余数的性质及其计算
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 19:16
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带余除法
除法公式的应用
【例
1
】
某数被
13
除，商是
9
，余数是< br>8
，则某数等于
。
【考点】除法公式的应用
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】
2009
年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第
2
题，5
分
【解析】
1
25
【答案】
125
【例
2
】
一个三位数除以
36
，得余数
8
，这样的三位数中，最大的是
__________
。
【考点】除法公式的应用
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】
2008
年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第
3
题
【解析】
因
为最大的三位数为
999
，
99 9
36
27
27
，所以满足题意的三位数最大为：36
27
8
980
【答案】
980
【巩固】
计
算口< br>÷
△
，
结果是：
商为
10
，
余数为
▲
。
如果
▲
的值是
6
，
那么
△
的 最小值是
_____
。
【考点】除法公式的应用
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】
2005
年，希望杯，第三届，五年级， 复赛，第
4
题，
6
分
【解析】
根
据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有
△
的最小值为
7
。
【答案】
7
8
中，被除数最小等于
。
【例
3
】
除法算式
□
□
=
20
【考点】除法公式的应用< br>
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】
2007
年，第
5
届， 希望杯，
4
年级，初赛，
4
题
【解析】
本
题的商和余数已经知道了，
若想被除数最小，
则需要除数最小即可，
除数 最小是
8
1
9
，所以本题答案为：
20×（
8+1
）
+8=188.
【答案】
188
【例
4
】
71427
和
19
的积被
7
除，余数是几
?
【考点】除法公式的应用
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第
14
题
【解析】
7
1427
被
7
除，余数是
6
，
19被
7
除，余数是
5
，所以
71427×
19
被
7
除，余数就
是
6×
5
被
7
除所得的余数
2
。
【答案】
2
【巩固】
在
下面的空格中填上适当的数。
1
7
2
0
0
4
4
2
7
【考点】除法公式的应用
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】
2004
年，第
2
届， 走美杯，
3
年级，决赛，第
10
题，
12
分
【解析】
本
题的被除数、
商和余数已经给出，
根据除法的 计算公式：
被除数
除数
=
商
余数，逆推计算得到：除数< br>
(20047
—
13)
÷
742=27
。
【答案】
27
【巩固】
写
出全部除
109
后余数为
4
的两位数．
【考点】除法公式的应用
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届
109
4
105
3
5
7
．因此，这样的两 位数是：
15
；
35
；
21
．
【解析】
【答案】两位数是：
15
；
35
；
21
【例
5
】
甲、乙两数的和是
1088
，甲数除以乙数商
11
余
32
，求甲、乙两数．
【考点】除法公式的应用
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】清华附中，小升初分班考试
【解析】
(
法
1)
因为
甲
乙
11
32
，所以
< br>甲
乙
乙
11
32
乙
乙
12
32
108 8
；
则乙
(1088
32)
12
88
，甲
1088
乙
1000
．
(
法
2)
将余数先去掉变成整除性问 题，利用倍数关系来做：从
1088
中减掉
32
以后，
1056就
应
当
是
乙
数
的
(11
1 )
倍
，
所
以
得
到
乙
数
1056
12
88
，
甲
数
1
0
8
8
8
8
1
．
0
0
【答案】乙数
1056
12
88
，甲数
1088
88
1000
【例
6
】
用某自然数
a
去除
1992
，得到商是
46
，余数是
r
，求
a< br>和
r
．
【考点】除法公式的应用
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】第五届，小数报，决赛
【解析】
因
为
1992
是
a
的
46
倍还多
r
,
得到< br>1992
46
43......14
，得
199 2
46
43
14
，所
以
a
43
，
r
14
．
【答案】
a
43
，
r
14
【例
7
】
有三个自然数
a
，
b
，
c
，已知
b
除以
a
，得商
3
余
3
；
c
除以
a
，得商
9
余
11
。
则
c
除以
b
，得到的余数是
。
【考点】除法公式的应用
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】
2010
年，第
8
届， 希望杯，
5
年级，初赛，第
4
题，
6
分
b
3
a
3
【解析】
c
9
a
11
c
(9
a
9)
2
3
b
2
所以应该余
2
。
1
3
2
【答案】
2
【例
8
】
有两个自然数相除，
商是
17
，
余 数是
13
，
已知被除数、
除数、
商与余数之和为
2113< br>，
则被除数是多少？
【考点】除法公式的应用
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】
2003
年，小学数学奥林匹克
【解析】
< br>被
除数
除数
商
余数
被除数
除数
+17+13=2113
，所以被除数
除 数
=2083
，
由于被除数是除数的
17
倍还多
13
，
则由
“
和倍问题
”
可得：
除数
=
（< br>2083-13
）
（
17+1
）
÷
=115
，所以被除数
=2083-115=1968
．
【答案】
1968
【巩固】
两
数相除，商
4
余
8
，被除数、除数、商数、余数四数之和等于
415
，则被除数是
_______．
【考点】除法公式的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2002
年，小学数学奥林匹克
【解析】
< br>因
为
被
除
数
减
去
8
后
是< br>除
数
的
4
倍
，
所
以
根
据< br>和
倍
问
题
可
知
，
除
数
为< br>（
4
1
5
4
8
）< br>8
（
4
）
1
，所以，被除数 为
7
9
79
4
8
324< br>。
【答案】
324
【例
9
】
一个自然数，除以
11
时所得到的商和余数是相等的 ，除以
9
时所得到的商是余
数的
3
倍，这个自然数是
___ ______.
【考点】除法公式的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2004
年，福州市，迎春杯
【解析】
设
这
个
自
然
数
除
以
11
余< br>a
(0
a
11)
，
除
以
9
余
b
(0
b
9)
，
则< br>有
1
1
a
a
9
3< br>b
b
，
即
3
a
7
b< br>，
只有
a
7
，
b
3
，
所以这个自然数为
12
7
84
。
【答案】
84
【例
10
】
盒
子里放有编号
1
到
10
的十个球，小红先后三次从盒子中共取出 九个球，如果
从第二次起，每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球
的 编号为
____
。
【考点】
除法公式的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】第五届，走美杯，四年级，初赛，第
11
题
【解析】
令
第
1
次取的编号为
a
，第二 次取的编号为
2a+1
，第三次取的编号为：
2
（
2a+1
）
+1=4a+3
；还剩下的编号为：
55-7a-4=51
7a
，当
a
为
6
时，余下的是
9
；当
a
为
7
时，余下的是
2.
【答案】
9
或者
2
【例
11
】
1
0
个自然数，和为
100
，分 别除以
3
。若用去尾法，
10
个商的和为
30
；若用四舍< br>五入法，
l0
个商的和为
34
．
10
个数中被
3
除余
l
的有
________
个．
【考点】除法公式的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2008
年，第六届，走美杯，五年级， 初赛，第
13
题
【解析】
由
题意，
“ 用去尾法，
10
个商的和为
30
；
用四舍五入法，
l0个商的和为
34
”
可知，
10
个数中除以
3
余
2
的数有
34-30=4
（个）
，又知道
10
个自 然数的和为
100
，设除
以
3
余
1
的数有
x
个，那么根据用去尾法后十个商的和与
10
个自然数的和，可得
x
2
4
100
关系式：
30
，解得，
x
2
。
3
3
3
【答案】
2
3782
除以某个整数后所得的商恰好是余数的
21
倍，那么除数最小可能是
-
【例< br>
12
】
。
3
【考点】除法公式的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2008
年，学而思杯，
4
年级，第
2
题< br>
c
，且
b
21
c
。可以将除式转
【解析】
设
除数为
a
，商为
b
，余数为
c
，则
3782
a
b
c
21
a
1
）
3782
，所以
c
和
（
21
a
1
）
化为
a
21
c
c
3782
，所以
（
是
3 782
的约数，
3782
2
31
6 1
，在
3782
的约数中只有
31
61
1891
被
21
除所得的余数为
1
，所
以
21< br>a
1
1891
，
a
90。
【答案】
90
【例
13
】
在
大于
2009
的自然数中，被
57除后，商与余数相等的数共有
______
个
.
【考点】除法公式的应用
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】
2009
年，第
14
届，华杯赛，初赛，第
10题
【解析】
根
据题意，设这样的数除以
57
所得的商和余数都为
a
（
a
﹤
57
），则这个数为
37
57×
a
+
a
=58
a
。所以
58
a
﹥
2009
，得到
a
﹥
2009÷
58 =
34
，由于
a
为整数，所以
a
58
至少为
35.
又由于
a
﹤
57
，所以
a
最大为
56
，则
a
可以为
35
，
36
，
37，
…
，
56.
由
于每一个
a
的值就对应一个满 足条件的数，所以所求的满足条件的数共有
56-35+1=22
个。
【答案】
22
【例
14
】
用
1
、
9
、
8
、
8
这四个数字能排成几 个被
11
除余
8
的四位数？
【考点】除法公式的应用
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】第二届，华杯赛，初赛，第
14
题
【解析】
用
1
、
9
、
8
、
8
可排成
12
个四位数，即
1988
，
1898
，
1889
，
9188
，
9818
，
9881
，
8198< br>，
8189
，
8918
，
8981
，
881 9
，
8891
它们减去
8
变为
1980
，
1890
，
1881
，
9180
，
9810
，< br>9873
，
8190
，
8181
，
8910
，
8973
，
8811
，
8883
其中被
11整除的仅有
1980
，
1881
，
8910
，
8811
，即用
1
、
9
、
8
、
8
可
排成
4
个被
1
除余
8
的四位数，即
19 88
，
1889
，
8918
，
8819.
【又解 】
什么样的数能被
11
整除呢？一个判定法则是：
比较奇位数字之和与偶位< br>数字之和，如果它们之差能被
11
除尽，那么所给的数就能被
11
整除 ，否则就不
能够．
现在要求被
11
除余
8
，我们 可以这样考虑：这样的数加上
3
后，就能被
11
整除
了．
所 以我们得到
“
一个数被
11
除余
8”
的判定法则：
将偶位数字相加得一个和数，
再将奇位数字相加再加上
3
，得另一个和数，如果这两个 和数之差能被
11
除尽，
那么这个数是被
11
除余
8
的数；否则就不是．
要把
1
、
9
、
8
、
8
排成一个被
11
除余
8
的四位数 ，
可以把这
4
个数分成两组，
每组
2
个数字．其中一组作为 千位和十位数，它们的和记作
A
；另外一组作为百
位和个位数，它们之和加上
3
记作
B
．我们要适当分组，使得能被
11
整除．现在
只有 下面
4
种分组法：
经过验证，第（
1
）种分组 法满足前面的要求：
A
＝
1
＋
8
，
B
＝< br>9
＋
8
＋
3
＝
20
，
B
－
A
＝
11
能被
11
除尽．但其余三种分组都不满足要求．< br>
根据判定法则还可以知道，如果一个数被
11
除余
8
，那么 在奇位的任意两个数字
互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被
11
除也 余
8
．于是，上面
第（
1
）分组中，
1
和
8
中任一个可以作为千位数，
9
和
8
中任一个可以作为百位
4