等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
萌到你眼炸
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2021年01月28日 23:52
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本文由作者推荐
端午节的由来和习俗-2019国庆大阅兵
一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳：
1
．概念与公式：
①等差数列：
1
°
.
定义：若数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
d
(
常数
),
则< br>{
a
n
}
称等差数列；
2
°
.< br>通项公式：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
a
k
(
n
k
)
d
;
3
°
.
前n
项和公式：公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
.
2
2
②
等
比
数
列
：
1
°
.
定
义
若
数
列
{
a
n
}
满足
a
n
1
，
则
{
a
n
}
称
等
比
数
列
；
2
°
.
通
项
公
式
：
q
（
常
数
）
a
n
a
n
a
1
q
n
1
a
k
q
n
k
a
1
a
n
q
a
1
(
1
q
n
)
(
q
1
),
当
q=1
时
S
n
na
1
.
;
3
°
.
前
n
项和公式：
S
n
1
q
1
q
2
．简单性质：
①首尾项性质 ：设数列
{
a
n
}
:
a
1
,
a< br>2
,
a
3
,
,
a
n
,< br>
1
°
.
若
{
a
n
}
是等 差数列，则
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
;
2
°
.
若
{
a
n
}
是等比数列，则
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
.
②中项及性质：
1
°
.
设
a
，
A
，
b
成等差数列，则
A
称
a、
b
的等差中项，且
A
a
b
;< br>
2
2
°
.
设
a
,G,
b
成等比数列，则
G
称
a
、
b
的等比中项，且
G
ab
.
③设
p
、
q
、
r
、
s
为正整数，且
p
q
r
s
,
1
°
.
若
{
a
n
}
是等差数列，则
a
p
a
q
a
r
a
s
;
2
°
.
若
{
a
n
}
是等比数列 ，则
a
p
a
q
a
r
a
s
;
④顺次
n
项和性质：
1
°
.
若
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
则
a
,
a
,
a
k
k
k
1
k
n
1
2
n
k
2
n
1
3
n
n
k
k
n
2
n
3
n
k
组成公差为
n
2
d
的等差数列；
2
°
.
若
{
a
n
}
是公差为< br>q
的等比数列，
则
偶数时这个结论不成立）
⑤若
{
a
n
}
是等比数列，
a
,
a
,
a
k
1
k
n
1
k
2
n
1
k
组成公差为
q
n
的等比数列
.
（注意：当q
=
－
1
，
n
为
1
< br>则顺次
n
项的乘积：
a
1
a
2
a
n
,
a
n
1
a
n
2
a
2
n
,
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
组 成公比这
q
n
的等比数列
.
⑥若
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列
,
1
°
.若
n
为奇数，则
S
n
na
中
且S
奇
S
偶
a
中
(
注:
a
中
指中项
,
即
a
中
a
n
1
,
而
S
奇、
S
偶
指所有奇数项、所有偶
2
2
数项的和）
；
2< br>°
.
若
n
为偶数，则
S
偶
S奇
nd
.
2
（二）学习要点：
1
．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差
d
≠
0
的等差数列的通项公式是项
n
的一
次函数
a
n
=
an
+
b
;
②公差
d
≠
0
的等差 数列的前
n
项和公式项数
n
的没有常数项的二次函数
S
n< br>=
an
2
+
bn
;
③公比
q
≠1
的等
比数列的前
n
项公式可以写成“
S
n
=
a
(1-
q
n
)
的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮 助的
.
2
．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简 单、明确，绝对不能用课外的需要证
明的性质解题
.
3
．巧设“公差、公比 ”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“
a,a+m,a+2m
（或
a-m,a,a+m
）
”
②
三
数
成
等
比
数
列
，
可
设
三
数
为
“
a,aq,aq
2
(
或
a
，
a,aq
)< br>”
③
四
数
成
等
差
数
列
，< br>可
设
四
数
为
q
“
a
,
a< br>
m
,
a
2
m
,
a
< br>3
m
(
或
a
3
m
,
a< br>
m
,
a
m
,
a
3< br>m
);
”
④
四
数
成
等
比
数
列
，
可
设
四
数
为
“
a
,
aq
,
aq
,
aq
(
或
2
3a
a
3
,
,
aq
,
aq
),
”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验
.
3
q
q
[
例
1]
解答下述问题：
1
1
1
,
,
成等差数列，求证：
ab
c
b
c
c
a
a
b
,
,
（
1
）
成等差数列；
ab
c
b
b
b
（
2
）
a
,
,
c
成等比数列
.
2
22
（Ⅰ）已知
[
解析
]
该问题应该选择“中项”的知识解决，< br>
1
1
2
a
c
2
< br>
2
ac
b
(
a
c
),
a
c
b
ac
b
b
c
a
b
bc
c
2
a2
ab
b
(
a
c
)
< br>a
2
c
2
(
1
)
< br>
a
c
ac
ac
2
(
a
c
)
2
2
(
a
c
)
.
b
(
a
c
)
b
b
c
c
a
a
b
,
,
成等差数列
;
a
b
c
b< br>b
b
b
2
b
(
2
)(
a
)(
c
)
ac
(
a
c
)
(
)
2
,
2
2
2
4
2
b
b
b
a
,
,
c
成等比数列
.
2
2
2
（Ⅱ）设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
且满足
a
2
1
,
2
S
n
n
(
a
n
1
),
2
（
1
）求证 ：
{
a
n
}
是等差数列；
（
2
）若数列
{
b
n
}
满足
:
b
1
3
b
2
5
b
3
(
2
n
1
)
b
n
2
n
1
a
n
6
求证：
{
b
n
}
是等比数列
.
2
S
n
n
(
a
n
1
)
[
解析
]
（
1
）
2S
n
1
(
n
1
)(< br>a
n
1
1
)
①
②
②－①得
2
a
n
(
n
1
)
a
n
1
na
n< br>
1
(
n
1
)
a
n< br>
1
na
n
1
,
令
n
1
得
a
1
1
,
a
2
1
,
令
n
2
得
a
3
3
,
猜想
a
n
2
n
3
,
用数学归纳法证明
:
1
）当
n
1
时
,
a
1< br>
1
2
1
3
,< br>a
2
1
2
2
3< br>,
结论正确
;
2
）
假设
n
k
(
k
2
)
时结论正确
,
即
a
k
2
k
3
,
当
n
k
1
时
,
(
k
1
)
a
k
1
kak
1
k
(
2
k
3)
1
2
k
2
3
k
1
(
2
k
1
)(
k< br>
1
)
k
2
,
< br>a
k
1
2
k
1
< br>2
(
k
1
)
3
,
结论 正确
.
由
1
）
、
2
）知，
当< br>n
N
时
,
a
n
2< br>n
3
,
a
n
1< br>
a
n
(
2
n
1
)< br>
(
2
n
3
)
2
,< br>即
{
a
n
}
是公差为
2
的等差数列
;
(
2
)
设
T
n
2
n
1
a
n
6
2
n
1
(
2
n
3
)
6
,
当
n
2
时
(
2
n
1
)
b
n
T
n
T
n
1
2
n
1
(
2
n
3
)
2
n
(
2
n
5
)
(
2
n
1
)
2
n
,
b
n
2
n
(
n
2
),
而
b
1
4
(
1
)
6
2
,
也适合< br>,
当
n
N
时
b
n< br>
2
n
,
b
n
1
< br>2
,
即
{
b
n
}
是公比为
2
的等比数列
.
b
n
[
评析
]
判断（或证明）
一个数列成等差、
等比数列主要方法有：
根据
“中项”
性质、
根据
“定义”
判断，
或通过
“归
纳猜想”并证明
.
[
例
2]
解答下述问题：
< br>（Ⅰ）等差数列的前
n
项和为
S
n
,
若
S< br>P
求
S
P
Q
(
用
P< br>,
Q
表示
).
[
解析
]
选择公式
S
n
an
bn
做比较好，但 也可以考虑用性质完成
.
3
2
Q
P
,
S
Q
(
P
Q
),
P
Q
Q
2
aP
bP
P
2
[
解法一
]
设
S< br>n
an
bn
,
P
aQ
2
bQ
Q
①
②
Q
2
P2
①－②得：
(
P
Q
)[
a(
P
Q
)
b
],
P< br>
Q
,
PQ
P
Q
,
a
(
P
Q
)
b
P
Q
,
PQ
(
P
Q
)
.
PQ
2
S
P
Q
(
P
Q
)[
a
(
P
Q
)
b
]
[
解法二
]
不妨设
P
Q
,
Q
P
S
P
S
Q
a
Q
1
a
Q
2
a
P
P
Q
(
P
Q
)(
a
Q
1
a
P
)
2(
P
Q
)
.
PQ
2
P
< br>Q
(
P
Q
)(
a
1
a
P
Q
)
P
Q
S
P
Q
,
P
Q
2
P
Q
S
P
Q
（Ⅱ）等比数列的项数
n
为奇数，且所有奇数项的乘积为
1024
， 所有偶数项的乘积为
128
2
，求项数
n.
[
解析
]
设公比为
q
,
n
1
2
a
1
a
3
a
5
a
n
1 024
4
2
a
2
a
4
a
n
1
128
2
a
1
q
4
2
(
1
)
3 5
2
5
2
而
a
1
a
2
a
3
a
n
1024
128
2
2
(
a
1
q
n
1
n
2
35
2
a
1
q
n
35
2
1
2
3
(
n
1
)
2
35
2< br>)
2
,
将
(
1
)
代入得
(
2
)
2
,
5
n
35
,
得
n
7
.
2
2
（
Ⅲ
）
等
差
数
列
{
a
n
}
中
，
公
差
d
≠
0
，
在
此
数
列
中
依
次
取
出
部
分
项
组
成
的
数
列
：
a
k
1
,
a
k
2
,
,
a
k
n
恰为等比数列
,
其中
k
1
1
,
k2
5
,
k
3
17
,
< br>求数列
{
k
n
}
的前
n
项和
.
[
解析
]
a
1
,
a
5< br>,
a
17
成等比数列
,
a
5
< br>a
1
a
17
,
2
4
(
a
1
4
d
)
2
a
1
(
a
1
16
d
)
d
(
a
1
2
d
)
0
d
0
,
a
1
2
d
,
数列
{
a
k
n
}
的公比
q
a
5
a
1
< br>4
d
3
,
a
1
a
1< br>①
②
a
k
n
a< br>1
3
n
1
2
d
< br>3
n
1
而
a
k
n
a< br>1
(
k
n
1
)
d
< br>2
d
(
k
n
1
)
d< br>由
①，②
得
k
n
2
3
n
1
1
,
3
n
1
{
k
n
}
的前
n
项和
S
n
2
n
3
n
n
1
.
3
1
[
评析
]
例< br>2
是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功
.
[
例
3]
解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第 三项减去
32
，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去
4
，又成等比数 列，
求原来的三数
.
[
解析
]
设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为
a
－
d
,
a
,
a
+
d
，则有
2
2
(
a
d
)(
a
d
32
)
a
d
32
d
32
a
0
2
2
(
a
4
)
(
a
d
)(
a
d
)
8
a
16
d
8
26
3
d< br>2
32
d
64
0
,
d
8
或
d
,
得
a
10
或
,
3
9
2
26
338
原三数为
2
,
10
,
50
或
,
,
.
9
9
9
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为
10
，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数
.
[
解析
]
设此四数为
a
15
,
a
5
,
a
5
,
a
15
(
a
15
)
,
(
a
15
2
)
(
a
5
)
2
(
a
5
)
2
(
a
15
)
2
(
2
m
)
2
(
m
N
)
4
a
2
500
4
m
2
(
m
a< br>)(
m
a
)
125
,
125
1
125
5
25
,
m
a
与
m
a
均为正整 数
,
且
m
a
m
a
,
m
a
1
m
a
2
m
a
125
m
a
25
< br>解得
a
62
或
a
12
(
不合
),
所求四数为
47
，
57
，
6 7
，
77
[
评析
]
巧设公差、公比是解决等差、等比数列 问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主
要方法
.
二、等差等比数列复习题
一、
选择题
1
、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列
（
）
（
A
）为常数数列
（
B
）为非零的常数数列
（
C
）存在且唯一
（
D
）不存在
5