高考数学理科练习题等差数列等比数列
绝世美人儿
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2021年01月28日 23:58
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专题限时集训
(
三
)
等差数列、等比数列
[
专题通关练
]
(
建议用时：
30
分钟
)
1
．
[
一题多解
]
已知
{
a
n
}
为等差数列，其前n
项和为
S
n
，若
a
3
＝
6
，
S
3
＝
12
，则公差
d
等于
(
)
5
A
．
1
B.
C
．
2
D
．
3
3
a
3
＝
a
1
＋
2
d
＝
6
，
C
[
法一：
(
基本量法
)
由题设得
< br>
S
3
＝
3
a
1
＋
3
d< br>＝
12
，
a
1
＝
2
，
解得
d
＝
2.
故选
C.
3
法二：
(
性质法
)
因为
S
3
＝
a
1
＋
a
3
2
＝
12
，所以
a
1
＋
a
3
＝
8，所以
2
a
2
＝
8
，即
a
2
＝
4.
又
a
3
＝
6
，故公差
d
＝
a
3
－
a
2
＝
6
－
4
＝
2.
故选
C.]
2
．设
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且
2
＋< br>a
5
＝
a
6
＋
a
3
，则
S
7
＝
(
)
A
．
28
C
．
7
B
．
14
D
．
2
B
[∵{
a
n
}
是等差数列，∴
a3
＋
a
6
＝
a
4
＋
a
5＝
a
5
＋
2
，
∴
a
4
＝
2.
∴
S
7
＝
7
a
4
＝7×2＝
14.
故选
B.]
3
．
[
易错题
]
在等比数列
{
a
n
}中，
a
3
，
a
15
是方程
x
－
6
x
＋
8
＝
0
的两根，
则
A
．
2
2
C
．±2
2
2
2
a
1
a
17
的值为
(
)
a
9
B
．
4
D
．±4
A
[∵
a
3
，
a
15
是方程< br>x
－
6
x
＋
8
＝
0
的根，
∴
a
3
a
15
＝
8
，
a
3
＋
a
15
＝
6
，易知
a
3
，< br>a
15
均为正，∴
a
9
＝
a
3
q< br>＞
0.
由等比数列的性质知，
a
1
a
17
＝
a
9
＝
a
3
a
15
＝
8
，∴
a
9
＝
2
2
，
2
6
a
1
a
17
＝
2
2
，故选
A.]
a9
4
．设公比为
q
(
q
>0)
的等比数列{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
＝
3
a
2
＋
2
，
S
4
＝
3
a
4
＋
2
，则
a1
等于
(
)
1
2
A
．－
2 B
．－
1 C.
D.
2
3
B
[
S
4
－
S
2
＝
a
3
＋
a
4
＝
3
a
4
－
3
a
2
，即
3
a
2
＋
a
3
－
2
a
4
＝
0
，即
3
a
2
＋
a
2q
－
2
a
2
q
＝
0
，即
2
q
－
q
3
3
－
3
＝
0
， 解得
q
＝－
1 (
舍
)
或
q
＝
，当
q
＝
时，代入
S
2
＝
3
a
2
＋
2
，
2
2
得
a
1
＋
a
1
q
＝
3
a
1
q
＋
2
，解得
a
1
＝－
1
，故选
B.]
5
．设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
1
>0
，
a
3
＋
a
10
>0
，
a
6
a
7
<0
，则满足
S
n< br>>0
的最大自
- 1 -
2
2
然数
n
的值为
(
)
A
．
6
C
．
12
B
．
7
D
．
13
C
[∵
a
1
>0< br>，
a
6
a
7
<0
，∴
a
6
>0
，
a
7
<0
，等差数列的公差小于零，又
a
3
＋
a
10
＝
a
1
＋
a
12
>0,
a
1
＋
a
13
＝
2
a
7
<0
，∴
S
12
>0
，
S
13
<0
，∴满足
S
n
>0
的最大自然数
n
的值为12.]
3
9
6
．
[
易错题
]
已知 等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
2
＝
，
S
3
＝
，则公 比
q
＝
________.
2
2
9
1
[(1)
当公比
q
＝
1
时，
S
3
＝
3
a
1
＝
3
a
2
＝
，满足题意．
2
9
3
3
q
(2)
当公比
q
≠1
时，
由
S
3
＝
a
1
＋
a2
＋
a
3
＝
，
可知
a
1
＋< br>a
3
＝
3
，
∴
＋
＝
3
得< br>q
＝
1(
舍去
)
．
2
2
q
2
综上可知，
q
＝
1.]
7
．(2019·武汉模拟
)
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
＝
1
，
S
3
＝
a
5
，
a
m
＝
2 019
，
则
m
＝
________.
1 010
[
设公差为
d
，由题知
S
3
＝
a
5
，即
3
a
1
＋
3
d
＝
a
1
＋
4
d
，又
a
1
＝
1
，故
d
＝
2
，于是
a
n
＝
1
＋
2(
n
－
1)
＝
2
n
－
1
，再由
2
m
－
1
＝
2 019
，得
m
＝
1 010.]
8
．若等差数列
{
a
n
}
满足
a
7
＋
a
8
＋
a
9
＞
0
，
a
7
＋
a
10
＜
0
，则当
n
＝
________
时，{
a
n
}
的前
n
项
和最大．
8
[∵{
a
n
}
成等差数列，∴由
a< br>7
＋
a
8
＋
a
9
＞
0
可得
a
8
＞
0
，
又
a
7
＋
a
10
＜
0
，∴
a
8
＋
a
9
＜
0
，故
a
8
＞
0
，
a9
＜
0
，
∴当
n
＝
8
时，
S
n
最大．
]
[
能力提升练
]
(
建议用时：
20
分钟
)
9
．(2019·马鞍 山二模
)
已知正项等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝
1
，且－
a
3
，
a
2
，
a
4
成等差数列， 则
S
n
与
a
n
的关系是
(
)
A
．
S
n
＝
2
a
n
－
1
C
．
S
n
＝
4
a
n
－
3
B
．
S
n
＝
2
a
n
＋
1
D
．
S
n
＝
4
a
n
－
1
A
[
设等比数列的公比
q
(
q
＞
0)
，由
a
1
＝
1
，且－
a
3
，
a
2
，
a
4
成等差数列，得
2
a
2
＝
a
4
－
a
3
，
即
2
q
＝
q
－
q
，得
q
＝
2
，∴< br>a
n
＝
2
3
2
n
－
1
1< br>－
2
n
，
S
n
＝
＝
2
－< br>1
，则
S
n
＝
2
a
n
－
1 .
故选
A.]
1
－
2
n
10
．已知数列
{
a
n
}
是等比数列，数列
{
b
n
}
是等差数列，若
a
1
·
a
6
·
a11
＝
3
3
，
b
1
＋
b
6< br>＋
b
11
b
3
＋
b
9
＝7π，则< br>tan
＝
________.
1
－
a
4
·
a
8
－
3
[∵{
a
n
}
是等比数列，
{
b
n
}
是等差数列，
且
a
1
·
a
6
·
a
11
＝
3
3
，
b
1
＋b
6
＋
b
11
＝7π，
- 2 -