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2021年1月28日发(作者：上帝未死)
等比数列基础习题选

一．选择题（共
27
小题）

1
．
（
2008•
浙江）已知
{a
n
}
是等比数列，
a
2
=2
，
a
5
=
，则公比
q=
（


）


A
．



B
．

﹣
2

C
．
2


；

D
．




2
．
（
2006•
湖北）在等比数 列
{a
n
}
中，
a
1
=1
，
a< br>10
=3
，则
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
=
（


）


A
．

8

1

B
．

27

C
．
&


D
．
2

43




3
．
（
2006•
北京）如果﹣
1
，
a
，
b
，
c
， ﹣
9
成等比数列，那么（


）


A
．


b
=3
，
ac=9

B
．

b
=
﹣
3
，
ac=9

#

b=3
，
ac=
﹣
9

D
．

b
=
﹣
3
，
ac=
﹣
9

C
．



4
．已知数列
1
，< br>a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，
1< br>，
b
1
，
b
2
，
b
3
，< br>4
成等比数列，则
的值是（


）


A
．



B
．
;


C
．

或﹣

D
．


﹣



5
．正项等比数列
{a
n
}
满足
a
2
a
4
=1
，
S
3< br>=13
，
b
n
=log
3
a
n
，则 数列
{b
n
}
的前
10
项和是（


）


A
．

6

5

}

﹣
65

C
．
2

5

D
．

﹣
25

B
．



6
．等比数列
{a
n
}
中，
a
6
+a
2
=34
，
a< br>6
﹣
a
2
=30
，那么
a
4
等于（


）


A
．

,


B
．
1

6

C
．
±

8

D
．
±

16

8



7
．已知数列
{ a
n
}
满足
，其中
λ
为实常数，则数列
{a
n
}
（


）

【



不可能是等差数列，也不可能是等比数列

A
．


B
．


不
可能是等差数列，但可能是等比数列


C
．


可
能是等差数列，但不可能是等比数列


D
．

、


可能是等差数列，也可能是等比数列



8
．已知数列< br>{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若对 于任意
n
∈
N
*
，点
P
n
（
n< br>，
S
n
）都在直线
y=3x+2
上，则数列
{an
}
（

A
．


是
等差数列不是等比数列

B
．

是
等比数列不是等差数列


C
．

、


D
．

既
不是等差数列也不是等比数列

是常数列



9
．
（
2012•
北京）已知
{a
n
}< br>为等比数列，下面结论中正确的是（


）


A

．

a
1
+a
3
≥2a
2

B
．


￥

C
．

若
a
1
=a
3
，则
a
1
=a
2
D
．

若
a
3
＞
a
1，则
a
4
＞
a
2




）



10
．
（
2011•
辽 宁）若等比数列
a
n
满足
a
n
a
n+1
= 16
n
，则公比为（


）

)

2

4

8


A
．


C
．

B
．



1 1
．
（
2010•
江西）等比数列
{a
n
}
中，
|a
1
|=1
，
a
5
=
﹣
8a
2
，
a
5
＞
a
2
，则
an
=
（


）

﹣

A
．

@


B
．

C
．

D
．

（
﹣
2
）
n

﹣
（﹣
2
）
n

﹣
（﹣
2
n
1
）

﹣
（﹣
2
）
n
1



12
．已知等比数列
{a
n
}
中，
a
6
﹣
2a
3
=2
，
a
5
﹣
2a
2=1
，则等比数列
{a
n
}
的公比是（


）

1
6

D
．

'



﹣
1

B
．
2


C
．
3


A
．



13
．正项等比数列
{a
n
}
中，
a
2< br>a
5
=10
，则
lga
3
+lga
4
=
（


）

。
A

．

﹣
1

B
．
1


C
．
2





(

14
．在等比数列
{b
n
}
中，
b
3•b
9
=9
，则
b
6
的值为（


）


A
．

3


B
．
±

3

C
．

﹣
3

,



15
．
（文）在等比数列
{a
n
}
中，
，则
tan
（a
1
a
4
a
9
）
=
（


）


A
．



B
．


C
．




16
．若等比数列
{a
n
}
满足
a
4+a
8
=
﹣
3
，则
a
6
（
a
2
+2a
6
+a
10
）
=
（


）


A
．

9


B
．
6


C
．
3




17
．设等比数列
{a
n
}
的前n
项和为
S
n
，若
=3
，则
=
（

）


A
．



B
．


C
．
：





18
．在等比数列
{a
n
}
中，a
n
＞
0
，
a
2
=1
﹣
a< br>1
，
a
4
=9
﹣
a
3
，则
a
4
+a
5
=
（


）


A
．

1

6

B
．
2

7

!

36

C
．



19
．在等比数列
{a
n
}
中
a
2
=3
，则
a
1
a< br>2
a
3
=
（


）


A
．

8

1

B
．
*


C
．
2

2

27



20
．等比数列
{a
n
}
各项均为正数且
a
4
a
7
+a< br>5
a
6
=16
，
log
2
a
1+log
2
a
2
+…+log
2
a
10
=
（


A
．

1

5

《

10

C
．
1

2

D
．
4


D
．
0


D
．
9


D
．
?



~

﹣
3

D
．

D
．
1


D
．
8

1

D
．
9


）

D
．

4
+log
2
5


B
．



21
．等比数列
{a
n
}
中
a
4
，
a
8
是方程
x
2
+3x+2=0< br>的两根，则
a
5
a
6
a
7
=
（

）


A
．

【


B
．

±
2

C
．

﹣
2

D
．

2

8



22
．在等比数列
{a
n
}
中，若< br>a
3
a
4
a
5
a
6
a
7< br>=243
，则
的值为（


）

【



9

B
．
6


C
．
3


D
．
2


A
．



23
．在
3
和
9
之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（
~
A

．

B
．

C



．


D
．




|

24
．已知等比数列
1
，
a
2
，
9
，
…
，则该等比数列的公比为（


）


A
．


3
或﹣
3

B
．

3
或

C
．
3


D
．


^



25
．
（
2011•
江 西）已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
s
n< br>满足：
s
n
+s
m
=s
n+m
，且
a
1
=1
，那么
a
10
=
（


）


A
．

1


B
．
9


C
．
1

0

D
．
>


55



26
．在等比数列
{a
n
}
中，前
7< br>项和
S
7
=16
，又
a
1
2
+a< br>2
2
+…+a
7
2
=128
，则
a
1
﹣
a
2
+a
3
﹣
a
4
+a5
﹣
a
6
+a
7
=
（


）


A
．

8


B
．


C
．
6


￥

D
．




27
．等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n< br>，
a
1
=1
，若
4a
1
，
2a2
，
a
3
成等差数列，则
S
4
=
（< br>

）


A
．

7


B
．
8


C
．
《


D
．
1

5

16



二．填空题（共
3
小题）

28
．已知数列{a
n
}
中，
a
1
=1
，
a
n
=2a
n
﹣
1
+3
，则此数列的一个通项公式是

_________

．



29
．数列
的前
n
项之和是

_________

．



30
．等 比数列
{a
n
}
的首项
a
1
=
﹣
1
，前
n
项和为
S
n
，若
，则公比
q等于

_________

．

;




参考答案与试题解析





）

一．选择题（共
27
小题）

1< br>．
（
2008•
浙江）已知
{a
n
}
是等比 数列，
a
2
=2
，
a
5
=
，则公比
q=
（


）


A
．



B
．
~


﹣
2

2

C
．

D
．



考点
：

等比数列．

专题
：

计算题．

]

根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项 等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出
分析：

公比的三次方，开方即可得到结果．

解答：

解：
∵{a
n
}
是等比数列，
a
2
=2
，
a
5
=
，

设出等比数列的公比是
q
，

∴
a
5
=a
2
•q
3
，

∴
∴
q=
，

故选
D

点评：



本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列 的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要
简单数字运算时不出错，问题可解．



2
．
（
2006•
湖北）在等比数列
{a
n
}
中，
a
1
=1
，
a
10
= 3
，则
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
=
（


）

；

8
1

243


A
．


B
．

C
．


27

D
．


考点
：

等比数列．

分析：

由等比数列的性质知（
a
2
a
9
）
=
（
a
3
a
8
）
=
（
a
4
a
7
）
=
（
a
5
a
6
）
=
（
a
1
a
10
）
．

解答：

解：因为数列
{a
n
}
是等比数列， 且
a
1
=1
，
a
10
=3
，
< br>所以
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
=
（
a
2
a
9
）
（
a
3
a
8
）
（
a
4
a
7
）
（
a
5
a
6
）
=
（
a
1
a
10
）
4
=3
4
=81
，

<

故选
A

点评：

本题主要考查等比数列的性质．



3
．
（
2006•
北京）如果﹣
1< br>，
a
，
b
，
c
，﹣
9
成等比数列， 那么（


）

~


A
．


b
=3
，
ac=9

B
．

b
=
﹣
3
，
ac=9

b=3
，
ac=
﹣
9

C
．


考点
：

等比数列．

分析：

由等比数列的等比中项来求解．

解答：

?

解 ：由等比数列的性质可得
ac=
（﹣
1
）
×
（﹣
9
）
=9
，

b×b=9
且
b
与奇数项的符号相同，

∴
b=
﹣
3
，

故选
B

点评：

本题主要考查等比数列的等比中项的应用．



=
=
，

D
．

b
=
﹣
3
，
ac=
﹣
9

4
．已知数列
1
，
a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，
1
，
b
1
，
b
2
，
b
3
，
4
成等比数列，则

A
．

：



的值是（


）

D
．


B
．

﹣

C
．

或﹣


考点
：

等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

—

计算题．

专题
：

分析：

由
1
，
a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，利用等差数列的性质求出等差
d
的值，进而得到
a
2< br>﹣
a
1
的值，然后由
1
，
b
1
，< br>b
2
，
b
3
，
4
成等比数列，求出
b
2
的值，分别代入所求的式子中即可求出值．

解答：

解：
∵
1
，
a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，

∴
3d=4
﹣
1=3
，即
d=1
，

∴
a
2
﹣
a
1
=d=1
，
又
1
，
b
1
，
b
2
，
b3
，
4
成等比数列，

∴
b
2
2=b
1
b
3
=1×4=4
，解得
b
2
=±2
，

&

又
b
1
2
=b< br>2
＞
0
，
∴
b
2
=2
，

则

=
．

故选
A

点评：

本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握 等比、等差数列的性质是解
本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点



5
．正项等比数列
{a
n
}
满足
a2
a
4
=1
，
S
3
=13
，
b
n
=log
3
a
n
，则数列
{b
n}
的前
10
项和是（


）

。

6
5

2
5


A
．


﹣
65

C
．

D
．

﹣
25

B
．


考点
：

等差数列的前
n
项和；等比数列的通项公式．

专题
：

~

计算题．

分析：

由题意可得
=a
a
=1
，解得

a
=1
，由
S
=13
可得

a
+a
=12
，
，则有
a
q
2
=1
，
a
+a
q=12
，解得

q
和
a
2
4
3
3
1
2
1
1
1
1
的值，

由此得到
a
n
的解析式，从而得到
b
n
的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前
10
项和．

解答：

解：
∵
正项等比数列
{a
n
}< br>满足
a
2
a
4
=1
，
S
3
=13
，
b
n
=log
3
a
n
，

∴
=a
2
a
4
=1
，解得

a
3
=1
．


由
a
1
+a
2
+a
3
=13
，可得

a
1
+a
2
=12
．

设公比为
q
，则有
a
1
q
2
=1
，
a
1
+a
1
q=12
，解得

q=
，
a
1
=9
．

故

a
n
=9×
:
=3
3
n
．

﹣

=
﹣
25
，

故
b
n
=log
3
a
n
=3
﹣
n
，则数列{b
n
}
是等差数列，它的前
10
项和是
故选
D
．

点评：

本题主要考查等比数列的定义和性质，
等比 数列的通项公式，
等差数列的前
n
项和公式的应用，
求出
a
n
=3
3
﹣
n
，是解题的关键，属于基础题．



6
．等比数列
{a
n
}
中，
a
6
+a
2
=34
，
a
6
﹣
a< br>2
=30
，那么
a
4
等于（


）

8

±
8

±
16


A
．


B
．
>


C
．

D
．

16


考点
：

等比数列的通项公式．

专题
：

计算题．

—

要求
a
4
，就要知道等比 数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到
a
6
，左右两边相减得< br>分析：

到
a
2
，根据等比数列的性质列出两个关于首项和公 比的关系式，联立求出
a
和
q
，得到等比数列的通项公
式，令
n=4
即可得到．

解答：

解：设此等比数列的首项为
a
，公比为
q
，

由< br>a
6
+a
2
=34
，
a
6
﹣
a
2
=30
两个等式相加得到
2a
6
=64
，解 得
a
6
=32
；两个等式相减得到
2a
2
=4，解得
a
2
=2
．

根据等比数列的通项公式可得a
6
=aq
5
=32①
，
a
2
=aq =2②
，把
②
代入
①
得
q
4
=16
，所以
q=2
，代入
②
解得
a=1
，

所以等比数列的通项公式
a
n
=2
n
1
，则
a4
=2
3
=8
．

故选
A

点评：

此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件找出等比数 列的通项公式．本题的关键
是根据题中的已知条件得到数列的
a
2
和
a
6
．

~



7
．已知数列
{a
n
}
满足

A
．


不
可能是等差数列，也不可能是等比数列


B
．


不
可能是等差数列，但可能是等比数列


C
．


》

可能是等差数列，但不可能是等比数列


D
．


可
能是等差数列，也可能是等比数列


考点
：

等差关系的确定；等比关系的确定．

专题
：

等差数列与等比数列．

分析：

|

由于

=n
2
+n
﹣
λ
，
而

n
2
+n
﹣
λ
不是固定的常数，
不满足等比数列的定义．
若是等差数列，
则由

a
1
+a
3
=2
，显然，不满足等差数列的定义，从而得出结论．

，其中
λ
为实常数，则数列
{a
n
}
（


）

﹣
a
2
，解得

λ=
3
，此时，
解答：

解：由
不可能是等比数列．


可得

=n
2
+n
﹣
λ
，由于

n
2
+n
﹣
λ
不是固定的常数，故数列
若数列是等差数列，则应有

a
1
+a
3
=2 a
2
，解得

λ=3
．

此时，
，显然，此数列不是等差数列，

故选
A
．

点评：

本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题．



8
．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若对于任意
n
∈
N
*
，点
P
n
（
n
，
S
n
）都在直线
y=3x+2
上 ，则数列
{a
n
}
（


）


．

A
是
等差数列不是等比数列


、
B
．

是
等比数列不是等差数列

D
．

既
不是等差数列也不是等比数列


C

．

是
常数列

[

考点
：

等比关系的确定；等差关系的确定．

专题
：

计算题．

分析：

由点
P
n
（
n
，
S
n
）都在直线
y=3x+ 2
上，可得
S
n
=3n+2
，再利用
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣
1
求解．

解答：

解：由题意，
∵
点
P
n
（
n
，
S
n
）都在直线
y=3x+2
上

∴
S
n
=3n+2

￥

当
n≥ 2
时，
a
n
=S
n
﹣
S
n
﹣1
=3

当
n=1
时，
a
1
=5

∴
数列
{a
n
}
既不是等差数列也不是等比数列

故选
D

点评：

本题的考点是等比关系的确定，主要考查 由前
n
项和求数列的通项问题，关键是利用前
n
项和与通项的关
系．



9
．
（
2012•
北京）已知{a
n
}
为等比数列，下面结论中正确的是（


）


A
．

/


B
．


a
1
+a
3
≥2a
2


C
．


若
a
1
=a
3
，则
a
1
=a
2


考点
：

—

等比数列的性质．

专题
：

探究型．

分析：

a
1
+a
3
=
所以
D
．

若
a
3
＞
a
1
，则
a
4
＞a
2

，当且仅当
a
2
，
q
同为正时 ，
a
1
+a
3
≥2a
2
成立；
，
；
若
a
1
=a
3
，
则
a
1
=a
1
q
2
，
从而可知
a
1
=a
2
或
a
1
=
﹣
a
2
；
若
a
3
＞
a
1
，
则
a
1
q
2
＞
a
1
，
而
a
4
﹣
a
2
=a
1
q
（
q
2
﹣
1
），其正负由
q
的符号确定，故可得结论．

解答：

解 ：设等比数列的公比为
q
，则
a
1
+a
3
=
，当且仅当
a
2
，
q
同为正时，
a
1
+ a
3
≥2a
2
成立，故
A
不正确；

，
∴
，故
B
正确；

若
a
1=a
3
，则
a
1
=a
1
q
2
，
∴
q
2
=1
，
∴
q=±1
，
∴
a
1
=a
2
或
a
1
=
﹣
a
2
，故
C
不正确；

若
a
3
＞
a
1
，则
a
1
q
2
＞
a
1
，
∴
a
4
﹣
a
2
=a
1
q
（
q
2
﹣
1
）
，其正负由
q
的符号确定，故
D
不正确

）

故选
B
．

点评：

本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．



10
．
（
2011•
辽宁）若等比数列
a
n
满足
a
n
a
n+1
=16
n
，则公比为（


）

：

2

4

8


A
．


B
．

C
．


考点
：

等比数列的性质．

1
6

D
．

专题
：

计算题．

分析：

？

令
n=1
，得到第
1
项与第
2
项的积为
1 6
，记作
①
，令
n=2
，得到第
2
项与第
3
项的积为
256
，记作
②
，然
后利用
②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于
q
的方程，求出方程的解即可得到
q
的值，然后把
q
的
值代入经过检验得到满足题意的
q
的值即可．
解答：

解：当
n=1
时，
a
1
a
2
=16①
；当
n=2
时，
a
2
a
3
=256②
，

②÷①
得：
=16
，即
q
2
=16
，解得
q=4
或
q=
﹣
4< br>，

当
q=
﹣
4
时，由
①
得：a
1
2
×
（﹣
4
）
=16
，即
a
1
2
=
﹣
4
，无解，所以
q=
﹣4
舍去，

则公比
q=4
．

故选
B

点评：

此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，
是一道基础题．
学生在求出
q
的 值后，要经过判断得到满足题意的
q
的值，即把
q=
﹣
4
舍 去．



。

11
．
（
201 0•
江西）等比数列
{a
n
}
中，
|a
1
|=1
，
a
5
=
﹣
8a
2
，
a< br>5
＞
a
2
，则
a
n
=
（


）

﹣
﹣

A
．

（

﹣
2
）
n
1

B
．

C
．

（
﹣
2
）
n

﹣
（﹣
2
n
1
）

【


D
．

﹣
（﹣
2
）
n

考点
：

等比数列的性质．

专题
：

计算题．

分析：

根据等比数列的性质，由
a
5
=
﹣
8a
2
得到
等于
q
3
，求出 公比
q
的值，然后由
a
5
＞
a
2
，利用等 比数列的通项
公式得到
a
1
大于
0
，化简已知
|a
1
|=1
，得到
a
1
的值，根据首项和公比利用等比数列的 通项公式得到
a
n
的值
即可．

解答：

解：由
a
5
=
﹣
8a
2
，得到
=q
3
=
﹣
8
，解得
q=
﹣
2
，

又
a
5
＞
a
2
，得到
16a
1< br>＞﹣
2a
1
，解得
a
1
＞
0
，所以
|a
1
|=a
1
=1

，

则< br>a
n
=a
1
q
n
1
=
（﹣
2
）
n
1

故选
A

点评：
< br>此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前
n
项和的公式化简求值，是一道中档题．


12
．已知等比数列
{a
n
}
中，
a
6
﹣
2a
3
=2
，
a
5< br>﹣
2a
2
=1
，则等比数列
{a
n
}
的公比是（


）

3

4


A
．


﹣
1

B
．
>


C
．

D
．

2


考点
：

等比数列的性质．

专题
：

计算题．

`

根据等比数列的通项公式化简已知的两等式，
得到关于首项和公比的两个 方程，
分别记作
①
和
②
，
把
①
提
分析：

取
q
后，得到的方程记作
③
，把
②
代入
③
即可求出
q
的值．

解答：

解 ：由
a
6
﹣
2a
3
=2
，
a
5< br>﹣
2a
2
=1
得：

，

由
①
得：
q
（
a
1
q
4
﹣
2a< br>1
q
）
=2③
，

﹣
﹣

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