求数列通项公式的方法(教案+例题+习题)
余年寄山水
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2021年01月29日 00:03
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求数列的通项公式的方法
1.
定义法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1
．等差数列
a
n
是递增数列，前
n项和为
S
n
，且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，
2
．求数列
a
n< br>
的通项公式
.
S
5
a
5
解< br>：设数列
a
n
公差为
d
(
d< br>
0
)
2
∵
a
1
,
a< br>3
,
a
9
成等比数列，∴
a
3
a
1
a
9
，
即
(
a
1
2
d
)
2
a
1
(
a
1
8
d
)
d
2
a
1
d
∵
d
0
，
∴
a
1
d
………………………………①
2
∵
S
5
a
5
< br>∴
5
a
1
5
4
d< br>
(
a
1
4
d
)
2
…… ……②
2
3
3
，
d
55
3
3
3
∴
a
n
(n
1
)
n
5
55
由①②得：
a
1
点评
：利用定义法求数列通项时要 注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）
后再写出通项。
练一练：
已知数列
3
1
1
1
1
,
5
,
7
,
9
,
试写出其一个通项公式 ：
__________
；
4
8
16
32
S
,(
n
1)
a
n
1
2.
公式法
：
已知
S
n
（即
a
1
< br>a
2
a
n
f
(< br>n
)
）
求
a
n
，
用作差法：
。
S
n
S
n
1
,(
n< br>
2)
例
2
．
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
2
a
n
(
1
)
n
,
n
1
．
求数列
a
n
的通
项公式。
解
：由
a
1
S1
2
a
1
1
a
1
1
n
a
S
S
2
(
a
a
)
2
(
1
)
,
n
2
n
n
1
n
n
1
当
时，有
n
a
n
2
a
n
1
2
(
1)
n
1
,
a
n
1
2
a
n
2
2
(
1
)
n
2
,
……，
a
2
2
a
1
2
.
a
n
2
n
1
a
1
2
n
1
(
1)
2
n
2
(
1)
2
2
(
1)
n
1
2
n
1
(
1
)
n
[(
2
)
n
1
(
2
)
n
2
(
2
)]
2
n
1
2
[
1
(
2
)
n
1
]
(
1
)
3
n
2
[
2
n
2
(
1
)
n
1
].
3
经验证
a
1
1
也满足上式，所以
a
n
点评
：利用公式
a
n
2
n
2
[
2
(
1
)
n
1
]
3
S
n
n
1
求解时，要注意对
n< br>分类讨论，但若
S
n
S
n
1
n
2
能合写时一定要合并
．
练一练：
①
已知
{
a
n
}
的前
n
项和满足
log
2(
S
n
1)
n
1
，求
a
n
；
②
数列
{
a
n
}
满足
a
1
4,
S
n
S
n
1
5
a
n
1
，求
a
n
；
3
f
(1),(
n
1)
f
(
n
)
3.
作商法：
已知
a
1
。
a
2
a
n
f
(
n
)
求
a
n
，用作商法：
a
n
,(
n
2)
f
(
n
1)
如
数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
对所有的
n< br>
2
都有
a
1
a
2
a
3
a
n
n
2
，则
a
3
a
5
______
；
4.
累加法
：
若
a
n
1
a
n
f
(
n
)求
a
n
：
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
a
1
)
a1
(
n
2)
。
1
1
例
3
.
已知数列
a
n< br>
满足
a
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
解
：由条件知：
a
n
1
a
n
1
1
1
1
2
n
n
n
(
n
1
)
n
n
1
分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，代入上式得(
n
1
)
个等式累加之，即
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
4
a
3
)
(
a
n
a
n
1
)
1
1
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
3
4
n
1
n
1
所以
a
n
a
1
1
n
1
1
1
3
1
a
1
，
a
n
1
2
2
n
2
n
如
已知数列{
a
n
}
满足
a
1
1
，< br>a
n
a
n
1
1< br>n
1
n
(
n
2)
， 则
a
n
=________
；
a
n
1
a
a
a
f
(
n
)
求
a
n
，用累乘法：
a
n
n
n
1
2
a
1
(
n
2)
。
a
n
a
n
1
a
n
2
a
1
2
n
a
n
，求
a
n
。
例
4
.
已知数列
a
n
满足
a
1
，
a
n
1
3
n
1
5.
累乘法：
已知
解
：由条件知< br>a
n
1
n
，分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，代入上式得
an
n
1
(
n
1
)
个等式 累乘之，即
a
a
a
2
a
3
a
4
1
2
3
n
1
1
n
n
n
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
a
1
n