Z
既可 以用复
平面上的点
Z(a,b)
表示，也可以用复平面上的向量
来表示
.
现在
需要学习复数的三角表示
.
既用复数
Z
的模和辐角 来表示，设其模为
r
，辐角为
θ
，则
Z=r(cosθ+isinθ )(r≥0).



既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化
.


1


代数形式
r=
三角形式




Z=a+bi(a,b
∈
R)
Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)



复数三角形式的结构特征是
:
模非负，角相同，余弦 前，加号连
.
否则不是三角形式
.
三角形式中
θ
应是复数< br>Z
的一个辐角，不一定是辐角主值
.

五、基础知识


1
）复数的三角形式


①定义：复数
z=a+bi
（
a,b
∈
R
）表示成
r
（
cos
θ
+ i
sin
θ
）的形式叫复数
z
的三角形式。即
z=r
（
cos

θ
+ i
sin
θ
）







其中
z

r





θ
为复数
z
的辐角。


②非零复数
z
辐角
θ
的多值性。

始边，向量oz
所在的射线为终边的角
θ
叫复数
z=a+bi
的辐角

角是
θ
+
2
k

（
k
∈z
）


以
ox
轴正半轴为
因此复数
z
的辐


③辐角主值



表示法；用
arg



定义：适合
[0
，

z
表示复数
z
的辐角主值。


2

）的角
θ
叫辐角主值

0

arg
z

2


2


唯一性：复数
z
的辐角主值是确定的，唯一的。


④不等于零的复数的模
z

r
是唯一的。


⑤
z
=0
时，其辐角是任意的。


⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。
（求法）




这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮< br>美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。
因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容< br>（也是解题术）
复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定 是难点，也是关键存在，这
个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。


2
）复数的向量表示





在复平面 内与复数
z
1
、
z
2
对应的点分别为
z
1
、
z
2
（如图）








何量
oz
1
对应于
z
1








何量
oz
2
对应于
z
2








何量
z
1
z
2
对应于
z
2

z
1

z









显然
oz
∥
z
1
z
2





则
arg
z
1
=
∠
xoz
1
=
θ
1











与复数
z
2
－
z
1
对应的向量为
oz
















arg
z
2
=
∠
xoz
2< br>=
θ
2














arg
z
（
z
2
－
z
1
）
=arg
z=
∠
xoz=
θ


3
）复数运算的几何意义









主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化









如
z
1
=r
1
（
cos
θ
1
+
i
sin
θ
1
）




z
2
=
r
2
（
cos
θ
2
+
i
sin< br>θ
2
）


①乘法：
z=z
1
·

z
2
=r
1
·
r
2
[cos(
θ
1
+
θ
2
)+
i
sin(
θ
1
+
θ
2
)]



如图：其对应的向量分别为
oz
1
oz
2
oz

显然积对应的辐角是
θ
1
+
θ
2





< 1 >
若
θ
2
> 0
则由
oz
1
逆时针旋转
θ
2
角模 变为
oz
1
的
r
2

倍所得向量便是积
z
1
·
z
2
=z
的向量
oz
。




< 2 >
若
θ
2
< 0

则由向量
oz
1
顺时针旋转

2
角模变 为
r
1
·
r
2

所得向量便是积
z
1
·
z
2
=z
的向量
oz
。





为此，若已知复数
z
1
的辐角为α，
z
2
的辐角为β求α
+
β时便可求出
z
1
·z
2
=
z
a



z


对应的辐角就是α
+
β
这样便可将求“角”的问题转化为求“复数 的积”的运算。


②除法

z


z< br>1

z
2

z
1
r
1
< br>[cos(

1


2
)

isin(

1


2
)]


（其中

z
2
≠
0
）

z
2
r
2






除法对于辐角主要是“相减”
（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：

3


< 1 >

2
0
时
oz
1
顺时针旋转

２
角
。
< 2 >

２

0
时
oz
1逆时针旋转

２
角
。






例
1
．
下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式
:



(1) Z
1
=-
2(cosθ+isinθ)


(2) Z
2
=cosθ
-
isinθ


(3) Z
3
=-
sinθ+icosθ



(4) Z
4
=-
sinθ
-
icosθ


(5) Z
5
=cos60°
+isin30°




分析
:
由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向< br>.
变形时，可按照如下步骤进行
:
首先确定复数
Z
对应点所在 象限（此处可假定
θ
为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角
.< br>此步骤可简称
为
“
定点
→
定名
→
定角
”.
这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率
.



解
:
（
1
）由
“
模非负”
知，不是三角形式，需做变换
:Z
1
=Z(-
cosθ
-
isinθ)



复平面上
Z
1
(-
2cosθ,
-
2sinθ)
在第三象限（假定
θ
为锐 角），余弦
“
-
cosθ”
已在前，不需再变换三角函数名称，
因此 可用诱导公式
“π+θ”
将
θ
变换到第三象限
.
∴
Z
1
=Z(-
cosθ
-
isinθ)=2[cos(π+θ)+i sin(π+θ)]




（
2
）由
“
加号连
”
知，不是三角形式




复平面上点
Z
2
(cosθ,
-< br>sinθ)
在第四象限（假定
θ
为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公 式

“2π
-
θ”
或
“
-
θ”
将
θ
变换到第四象限
.



∴

Z
2
=cosθ
-
isinθ=cos(
-
θ)+isi n(
-
θ)
或
Z
2
=cosθ
-
isin θ=cos(2π
-
θ)+isin(2π
-
θ)



考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一
.



（
3
）由
“
余弦前
”
知，不是三角形式




复平面上点
Z
3
(-
sinθ,c osθ)
在第二象限（假定
θ
为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式

“



∴
+θ”
将
θ
变换到第二象限
.

4
Z
3
(-
sinθ,cosθ)=cos(

+θ)

5
+θ)+isin(


同理（
4
）
Z
4
=-
sinθ
-ic
osθ=cos(


（
5
）
Z
5
=cos60°
+isin 30°
=

π
-
θ)

6
π
-
θ)+isin(
+
i=
·
+isin
7
(1+i)=
(cos
)=

(cos
+isin
)



小结
:< br>对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点
.
有了
“
定点
→
定名
→
定角
”
这样一个可操 作的步骤，应能够很好地解决此类问题
.



例
2．
求复数
Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)
的模与辐角主值
.



分析
:
式子中多
3
个
“1”
，只有将
“1”
消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消
“1”.



解
:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos
2

8
-1)+2i·
sin
cos
(cos
)........(1)
9
=2cos
+isin




∵

π<θ<2π

∴

cos



∴
(1)
式右端
=-2cos

<
<0
(-cos
10
<π,

∴
-isin
)=-2cos
)]+isin(π+
11
)]
[cos(π+




∴

r=-2cos
ArgZ=π+

,
+2kπ(k
∈
Z)

12

∵


argZ=π+
<
π<π+
.
13
<π

<2π
，


∴

∴




小结
:
（
1
）式右端从形式上看似乎就是三角形式
.
不少同学认为
r=2cos
, argZ=
或
ArgZ=




错误之处在于他 们没有去考虑
θ
角范围，因此一定要用
“
模非负，角相同，余弦前，加号连< br>”
来判断是否为
三角形式
.
看了这道例题，你一定能解决如
Z
1
=1-
cosθ+isinθ(π<θ<2π)
，
Z
2
=1+cosθ
-
isinθ(π<θ<2π)
等类似问题
.


14


例
3
．
将
Z=
(
π<θ<3π)
化
为三角形式，并求其辐角主值
.



分析
:
三角形中只有正余弦，因此首先想到
“
化切为弦
”.
下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化
.



解
:
=
=
=

15
=cos2θ+isin2θ



∵
π<θ<3π,
∴
<2θ<6π,




∴
π<2θ
-
4π<2π
，∴

argZ=2θ
-
4π



小结
:< br>掌握三角变形是解决这类问题的根本
.
但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子 结构
.
比较其
与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法
.< br>要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，
举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如< br>1-
itgθ, tgθ+i, i
-
ctgθ
等
.


16


2
．复数
Z
的模
|Z|
的几何意义是
:
复平面上点
Z
到原点距离，复数模< br>|Z
1
-Z
2
|
的几何意义是
:
复平面上两 点
Z
1
，
Z
2
之间距离
.
辐角几何意义是
:
以
x
轴正半轴为角始边，
以向量
在射线为终边的角记为< br>ArgZ.
在
[0
，
2π)
范围内的辐角称辐角主值，记为< br>argZ.



要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题
.



例
4
．
若
Z
∈
c
，
|Z-
2|≤1
，求｜Ｚ｜的最大，最小值和
argZ
范围
.



解
:
法一，数形结合




由
|Z-
2|≤1
，知Ｚ的轨迹为复平面上以（
2
，
0
）为圆心，
1
为半径的圆面（包括圆周），
|Z|
表示圆面上任一点到原点的距离
.



显然
1≤|Z|≤3,
∴
|Z|
max
=3, |Z|
min
=1,



另设圆的两条切线为
OA
，
OB
，
A
，
B
为切点，由
|CA| =1
，
|OC|=2
知



17
所


∠
AOC=
∠
BOC=
[0,]
∪
[


法二
:
用代数形式求解
| Z|
的最大，最小值，设
Z=x+yi(x,y
∈
R)


则由
|Z-
2|≤1
得
(x-2)
2
+y
2
≤1,


18
argZ
∈
π,2π)
，∴




∴

|Z|=
≤
=
,



∵

(x-2)
2
+y
2
≤1,
∴
(x-2)
2
≤1,
∴
-
1≤x
-
2≤1,
∴
1≤x≤3,



∴

1≤4x
-
3≤9,
∴
1≤|Z|≤3.



小结
:
在一 题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择
.
各种方法的本质和优势，通
过分析与比较都一目了然
.



例
5
．
复数
Z
满足
arg(Z+3)=

19
π,
求
|z+6|+|z-3i|
最小值
.



分析
:
由两个复数模的和取最小值，
联想到 一个点到两个定点距离和的最小值，
将之转化为几何问题来解决
应比较简便
.



解
法一
:
由
arg(Z+3)=< br>π,
知
Z+3
的轨迹是一条射线
OA
，∠
xOA=< br>π,
而




|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|



将
B(-3,0)
与
C(3,3)
连结，BC
连线与
OA
交点为
D
，取
Z+3
为
D
点，表示复数时，



20


|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3
=3

.

21
,
∴

所求最小值


法二
:
由
arg(Z+3)=
π,
知
Z+3的轨迹是射线
OA
，则
Z
轨迹
应是平行于
OA
，且过点（
-3
，
0
）的射线
BM
，




∴

|Z+6|+|Z-3i|
就表示射线
B M
上点到点
P(-6,0)
和点
Q(0,3)
距离之和，连结
PQ
与射线
BM
交于点
N
，取
E
为
N< br>点表示复数时，




|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3
,



∴所求最小值
=3

22
.



小结
:
两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问 题进行解决
.
如果纯粹用代数方
法求解，难度会很大
.
对有关最值问 题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便
.



例
6
．
已知
|Z-
2i|≤1,
求arg(Z-4i)
最大值
.



解
：∵
|Z-
2i|≤1,
∴点
Z
轨迹是以（
0
，
2
）为圆心，
1
为半径的圆面，在其上任取一点
Z
，连
Z
与点（
0
，
4
）
得一以（
0
，
4
）为起点，
Z
为终点的向量，将起点平移到原点，则
θ
为其对应的辐 角主值，显然
arg(Z-4i)
最大
值为
π.



3
．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩 及对应向量的旋转
.



两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法
.



由复数三角形式乘除运算的几何意义，
可解决向量或图形的旋 转问题，
如等腰、
等边三角形、
直角三角形，
平行四边形顶点间的几何何关系 利用复数的乘除运算来表示
.



复数三角形式较之代数形式， 在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运
算
.


23


例
7
．
若
分别表示 复数
Z
1
=1+2
Z
2
=7+

与
i,
i,
求∠
Z
2
OZ
1
并判断
ΔOZ
1
Z
2
的形状
.
24

解
:
欲求∠
Z
2
OZ
1
，可计算
=
=
25
=
=







Z
2
OZ
1
=

=
26
且



∴∠


，





由余弦定理，设
|OZ
1
|=k,
|OZ
2
|= 2k(k>0)|Z
1
Z
2
|
2
=k
2
+ (2k)
2
-2k·
2k·
cos

=3k
2



∴

|Z
1
Z
2
|=
k,


< br>而
k
2
+(
k)
2
=(2k)
2
，
∴
ΔOZ
1
Z
2
为有一锐角为
60°
的直 角三角形
.



小结
:
此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便
.


27


例
8
．
已知直线
l
过坐标原点，抛物线
C
的顶点在原点，焦点在
x
轴正半轴 上，若点
A(-1,0)
和
B(0,8)
关于
l
的对称点都 在
C
上，求直线
l
与抛物线
C
的方程
.



解
:
如图，建立复平面
x0y
，设向量



x
1
+y
1
i, x
2
+y
2
i.



由对称性，
|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,



∴

x
2
+y
2
i=(x
1< br>+y
1
i)8i=-8y
1
+8x
1
i


、
对应复数分别为

28


∴

y
2
2
=2px
2
,



∴

x
1
=




设抛物线方程为
y
2
=2px(p>0)
则有
y
1
2
=2px
1
,
, y
1
2
=p
2
,
又
|OA'|=1
，

29


∴
(
p=

)
2
+p
2
=1,
或
-
30

∴
（舍）




∴抛物线方程为
y2
=
x
，直线方程
为
:y=
x.



小结
:
对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意 想不到的功效
.
尤其涉及到特殊
位置，特殊关系的图形时，尤显其效
.



五、易错点




1< br>．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值
.
如复数零的模为
0
，辐 角主值不确定
.



2
．注意
ArgZ
与
argZ
的区别
.ArgZ
表示复数
Z
的辐角，而argZ
表示复数
Z
的辐角主值
.


< br>ArgZ=argZ+2kπ(k
∈
Z),argZ
∈
[0,2π),
辐角主值是
[0,2π)
内的辐角，但辐角不一定是辐角主值
.



3
．复数三角形式的四个要求
:
模非负，角相同，余弦 前，加号连，缺一不可
.
任何一个不满足，就不是三角
形式
.



4
．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向
.



六、练习




1
．写出下列复数的三角形式



31


(1) ai(a
∈
R)


(2) tgθ+i(
-


2
．设
Z=(-3
N
，当
Z
∈
R
时，
n
为何值？



sinθ
-
icosθ)
+3
32
<θ<π
）


(3)
i)
n
, n
∈
（



3
．在复平面上
A
，
B
表示复数为
α,β(α≠0),
且
β=(1+i)α
， 判断
ΔAOB
形状，并证明
S
ΔAOB
=


参考答案
:




1
．（
1
）
ai=

|d|
2
.



33


（
2
）
tgθ+i(
=-
(

[cos(
π
-
θ)]

34
<θ<π
）
π
-
θ)+isin


（
3
）
-
os(


2
．
n
为
4
的正整数倍




3
．法一
:
∵
α≠0
，
β=
（
1+i)α


∴


(sinθ
-< br>icosθ)=
+θ)+isin(
=1+i=
35
[c
+θ)]
(cos


AOB=


∵

+isin
,

分别表示复数
α
，
β
-
α
，
36
),
∴∠



由
β
-
α=αi
，得

∴∠
OAB=90°
,
=i=cos
，

ΔAOB
为等腰直角三角形
.

37
+isin




∴



法二
:
∵
|
|
|

|=|α|,
|=|β
-
α|=|αi|=|α|,

∴
|=|
38
|



又
|
|,|
2|α|
2
=|

|
2
+|
|
2


39
|α< br>|
2
=|α|
2
+|α|
2
=
|=|β|= |(1+i)α|=


∴
ΔAOB
为等腰直角三角形，∴
S
ΔAOB
=


选择题



1
．若复数
z=(a+i)
2
的辐角是

|
|=
在线测试

40
|·
|
|α|
2
.

a
的值是（

）
，则实数



A
、
1
-

B
、
-1
C
、
-
41
D
、








2
．已知关于
x
的实系数方程
x
+x+p=0
的两虚根
a
，
b
满足
|a-b|=3
，

则
p
的值是（

）

2

A
、
-2
B
、
-


D
、
1
42
C
、









3
．设π
<
θ
<


A
、
2
π
-3
θ


4
．复数
cos

B
、
3
θ
-2
π
，则复数
的辐角主值为（

）

C
、
3
θ


D
、
3
θ
-
π
+isin
43
经过
n





次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则
n
的值等于（

）



A
、
3

B
、
12

C
、
6k-1(k
∈
Z)

D
、
6k+1(k
∈
Z)


5
．
z
为复数，
(


A
、直线

)
|z-3|
=(
)
-1的图形是（
B
、半实轴长为
1
的双曲线

44
）

)
|z+3|
(





C
、焦点在
x
轴，半实轴长为
不能确定



答案：
1
、
B
2
、
C
3
、
B
4
、
C



解析：


答案与解析

、
C
45
D
、
的双曲线右支



5
1
．∵
z=(a+i)
2
=(a
2
-1)+2ai
，
，∴
a=-1
，本题选
B
.
46


argz=
，∴



2
．
求根
a
，
b=

∴
4p-1=9
，
p=
（Δ
=1-4p<0
）

∵
|=3
，

，故本题应选
C
.
47

|a-b|=|



3
．
+isin3
θ
.
=
48
=cos3

θ



∵

π
<
θ
<
<
<

，∴
3
π
<3
θ
<3
θ
-2
π
B
.
49
，∴π
，故本题应选


4
．
由题意，得
(cos
s

+isin
+isin
-isin
50
)
n
=co
=cos

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